安徽省池州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题

2018 - 2019 学年第一学期期末考试卷
高二理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线2x﹣y﹣12＝0的斜率为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．已知p：x＞2，q：x2﹣x﹣2＞0，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（　　）
A．若l⊥α，α⊥β，则l?β B．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
4．命题“?x∈R，x2﹣2x+2≥0”的否定是（　　）
A．?x∈?，x2﹣2x+2≥0 B．?x∈R，x2﹣2x+2＜0
C．?x0∈R，x02﹣2x0+2≥0 D．?x0∈R，x02﹣2x0+2＜0
5．已知（2，1，﹣3），（﹣1，2，3），（7，6，λ），若P，A，B，C四点共面，则λ＝（　　）
A．9 B．﹣9 C．﹣3 D．3
6．已知命题p：f（x）＝cosx是周期函数；命题q：若m＞0，则关于x的方程x2+mx+m＝0有两个不相等的实数根．下列说法正确的是（　　）
A．“p∨q”为真命题 B．“p∧q”为真命题
C．“￢p”为真命题 D．“￢q”为假命题
7．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA＝3，AB＝2，BC，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）

A．8π B．12π C．16π D．18π
8．圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0被动直线mx+y＝2m+1（m∈R）截得的弦长的最小值为（　　）
A． B． C．4 D．
9．如图是某圆锥的三视图，A，B为圆锥表面上两点在正视图中的位置，其中B为所在边中点，则在该圆锥侧面上A，B两点最短的路径长度为（　　）

A． B． C． D．3
10．已知⊙C1：x2+y2＝r2和⊙C2：x2+y2﹣4x+m＝0的一条公切线方程为，则两个圆的公共弦长为（　　）
A． B． C． D．
11．已知A、B分别是椭圆C：的左、右顶点，抛物线y2＝2px（p＞0）与椭圆C相交于M、N两点，若AM、BN的斜率之积为，则椭圆C离心率是（　　）
A． B． C． D．
12．已知正方体ABCD﹣A'B′C′D′棱长为3，点P在棱AB上，满足PA＝2PB，过点P的平面α与BD′垂直，则平面α截正方体所得截面面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题每小题5分满分20分.
13．命题“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”的逆否命题是　 　．
14．已知双曲线C过点M（2，2），且与x2﹣4y2＝4有相同的渐近线，则双曲线C的方程为　 　．
15．一个小球放入一长方形容器内，且与有公共顶点的三个面相接触，若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则该小球的半径是　 　．
16．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，⊙F与其准线相切，若直线l被C截得线段AB的中点坐标为（1，1），则直线l被⊙F截得的弦长为　 　．
三、解答题：本题共6题满分70分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
17．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程．
18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB中点，PC＝3PE．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面PBC；
（Ⅱ）在AC上是否存在一点M，使得MB∥平面ADE？若存在，请确定点M的位置，并说明理由．

19．如图四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PD＝DC＝BCAB＝2，M为CD的中点，点N在PB上，且PNPB．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣BMN的体积．

20．已知动点P到两定点M（﹣3，0），N（3，0）的距离满足|PM|＝2|PN|．
（Ⅰ）求证：点P的轨迹为圆；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中轨迹为⊙C，过定点（0，1）的直线l与⊙C交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线l的方程．
21．如图，三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱长均为2，O为AC的中点，平面A'OB⊥平面ABC，平面AA'C'C⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：A'O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣C'的余弦值．

22．已知两点A（0，﹣1），B（0，1），直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积是，记点P轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C交于M，N两点，若|AM|＝|AN|，求直线l的斜率k的取值范围．



一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．A
2．A
3．C
4．D
5．B
6．A
7．C
8．B
9．A
10．C
11．A
12．B
二、填空题：本题共4小题每小题5分满分20分.
13．若x＝1且y＝2”则x+y＝3．
14．．
15．3或11．
16．如图，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），
∴．
又AB的中点坐标为（1，1），
∴AB所在直线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．
⊙F的圆心坐标为（1，0），半径为2，F到直线2x﹣y﹣1＝0的距离d．
则直线l被⊙F截得的弦长为．

