4.5 相似三角形判定定理的证明同步练习题（含答案）

第四章 图形的相似
5 相似三角形判定定理的证明
/
1.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD=1，BD=2，则的值为（　　）
A. 　　　　B. 　　　　　 C.　　　　　 D.
/ // /
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）
2.如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC=（　　）
A.1∶4 　　 B.1∶3 　　 C.2∶3 　　　 D.1∶2
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD∶BD=5∶3，CF=6，则DE的长为（　 　）
A.6 　　　B.8　　　　 C.10 　　　 D.12
4.如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD=30 m，在DC的延长线上找到一点A，测得AC=5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测得AB=6 m，则池塘的宽DE为（　　）
A.25 m 　　 B.30 m 　　　 C.36 m 　　　D.40 m
5.在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
①若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
②若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
③若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
④若AC=A1C1，CB=C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.
其中真命题的个数为（　　）
A.4个　　　　B.3个　　　　　C.2个　　　　　D.1个
6.如图，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有（　　）
A.DE2=AD·AE B.AD2=AF·AB C.AE2=AF·AD D.AD2=AE·AC
/ / / / /
（第6题图） （第7题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图）
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB.其中相似的为（　　）
A.①④ 　　B.①②　　　　C.②③④ 　 　　D.①②③
8.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚1.6 m，梯上点D距墙1.4 m，BD长0.55 m，该梯子的长是 .
9.如图，在边长为9的等边三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为 .
10.在△ABC中，点P是AB上的动点（P异于点A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 条.
上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_ _.
/
11.用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
12.如图所示，已知AD⊥BD，AE⊥BE，求证：AD·BC=AC·BE.
/
13.如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长.
/
14.如图，已知AB∶AD=BC∶DE=AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明理由.
/
15.如图，在△ABC中，AC=BC，点E，F在直线AB上，∠ECF=∠A.
（1）如图①，点E，F在AB上时，求证：AC2=AF·BE；
（2）如图②，点E，F在AB及其延长线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的长.
/
16.如图，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14，问：在DB上是否存在点P，使得△PCD与△PAB相似？如果存在，请求出PD的长；如果不存在，请说明理由.
/
/
17.如图，已知直线l的函数表达式为y=－x+8，且l与x轴、y轴分别交于A，B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q，P移动的时间为t秒.
（1）求点A，B的坐标；
（2）当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）求出（2）中当以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似时线段PQ的长度.
/
/
18.（孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（/﹣1）EF.其中正确结论的个数为（ 　）
/
A.5 B.4 C.3 D.2
19.（扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M.对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM.其中正确的是（　　）
/
A.①②③ B.① C.①② D.②③
参考答案
第四章 图形的相似
5 相似三角形判定定理的证明
/
1.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD=1，BD=2，则的值为（　B　）
A. 　　　　B. 　　　　　 C.　　　　　 D.
/ // /
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）
2.如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC=（　D　）
A.1∶4 　　 B.1∶3 　　 C.2∶3 　　　 D.1∶2
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD∶BD=5∶3，CF=6，则DE的长为（　C　）
A.6 　　　B.8　　　　 C.10 　　　 D.12
4.如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD=30 m，在DC的延长线上找到一点A，测得AC=5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测得AB=6 m，则池塘的宽DE为（　C　）
A.25 m 　　 B.30 m 　　　 C.36 m 　　　D.40 m
5.在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
①若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
②若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
③若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
④若AC=A1C1，CB=C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.
其中真命题的个数为（　B　）
A.4个　　　　B.3个　　　　　C.2个　　　　　D.1个
6.如图，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有（　B　）
A.DE2=AD·AE B.AD2=AF·AB C.AE2=AF·AD D.AD2=AE·AC
/ / / / /
（第6题图） （第7题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图）
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB.其中相似的为（　D　）
A.①④ 　　B.①②　　　　C.②③④ 　 　　D.①②③
8.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚1.6 m，梯上点D距墙1.4 m，BD长0.55 m，该梯子的长是 4.4 m .
