4.4 探索三角形相似的条件同步练习题（含答案）

第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
1.下列各组条件，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是（　　）
A.∠A=∠A′，∠B=∠B′ B.∠C=∠C′=90°，∠A=12°，∠B′=78°
C.∠A=∠B，∠B′=∠A′ D.∠A+∠B=∠A′+∠B′，∠A－∠B=∠A′－∠B′
2.下列各组图形中有可能不相似的是（　　）
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是105°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形
3.已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　　）
4.甲三角形的三边分别是1，，，乙三角形的三边分别是5，，，则甲，乙两个三角形是（　　）
A.一定相似　 　B.一定不相似 C.不一定相似 　　　D.无法判断
5.如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有（　　）
A.1对　　　　　B.2对　　　　C.3对 　　　　D.4对

（第5题图） （第9题图）　　（第10题图）　（第12题图）
6.已知点E是线段MN的黄金分割点（ME>EN），则下列式子正确的是（　　）
A.=　　 　B.=　　　　　C.= 　 　D.=
7.已知线段AB=10 cm，点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则AC的长为（　　）
A.（5－10） cm 　　B.（15－5） cm C.（5－5） cm 　　D.（10－2） cm
8.把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（　　）
A.（3－）米 　 B.（－1）米　　 　C.（1+）米 　 D.（3+）米
9.如图，锐角三角形ABC的边AB和AC边上的高CE和BF相交于点D，请写出图中一对相似三角形__ __.
10.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为 _.
11.已知线段AD，BC相交于点O，OB∶OD=3∶1，OA=12 cm，OC=4 cm，AB=30 cm，则CD= _cm.
12.如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD=2BD=2，当AC= _时，△ACD∽△ABC.
13.如图，线段AC与BD相交于点O，且OA=12，OC=54，OD=36，OB=18，则△ABO与△DCO _相似.（填“一定”或“不”）
　　　　　　　
（第13题图）　　　　　　　　　（第14题图）　
14如图，BD平分∠ABC，AB=2，BC=3，当BD= _时，△ABD∽△DBC.
15.一个三角形的边长分别为5 cm，8 cm，12 cm，另一个三角形的最长边为7.2 cm，则当另一个三角形的另外两边长是 _cm时，这两个三角形相似.
16.△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为 _.
17.当气温与人体正常体温（37 ℃）之比等于黄金分割比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为 _℃.（取整数）
18.如图，在?ABCD中，点G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有几对，分别写出来.
19.如图，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，求证：=.
20.如图，直线EF分别交△ABC的边AC，AB于点E，F，交边BC的延长线于点D，且AB·BF=BC·BD.求证：AE·EC=EF·ED.
21.如图，在4×4的正方形的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的正方形的顶点上.
（1）填空：∠ABC= _度，BC=_ __；
（2）求证：∠C=∠E.
22.如图，已知==，求证：∠ABD=∠CBE.
23.如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上.
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
24.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似.（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）
25.（邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：　 _　.
26.（重庆）.如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B. C. D.
参考答案
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
1.下列各组条件，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是（　C　）
A.∠A=∠A′，∠B=∠B′ B.∠C=∠C′=90°，∠A=12°，∠B′=78°
C.∠A=∠B，∠B′=∠A′ D.∠A+∠B=∠A′+∠B′，∠A－∠B=∠A′－∠B′
2.下列各组图形中有可能不相似的是（　A　）
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是105°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形
3.已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　C　）
4.甲三角形的三边分别是1，，，乙三角形的三边分别是5，，，则甲，乙两个三角形是（　A　）
A.一定相似　 　B.一定不相似 C.不一定相似 　　　D.无法判断
5.如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有（　D　）
A.1对　　　　　B.2对　　　　C.3对 　　　　D.4对

