4.8 图形的位似同步练习题（含答案）

第四章 图形的相似
8 图形的位似
1．下列四个图中的两个三角形是位似三角形的是（　　）
A．图③、图④　　B．图②、图③、图④　C．图②、图③ 　D．图①、图②
2．关于对位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（　　）
A．②③　　　　　B．①②　　　　　　C．③④　　　　　D．②③④
3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（　　）
A．（3，3） 　　　 B．（4，3） 　　　C．（3，1） 　　　 D．（4，1）
（第4题图）　 （第4题图）　 （第6题图）　 （第7题图）
4.如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC∶AF=2∶3，则下列结论不正确的是（　　）
A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B．AD与AE的比是2∶3
C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3
D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9
5.在平面直角坐标系中，已知点E（－4，2），F（－2，－2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是（　　）
A．（－2，1）　　　　　　　　　 　　B．（－8，4）
C．（－8，4）或（8，－4） 　　　　　D．（－2，1）或（2，－1）
6.如图，点O是正三角形PQR的中心，点P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时△P′Q′R′与△PQR的位似中心是点______，位似比为__ __．
7．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A（1，0）与点A′（－2，0）是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是______．
8．在平面直角坐标系中，已知点E（－4，2），F（－2，－2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是（　 　）
9.四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（1，3），B（5，2），C（8，4），D（6，9），以原点为位似中心，相似比为的位似图形A1B1C1D1，且四边形A1B1C1D1在第一象限，写出四边形A1B1C1D1的各点坐标.
10．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（－1，3），B（－1，1），C（－3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在网格内，以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值．
11.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A，B，A′，B′，O共线，点O为位似中心．
（1）AC与A′C′平行吗？为什么？
（2）若AB=2A′B′，OC′=5，求CC′的长．
12.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使点A，C重合，直线MN交AC于点O.
（1）求证：△COM∽△CBA；
（2）求线段OM的长度．
13．已知：如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，交DF于点M，点F是BC延长线上一点，且CE=CF.
（1）求证：BM⊥DF；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB.
14．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE，AC.
（1）点F是DC上一点，连接EF交AC于点O（如图①），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD交AE于点G（如图②），求证：四边形EFDG是菱形．
15.（成都）如图，四边形 和 是以点为位似中心的位似图形，若 ，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A． 4：9 B． 2：5 C. 2：3 D．
16.（遂宁）如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为 ____________ ．
参考答案
第四章 图形的相似
8 图形的位似
1．下列四个图中的两个三角形是位似三角形的是（　B　）
A．图③、图④　　B．图②、图③、图④　C．图②、图③ 　D．图①、图②
2．关于对位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（　A　）
A．②③　　　　　B．①②　　　　　　C．③④　　　　　D．②③④
3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（　A　）
A．（3，3） 　　　 B．（4，3） 　　　C．（3，1） 　　　 D．（4，1）
（第4题图）　 （第4题图）　 （第6题图）　 （第7题图）
4.如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC∶AF=2∶3，则下列结论不正确的是（　B　）
A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B．AD与AE的比是2∶3
C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3
D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9
5.在平面直角坐标系中，已知点E（－4，2），F（－2，－2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是（　D　）
A．（－2，1）　　　　　　　　　 　　B．（－8，4）
C．（－8，4）或（8，－4） 　　　　　D．（－2，1）或（2，－1）
6.如图，点O是正三角形PQR的中心，点P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时△P′Q′R′与△PQR的位似中心是点__O__，位似比为__1∶2__．
7．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A（1，0）与点A′（－2，0）是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是__6__．
8．在平面直角坐标系中，已知点E（－4，2），F（－2，－2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是（　D　）
9.四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（1，3），B（5，2），C（8，4），D（6，9），以原点为位似中心，相似比为的位似图形A1B1C1D1，且四边形A1B1C1D1在第一象限，写出四边形A1B1C1D1的各点坐标.
解：∵以原点为位似中心，相似比为，∴对应的点的坐标的比为.∵A（1，3），B（5，2），C（8，4），D（6，9），∴A1（，），B1（，1），C1（4，2），D1（3，）　
10．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（－1，3），B（－1，1），C（－3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在网格内，以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值．
解：（1）如图：
（2）△A2B2C2如图所示，∵△A1B1C1∽△A2B2C2，∵S△A1B1C1∶S△A2B2C2=（）2=.　
11.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A，B，A′，B′，O共线，点O为位似中心．
（1）AC与A′C′平行吗？为什么？
（2）若AB=2A′B′，OC′=5，求CC′的长．
解：（1）AC∥A′C′，理由如下：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，∴△ABC∽△A′B′C′.∴∠A=∠C′A′B′.∴AC∥A′C′.
（2）∵△ABC∽△A′B′C′，∴=.∵AB=2A′B′，∴=.又∵△ABC与△A′B′C是位似图形，∴==.∵OC′=5，∴OC=10，CC′=OC－OC′=10－5=5.
12.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使点A，C重合，直线MN交AC于点O.
（1）求证：△COM∽△CBA；
（2）求线段OM的长度．
解：（1）证明：由折叠得MN⊥AC，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，在△COM与△CBA中，∠OCM=∠BCA，∠MOC=∠B=90°，∴△COM∽△CBA.
（2）由（1）得=，即=，∴OM=.　
13．已知：如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，交DF于点M，点F是BC延长线上一点，且CE=CF.
（1）求证：BM⊥DF；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=BC，∠BCD=90°，在△BEC与△DFC中，∴△BEC≌△DFC，∴∠CDF=∠CBE，又∠BEC=∠DEM，∴∠DMB=∠DCB=90°，∴BM⊥DF.
（2）∵BE平分∠DBF，BM⊥DF，∴∠BDF=∠BFD，∴BD=BF，∴DM=MF，∵CD=BC=2，∴BD=BF=2，∴CF=2－2.在Rt△DCF中，DC=2，CF=2－2，∴DF==.由（1）知：∠MBC=∠FDC.又BE平分∠DBC，∴∠DBM=∠FDC，又∠DME=∠BMD，∴△DEM∽△BDM，∴=，∴BM·ME=DM2=（DF）2=（16－8）=4－2.　
14．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE，AC.
（1）点F是DC上一点，连接EF交AC于点O（如图①），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD交AE于点G（如图②），求证：四边形EFDG是菱形．
证明：（1）∵点E是BC的中点，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD，又∵AD∥BC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE∥DC，∴△AOE∽△COF.　
（2）证明：连接DE，∵AD∥BE，AD=BE，∴四边形ABED是平行四边形，又∠ABE=90°，∴四边形ABED是矩形，∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，∴点E，F分别是BC，CD的中点，∴EF，GE是△CBD的两条中位线，∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF，∴四边形EFDG是菱形.　
15.（成都）如图，四边形 和 是以点为位似中心的位似图形，若 ，则四边形与四边形的面积比为（ A ）
A． 4：9 B． 2：5 C. 2：3 D．
16.（遂宁）如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为 （3，2）或（-9-，2） ．