1.3 正方形的性质与判定（1）同步练习题（含答案）

第一章 特殊平行四边形
5 正方形的性质与判定（1）
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1.在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD=BC，AB=BC，∠B=90°，则四边形ABCD的形状是（　　）
A.平行四边形　　 B.矩形 C.菱形 D.正方形
2.菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A.对角线相等且互相平分
B.对角线相等且互相垂直平分
C.对角线互相平分
D.四条边相等，四个角相等
3.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
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（第3题图）（第4题图）（第5题图）
A.14 B.15 C.16 D.17
4.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
A.45° B.55° C.60° D.75°
5.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（　　）
A. B.2 C.2 D.1
6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是
_________（只填写序号）
7.如图，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，那么四边形DECF是_ ___.
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（第7题图） （第9题图） （第10题图）
8.已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长是____.
9.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是____.
10.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为____cm2.
11.如图，已知正方形纸片ABCD，点M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=___.
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12.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF=BE.
13.如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC相交于点G，连接AE，CF.
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小.
14.如图,过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
（1）判断四边形ACED的形状,并说明理由.
（2）若BD=8cm,求线段BE的长.
15.如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF=45°.
（1）求证：EF=FC＋AE；
（2）若AB=2，求△DEF的周长.
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16.如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E，F移动过程中：
（1）∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；
（2）△ECF的周长是否发生变化？请说明理由.
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17.（武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是　　．
18.（吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．
参考答案
第一章 特殊平行四边形
5 正方形的性质与判定（1）
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1.在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD=BC，AB=BC，∠B=90°，则四边形ABCD的形状是（　D　）
A.平行四边形　　 B.矩形 C.菱形 D.正方形
2.菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ C ）
A.对角线相等且互相平分
B.对角线相等且互相垂直平分
C.对角线互相平分
D.四条边相等，四个角相等
3.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ C ）
///
（第3题图）（第4题图）（第5题图）
A.14 B.15 C.16 D.17
4.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　C　）
A.45° B.55° C.60° D.75°
5.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（　B　）
A. B.2 C.2 D.1
6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是
____②③或①④_____（只填写序号）
7.如图，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，那么四边形DECF是__正方形__.
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（第7题图） （第9题图） （第10题图）
8.已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长是__4__.
9.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是__22.5°__.
10.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为__8__cm2.
11.如图，已知正方形纸片ABCD，点M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=__30°_.
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12.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF=BE.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°.
∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG=90°.
∵∠ABF＋∠CBG=90°，
∴∠BCE=∠ABF.
在△BCE和△ABF中，
∠BCE=∠ABF，BC=AB，∠CBE=∠A，
∴△BCE≌△ABF（ASA），∴AF=BE.
13.如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC相交于点G，连接AE，CF.
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°.
∵BE⊥BF，∴∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF.
∵AB=BC，∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF，∴AE=CF.
（2）∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠BEF=45°.
∵∠ABC=90°，∠ABE=55°，
∴∠GBE=35°，
∴∠EGC=∠GBE＋∠BEF=80°.
14.如图,过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
（1）判断四边形ACED的形状,并说明理由.
（2）若BD=8cm,求线段BE的长.
解：（1）四14.边形ACED是平行四边形.
理由如下:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,即AD∥CE,
∵DE∥AC,∴四边形ACED是平行四边形.
（2）由（）1知,BC = AD = CE = CD,
在Rt△BCD中,令BC=CD=x,则x2+x2=82.
解得x=4,∴BE=2x=8（cm）.
15.如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF=45°.
（1）求证：EF=FC＋AE；
（2）若AB=2，求△DEF的周长.
解：（1）证明：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，
则BA=BC，AE=CM，BE=BM，∠ABE=∠CBM，∠A=∠BCM.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=90°，
∴F，C，M三点共线，∠EBM=90°.
∵∠EBF=45°，∴∠FBM=45°.
在△BEF与△BMF中，BE=BM，∠EBF=∠MBF，BF=BF，
∴△BEF≌△BMF，
∴EF=FM=FC＋CM=FC＋AE.
（2）由（1）知EF=FC＋AE，
∴△DEF的周长=DE＋DF＋EF=DE＋DF＋AE＋CF=AD＋CD=2AB=4.
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16.如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E，F移动过程中：
（1）∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；
（2）△ECF的周长是否发生变化？请说明理由.
解：（1）∠EAF的大小不变，理由如下：在正方形ABCD中，∵AH⊥EF，∴∠AHF＝∠D＝90°.∵AF＝AF，AH＝AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL）.∴∠HAF＝∠DAF.同理 ∠HAE＝∠BAE.∵∠HAF＋∠DAF＋∠HAE＋∠BAE＝90°，∴∠EAF＝∠HAF＋∠HAE＝45°.∴∠EAF的大小不会发生变化.
（2）△ECF的周长不会发生变化，理由如下：由（1）知：Rt△AHF≌Rt△ADF，Rt△AHE≌Rt△ABE，∴FH＝FD，EH＝EB.∴EF＝EH＋FH＝EB＋FD.∴CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋EB＋FD＝BC＋CD.∴△ECF的周长总等于正方形ABCD边长的2倍，不会发生变化.　
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17.（武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是　30°或150°　．
18.（吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中，
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∴△ABE≌△BCF．
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