三、解答题：本题共6题满分70分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
17．（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3），
故边AC所在直线的方程为：，
即3x﹣y+9＝0，
（2）BC边上的中点D（0，2），
故BC边上的中线AD所在直线的方程为，
即2x﹣3y+6＝0，
（3）BC边斜率k，
故BC边上的高AE的斜率k＝2，
故BC边上的高AE所在直线的方程为：y＝2（x+3），
即2x﹣y+6＝0．
18．（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AD，
∵PA＝AB，D为PB中点，∴AD⊥PB，
∵BC∩PB＝B，∴AD⊥平面PBC，
∵AD?平面ADE，∴平面ADE⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：在AC上存在一点M，使得MB∥平面ADE，
证明如下：
取EC中点M，连结BM，
∵D为PB中点，PC＝3PE，∴BM∥DE，
∵DE?平面ADE，BM?平面ADE，
∴在AC上存在一点M，M是CE中点，使得MB∥平面ADE．

19．（Ⅰ）证明：在AB上取一点H，使得，
∵，M为CD中点，
∴DM＝AH，
又∠ABC＝∠BCD＝90°，则AB∥CD，即DM∥AH，
∴四边形AHMD为平行四边形，
∴HM∥AD，
又HM不在平面PAD内，AD在平面PAD内，
∴HM∥平面PAD，
∵PNPB．，
∴NH∥PA，
又NH不在平面PAD内，PA在平面PAD内，
∴NH∥平面PAD，
又NH∩HM＝H，且都在平面NMH内，
∴平面NHM∥平面PAD，
又MN在平面NHM内，
∴MN∥平面PAD；
（Ⅱ），其中hN表示点N到平面ABM的距离，显然，，故，
而，
∴，即三棱锥A﹣BMN的体积为2．

20．（Ⅰ）设P（x，y），则由|PM|＝2|PN|，得（x+3）2+y2＝4[（x﹣3）2+y2]，
化简得x2+y2﹣10x+9＝0，即（x﹣5）2+y2＝16，所以点P的轨迹为圆；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C（﹣5，0），r＝4，因为直线l与⊙C交于A，B两点，故直线斜率存在且不为0，
不妨设直线l的方程为：y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0，
则圆心C到直线l的距离d，
而S△ABC?d?2d?8，
当且仅当d，即d＝2时“＝”成立，
所以当d＝2时，S△ABC有最大值为8，此时d2，解得k＝1或k
则直线l的方程为：x﹣y+1＝0或x+y﹣1＝0．
21．（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱长均为2，O为AC的中点，
∴AC⊥BO，
∵平面A'OB⊥平面ABC，平面A'OB∩平面ABC＝OB，
∴AC⊥平面BOA′，∴AC⊥A′O，
∵平面AA'C'C⊥平面ABC．平面AA'C'C∩平面ABC＝AC．
∴A'O⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA′为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），C′（0，2，），
（，1，0），（，2，），
设平面BCC′的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，，﹣1），
平面ABC的法向量（0，0，1），
设二面角A﹣BC﹣C'的平面角为θ，由图知θ是钝角，
∴cosθ．
∴二面角A﹣BC﹣C'的余弦值为．

22．（Ⅰ）设点P（x，y），则kPA，kPB，则有?，
整理得x2+3y2＝3（x≠0），即曲线C的轨迹方程为x2+3y2＝3（x≠0）；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），其中点E（x0，y0），则，
两方程相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，
所以x0+3y0k＝0①，
又因为AE⊥MN，所以，即x0+ky0＝﹣k②，
联立①②得x0k，y0k，即E（27k，），
因为点E在椭圆内部，所以k21，所以k2，
又因为k≠0，所以k∈（，0）∪（0，）．