1.3 正方形的性质与判定（2）同步练习题（含答案）

第一章 特殊平行四边形
6 正方形的性质与判定（2）
1.下列说法不正确的是（ ）
A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A.AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B.AD∥BC，∠A＝∠C
C.AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
4.在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）
A.BC＝AC B.CF⊥BF C.BD＝DF D.AC＝BF

（第4题图） （第5题图） （第6题图）
5.如图，只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的依据是____________________.
6.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_________.
7.黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四位同学的答案都正确，则黑板上画的图形是__________.
8.如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为_______；所作的第n个四边形的周长为_________________.
9.已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.求证：四边形DEBF是正方形.
10.如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D是BC边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且BF＝CE，求证：四边形AFDE是正方形.
11.如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH=2，连接CF.若DG=2，求证：菱形EFGH为正方形.

12.如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH=CE，K在BC边上，且BK=CE，求证：四边形AKFH为正方形.
13.如图1，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H.
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；
（2）在（1）的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？
14.（湘西州）下列说法中，正确个数有（　　）
①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
参考答案
第一章 特殊平行四边形
6 正方形的性质与判定（2）
1.下列说法不正确的是（ D ）
A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ C ）
A.AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B.AD∥BC，∠A＝∠C
C.AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ B ）
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
4.在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）
A.BC＝AC B.CF⊥BF C.BD＝DF D.AC＝BF

（第4题图） （第5题图） （第6题图）
5.如图，只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的依据是__有一组邻边相等的矩形是正方形___.
6.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是___AC＝BD___.
7.黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四位同学的答案都正确，则黑板上画的图形是_正方形.
8.如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为____；所作的第n个四边形的周长为_4（）n_.
9.已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.求证：四边形DEBF是正方形.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°.
又∵∠ABC=90°，
∴四边形BEDF为矩形.
∵BD是∠ABC的平分线，
且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，
∴矩形BEDF为正方形.
10.如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D是BC边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且BF＝CE，求证：四边形AFDE是正方形.
解：证明：∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFD＝∠CED＝90°，又点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵BF＝CE，∴△BFD≌△CED（HL）.∴DF＝DE，∵∠A＝∠AFD＝∠AED＝90°，∴四边形AFDE为矩形，∵DF＝DE，∴矩形AFDE是正方形.
11.如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH=2，连接CF.若DG=2，求证：菱形EFGH为正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE.∵DG=AH=2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG=∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE=90°，∴∠DHG＋∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形.　
12.如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH=CE，K在BC边上，且BK=CE，求证：四边形AKFH为正方形.
证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠DCB=∠B=∠ADC=90°，∠GCE=∠E=∠GFE=∠CGF=90°，∴∠ADH=∠HGF=∠E=∠B=90°.又∵DH=CE，BK=CE，∴BK=GF=DH=EF，KE=GH=AB=AD，∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，∴AK=KF=HF=AH，∠BAK=∠DAH.∵∠BAD=90°，∴∠HAK=∠HAD＋∠DAK=∠BAK＋∠DAK=∠BAD=90°，∴四边形AKFH为正方形.
13.如图1，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H.
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；
（2）在（1）的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？
解：（1）当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PHEF是矩形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD.∵E是BC的中点，∴AB＝BE＝EC＝CD，则△ABE，△DCE均是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∴∠AED＝90°.在四边形PHEF中，∵∠PFE＝∠FEH＝∠EHP＝90°，∴四边形PHEF是矩形.
（2）当点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形.理由如下：
由（1）可得∠BAE＝∠CDE＝45°，∴∠FAP＝∠HDP＝45°.又∵∠AFP＝∠DHP＝90°，AP＝DP，∴Rt△AFP≌Rt△DHP∴PF＝PH，∴矩形PHEF是正方形.
14.（湘西州）下列说法中，正确个数有（　B　）
①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：（1）在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE=BC∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形.