9.如图，在边长为9的等边三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为 7 .
10.在△ABC中，点P是AB上的动点（P异于点A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有__3__条.
上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=__30°_.
/
11.用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
解：已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，并分别交AB，AC于点D，E.
求证：△ADE与△ABC相似.
证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
过点D作DF∥AC交BC于点F，
又∵DE∥BC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC，
∴==，
∴==.
而∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC.
12.如图所示，已知AD⊥BD，AE⊥BE，求证：AD·BC=AC·BE.
/
证明：∵AD⊥BD，AE⊥BE，
∴∠ADC=90°，∠BEC=90°.
在△ACD和△BCE中，
∵∠ACD=∠BCE，∠ADC=∠BEC，
∴△ACD∽△BCE，∴=，
∴AD·BC=AC·BE.
13.如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长.
/
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF.
又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA.
（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=AB=12.
∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5.
∵△ABM∽△EFA，∴=，
即=，∴EA=16.9，
∴DE=EA－AD=4.9.
14.如图，已知AB∶AD=BC∶DE=AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明理由.
/
解：∠ABD=∠ACE.理由如下：
∵AB∶AD=BC∶DE=AC∶AE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE.
又∵AB∶AD=AC∶AE，
即AB∶AC=AD∶AE，
∴△BAD∽△CAE，∴∠ABD=∠ACE.
15.如图，在△ABC中，AC=BC，点E，F在直线AB上，∠ECF=∠A.
（1）如图①，点E，F在AB上时，求证：AC2=AF·BE；
（2）如图②，点E，F在AB及其延长线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的长.
/
解：（1）证明：∵AC=BC，
∴∠A=∠B.
∵∠BEC=∠ACE+∠A，∠ACF=∠ACE+∠ECF，∠ECF=∠A，
∴∠ACF=∠BEC，
∴△ACF∽△BEC，∴=，
∴AC2=AF·BE.
（2）∵∠A=60°，AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°=∠ECF，
∴∠ACE=∠FCB.
又∵∠ECB=∠ACB－∠ACE，∠F=∠ABC－∠FCB，∴∠ECB=∠F.
又∵∠ABC=∠A，
∴△ACF∽△BEC，
∴=，∴AF=，
∴BF=AF－AB=.
16.如图，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14，问：在DB上是否存在点P，使得△PCD与△PAB相似？如果存在，请求出PD的长；如果不存在，请说明理由.
/
解：存在.
①若△PCD∽△APB，则=，即=，解得PD=2或PD=12；
②若△PCD∽△PAB，则=，即=，解得PD=5.6.
∴当PD的长为2或12或5.6时，△PCD与△PAB相似.
/
17.如图，已知直线l的函数表达式为y=－x+8，且l与x轴、y轴分别交于A，B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q，P移动的时间为t秒.
（1）求点A，B的坐标；
（2）当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）求出（2）中当以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似时线段PQ的长度.
/
解：（1）在y=－x+8中，
当x=0时，y=8；
当y=0时，x=6.
故点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）.
（2）在△AOB中，∠AOB=90°，OA=6，OB=8，由勾股定理，得AB=10.
由题意易知BQ=2t，AQ=10－2t，AP=t.
在△AOB和△AQP中，∠BAO=∠PAQ，
第一种情况：
当=时，△APQ∽△AOB，
即=，解得t=；
第二种情况：
当=时，△AQP∽△AOB，
即=，解得t=.
故当t为或时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似.
（3）∵以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似，
∴当t=时，=，解得PQ=；
当t=时，=，解得PQ=.
故当以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度是或.
/
18.（孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（/﹣1）EF.其中正确结论的个数为（　B　）
/
A.5 B.4 C.3 D.2
19.（扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M.对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM.其中正确的是（　A　）
/
A.①②③ B.① C.①② D.②③
/