2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题（含答案）

第二章 一元二次方程
*5 一元二次方程的根与系数的关系
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1.若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是（　　）
A.2 B.-2 C.4 D.-3
2.若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（　　）
A.-10 B.10 C.-16 D.16
3.下列一元二次方程两实数根之和为-4的是（　　）
A.x2+2x-4=0　　B.x2-4x+4=0 C.x2+4x+9=0 D.x2+4x-1=0
4.已知一元二次方程的两个根分别是x=2和x=-3，则这个一元二次方程是（　　）
A.x2-6x+8=0 B.x2+2x-3=0 C.x2-x-6=0 D.x2+x-6=0
5.已知关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（　　）
A.-6 B.-3 C.3 D.6
6.若m，n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（　　）
A.-7　　　 　B.7　　 　　C.3　　　 　D.-3
7.已知方程x2-2x-1=0，则此方程（　　）
A.无实数根 B.两根之和为-2 C.两根之积为-1 D.有一根为-1+
8.x+y=-6和xy=-7有相同的解，若求x和y的值，可将x，y看作某方程的两根，则该方程应是（　　）
A.m2+6m+7=0 B.m2-6m-7=0 C.m2+6m-7=0 D.m2-6m+7=0
9.不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：
（1）4x2+1=7x，x1+x2=____，x1·x2=____；
（2）3x2-1=0，x1+x2=____，x1·x2=____；
（3）x2-6x=0，x1+x2=____，x1·x2=____；
（4）2x2-（m+1）x-m=0，x1+x2=____，x1·x2=____.
10.已知x1，x2是一元二次方程2x2-5x-1=0的两根，则x1-1+x2-1=____.
11.方程x2-2x-3=0，两根分别为3，-1，记为[3，-1]，请写出一个根为[-2，3]的一元二次方程____.
12.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程__ _.
13.已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则m=____，另一个根为____.
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14.已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2+1=0，如果方程的两根之和等于两根之积，求k的值.
15.已知关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个整数k值，使方程的两根同号，并求出方程的根.
16.已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=-1，求m的值.
17.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根.
（1）若（x1-1）（x2-1）=28，求m的值；
（2）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求△ABC的周长.
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18.已知关于x的方程x2-（2k-1）x+k2-2k+3=0有两个不相等的实数根.
（1）求实数k的取值范围.
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|-|x2|=成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由.
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19.（泰安）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（　　）
A.无实数根 B.有一个正根，一个负根
C.有两个正根，且都小于3 D.有两个正根，且有一根大于3
20.（眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则/+/的值是（　　）
A./ B.﹣/ C.﹣/ D./
参考答案
第二章 一元二次方程
*5 一元二次方程的根与系数的关系
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1.若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是（　D　）
A.2 B.-2 C.4 D.-3
2.若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（　A　）
A.-10 B.10 C.-16 D.16
3.下列一元二次方程两实数根之和为-4的是（　D　）
A.x2+2x-4=0　　B.x2-4x+4=0 C.x2+4x+9=0 D.x2+4x-1=0
4.已知一元二次方程的两个根分别是x=2和x=-3，则这个一元二次方程是（　D　）
A.x2-6x+8=0 B.x2+2x-3=0 C.x2-x-6=0 D.x2+x-6=0
5.已知关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（　B　）
A.-6 B.-3 C.3 D.6
6.若m，n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（　B　）
A.-7　　　 　B.7　　 　　C.3　　　 　D.-3
7.已知方程x2-2x-1=0，则此方程（　C　）
A.无实数根 B.两根之和为-2 C.两根之积为-1 D.有一根为-1+
8.x+y=-6和xy=-7有相同的解，若求x和y的值，可将x，y看作某方程的两根，则该方程应是（　C　）
A.m2+6m+7=0 B.m2-6m-7=0 C.m2+6m-7=0 D.m2-6m+7=0
9.不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：
（1）4x2+1=7x，x1+x2=____，x1·x2=____；
（2）3x2-1=0，x1+x2=__0__，x1·x2=__-__；
（3）x2-6x=0，x1+x2=__6__，x1·x2=__0__；
（4）2x2-（m+1）x-m=0，x1+x2=____，x1·x2=__-__.
10.已知x1，x2是一元二次方程2x2-5x-1=0的两根，则x1-1+x2-1=__-5__.
11.方程x2-2x-3=0，两根分别为3，-1，记为[3，-1]，请写出一个根为[-2，3]的一元二次方程__x2-x-6=0（答案不唯一）__.
12.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程__如：x2-5x+6=0（答案不唯一）__.
13.已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则m=__2__，另一个根为__2__.
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14.已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2+1=0，如果方程的两根之和等于两根之积，求k的值.
解：设方程的两根为x1，x2，根据题意，得Δ=（2k-1）2-4（k2+1）≥0，解得k≤-，
x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1x2=k2+1.
∵方程的两根之和等于两根之积，∴1-2k=k2+1，∴k2+2k=0，∴k1=0，k2=-2.
而k≤-，∴k=-2.
15.已知关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个整数k值，使方程的两根同号，并求出方程的根.
解：（1）∵方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根，∴Δ=（-3）2+4k=9+4k＞0，解得k＞-.
（2）∵方程的两根同号，∴-k＞0，即k<0.又∵k>-，∴整数k=-2或-1.当k=-2时，原方程为x2-3x+2=0，
解得x1=1，x2=2.（答案不唯一）
16.已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=-1，求m的值.
解：∵α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，
∴α+β=-2m-3，α·β=m2，
∴+===-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m=3或m=-1.
∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=（2m+3）2-4×1×m2=12m+9＞0，
∴m＞-，∴m=-1不合题意，舍去，
∴m=3.
17.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根.
（1）若（x1-1）（x2-1）=28，求m的值；
（2）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求△ABC的周长.
解：（1）由题意，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5.
∵（x1-1）（x2-1）=28，∴x1x2-（x1+x2）+1=28，
∴m2+5-2（m+1）+1=28.
由题意，得b2-4ac=[-2（m+1）]2-4（m2+5）≥0，
∴
解得m=6.
（2）当x1=x2时，b2-4ac=0，则m=2，
∴x1=x2=3.
∵3+3＜7，不符合三角形三边关系定理，
∴m=2舍去.
当x1=7时，72-2（m+1）×7+m2+5=0，
解得m=4或m=10.
当m=4时，x2=3，∴周长为3+7+7=17；
当m=10时，x2=15.
∵7+7＜15，不符合三角形三边关系定理，
∴m=10舍去.∴这个三角形的周长为17.
注：x2=7的情况与x1=7的情况相同.
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18.已知关于x的方程x2-（2k-1）x+k2-2k+3=0有两个不相等的实数根.
（1）求实数k的取值范围.
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|-|x2|=成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由.
解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-（2k-1）]2-4（k2-2k+3）=4k-11＞0，
解得k＞.
（2）存在.
∵x1+x2=2k-1，x1x2=k2-2k+3=（k-1）2+2＞0，∴将|x1|-|x2|=两边平方，可得x12-2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2-4x1x2=5，∴（2k-1）2-4（k2-2k+3）=5，即4k-11=5，解得k=4.　
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19.（泰安）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（　D　）
A.无实数根 B.有一个正根，一个负根
C.有两个正根，且都小于3 D.有两个正根，且有一根大于3
20.（眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则/+/的值是（　C　）
A./ B.﹣/ C.﹣/ D./
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