（第5题图） （第9题图）　　（第10题图）　（第12题图）
6.已知点E是线段MN的黄金分割点（ME>EN），则下列式子正确的是（　A　）
A.=　　 　B.=　　　　　C.= 　 　D.=
7.已知线段AB=10 cm，点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则AC的长为（　C　）
A.（5－10） cm 　　B.（15－5） cm C.（5－5） cm 　　D.（10－2） cm
8.把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（　A　）
A.（3－）米 　 B.（－1）米　　 　C.（1+）米 　 D.（3+）米
9.如图，锐角三角形ABC的边AB和AC边上的高CE和BF相交于点D，请写出图中一对相似三角形__△ABF∽△ACE（或△BDE∽△CDF）__.
10.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为____.
11.已知线段AD，BC相交于点O，OB∶OD=3∶1，OA=12 cm，OC=4 cm，AB=30 cm，则CD=__10__cm.
12.如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD=2BD=2，当AC=____时，△ACD∽△ABC.
13.如图，线段AC与BD相交于点O，且OA=12，OC=54，OD=36，OB=18，则△ABO与△DCO一定相似.（填“一定”或“不”）
　　　　　　　
（第13题图）　　　　　　　　　（第14题图）　
14如图，BD平分∠ABC，AB=2，BC=3，当BD=____时，△ABD∽△DBC.
15.一个三角形的边长分别为5 cm，8 cm，12 cm，另一个三角形的最长边为7.2 cm，则当另一个三角形的另外两边长是__3和4.8__cm时，这两个三角形相似.
16.△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为____.
17.当气温与人体正常体温（37 ℃）之比等于黄金分割比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为__23__℃.（取整数）
18.如图，在?ABCD中，点G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有几对，分别写出来.
解：①△ABD∽△CDB；②△ABE∽△FDE；③△AED∽△GEB；④△ABG∽△FCG∽△FDA，所以图形中一共有6对相似三角形.　
19.如图，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，求证：=.
解：证明：在△ADC与△BEC中，∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，∴∠D=∠E=90°，又∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴=.　
20.如图，直线EF分别交△ABC的边AC，AB于点E，F，交边BC的延长线于点D，且AB·BF=BC·BD.求证：AE·EC=EF·ED.
解：∵AB·BF=BC·BD，∴=.又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBF.∴∠A=∠D.又∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF∽△DEC.∴=，即AE·EC=EF·ED.　
21.如图，在4×4的正方形的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的正方形的顶点上.
（1）填空：∠ABC=__135__度，BC=__2__；
（2）求证：∠C=∠E.
解：（2）证明：由图知，AB=2，BC=2，AC=2，DF=，EF=2，DE=，∴=，==，==，∴==，∴△DEF∽△ACB，∴∠C=∠E.　
22.如图，已知==，求证：∠ABD=∠CBE.
证明：∵==，∴△ABC∽△DBE，∴∠ABC=∠DBE，∴∠ABC－∠DBC=∠DBE－∠DBC，即∠ABD=∠CBE.　
23.如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上.
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
解：（1）∵正方形ABCD的边长是2，点P是AB的中点，∴AB=AD=2，AP=1，∠BAD=90°，∴PD==，∵PF=PD，∴AF=－1.在正方形AMEF中，AM=AF=－1，MD=AD－AM=3－　
（2）点M是线段AD的黄金分割点，由（1）得AD·DM=2（3－）=6－2，又AM2=（－1）2=6－2，∴AM2=AD·DM.　
24.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似.（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）
解：（1）由题意得AB=2，AC=，BC=5，∵AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形.
（2）△ABC与△DEF相似，理由如下：由勾股定理，得DE=4，DF=2，EF=2，则===，∴△ABC∽△DEF.
（3）连接P2P5，P2P4，P4P5，在△P4P5P2中，∵P2P5=，P4P5=2，P2P4=，∴===，∴△ABC∽△P4P5P2.
25.（邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：　△ADF∽△ECF　.
26.（重庆）.如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ C ）
A. B. C. D.