2.1数列的概念与简单表示法(共43张PPT)

(共43张PPT)
2.1 数列的概念与简单
表示法
国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？
新课导入
4，
5，
6，
7，
8，
9，
10
从下往上钢管的数目有什么规律？钢管的总数是多少？如果增加钢管的层数，有没有更快捷的方法求出总数？
1----
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3----
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15, 5, 16, 16, 28,32
从1984到2004年金牌数
奥 运
之 光
在本章我们将学习数列的知识，学完后解决这类问题那是小菜一碟，我们拭目以待。。。
请观察:
(1) 2, 3, 4, 5, 6,
(2) 1，3， 32 ，33，34，…
(3) 0, 10, 20, 30, …, 1000
(5) -1, 1, -1, 1, -1, …
(4) ….
(6) 66, 56, 34, 21, 11…
向上面的例子中，按一定次序排列的一列数叫数列.
数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，······，第n项， ······

数列的一般形式可以写成 a1，a2，…，an，…
其中an是数列的第n项。简记为{an}.
数列的分类
(1)按项分类：可以分为有穷数列和无穷数列.
有穷数列:项数有限的数列
无穷数列:项数无限的数列
(2)按 的增减性分类：
递减数列:从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递增数列.
摆动数列;如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫摆动数列.
常数列:如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列.
递增数列:从第2项起，每一项都不小于它的 前一项的数列叫做递增数列.

上述6个数列中的项与序号的关系有没有规律？如何总结这些规律？
数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数.如数列（1）
序号 1 2 3 4 5

项 2 3 4 5 6
←
←
←
←
←
如果已知一个数列的通项公式，那么依次用1，2，3，….代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项.
从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N＊（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数自变量从小到大一次取值时对应的一列函数值，且数列的通项公式也就是相应函数的解析式.
数列可以用图像来表示：（见下页）

数列图象
是一些点
an=n+1的图象
如果数列{ an }中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式.
也满足
时，
才是数列的通项公式.
注意：只有当
a1
注意:
有些数列的通项公式并不唯一，如数列(5)
并不是所有的数列都有通项公式，如数列(6)
数列通项公式an=2n-1（n ≤ 64),只要依次用n=1，2，3，4，… 64代替公式中的n，就可以求出各项，也就是说，
a1=1, a2=2=2a1
a3 =4=2a2 ……
a64=263=2a63


即：a1=1, an=2an-1(2≤n ≤64)
向上面那样，如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项 an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
递推公式也是给出数列的一种方法.
题型1
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
解决本类问题关键是观察归纳各项与对应的项数之间的联系．同时.要善于利用我们熟知的一些基本数列，建立合理的联想，转化而达到问题的解决．
例1
观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：
（2）1，2，4，8，（），32
答案
（2）括号内填 16 ，通项公式为:an=2n-1
分析
（1）根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改成以12为分母的分数.
（2）一看都是2的倍数，则要分析是2的几次幂.
例2

(1) 3，8，15，24，…
-1, 3, -6, 10, …
1, 0, 0, 0,…
6，66，666，6666，…
写出下面数列的通项公式，是它们的前四项分别是下列各数：
例2解析:
(1) 注意观察各项与对应序号的关系，可以发现：
3=1×3， 8=2×4， 15=3×5， 24=4×6
所以an=n(n+2)。

本小题也可以与数列4，9，16， 25，…(n+1)2比较，得出：
an=(n+2)2-1=n(n+2).
(2)各项的公共特点是负正相间。观察各项绝对值与对应序号关系，初看找不到规律，可将各项绝对值试迟疑序号：
数列分子是1，0重复变化，可看成是数列1，-1，1，-1…对应项和的 组成的新数列，分母是自然数列的各项，故所给数列的通项公式是
(4) 将题设数列与数列9，99，999，9999，99999， …… an=10n-1
总结评述
已知一个数列的前几项，写出这个数列的一个通项公式时，将这个数列向我们熟悉的数列划归，是一种重要的思路.
常见数列的通项公式：
（1）-1，1，-1，1，-1，1…，an= (-1)n
（2）1，2，3，4，5， … ，an= n
（3) 2 ，4，6，8，10 …，an= 2n
（4）1 ，3，5，7，9 …，an= 2n-1
（5）1，4，9，16，25 …，an= n2
(6) 9，99，999，9999 …，an= 10n-1

此题型大致分两类。一类是根据前几项的特点归纳猜想出的表达式。然后用数学归纳法证明：另一类是将已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形。然后采用累加法、累乘法、迭代法、换元法、或转化基本数列(等差或差比)方法求算通项．
题型2
已知数列的递推关系求数列的通项
例3
已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式。
a1=0，an+1=an+(2n-1)
解:
例4
已知数列{an}满足a1=2，a2=5，a4=23，且an+1=Xan+Y,求实数X、Y的值.
分析：
通过地推公式求出a2，a4，解方程组，即求出未知数X、Y.
解：
由已知可得
a2=Xa1+Y 即：5=2X+Y
a3=Xa2+Y=5X+Y
a4=Xa3+Y=X(5X+Y)+Y 即：23=5a2+Xa+Y
①
②
联立① 、②得方程组
2X+Y=5
5a2+Xa+Y=23
解之得：
X=2
Y=1
或
X= -3
Y=11
1、数列的概念
数列是按照一定次序构成的一列数，其中数列中数的有序性是数列的灵魂.
2、数列的通项公式
并非每一个数列都可以写出通项公式；有些数列的通项公式也并非是唯一的.
课堂小结
如果数列{ an }中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式.
3、数列的分类
按项分类：
有穷数列：项数有限
无穷数列：项数无限
按 的增减性分类：
递增数列：
递减数列：
摆动数列：
常数数列：
如何求数列{an}的通项公式an的最大值？
﹖
探索延拓创新一
◆
思路一
思路二
数列是一个特殊的函数，我们可以利用函数求最值的方法去求解数列中的最值问题.
利用数列的单调性求解.
判断数列的单调性往往只需要比较相邻两项an和an+1的大小。这一点源于函数的单调性而有充分利用了数列的特殊性.
思路三
利用an最大的一个必要条件
首先求得满足条件的n的取值范围，然后找出此范围内的正整数的值，最后比较它们对应项的大小，其中最大的一项就是an的最大值.
an≥an-1
an≥an+1
求解.
◆
﹖
数列的通项公式an与前n项和公式sn
探索延拓创新二
an =
S1 ， n=1
Sn-Sn-1 ， n ≥ 2
an 与前n项和Sn之间的关系式为：
值得注意的是，
由前n项和sn求通项公式an=f(n)时，要n=1与n ≥ 2两种情况分别进行运算，然后验证两种情况可否用统一式子表示。若不能，就用分段函数表示.
探索延拓创新三
斐波那契数列指的是这样一个数列：

1、1、2、3、5、8、13、21、……
“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）.
　 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的.
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和.它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例.）（√5表示根号5）
随堂练习
一、根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：

(1) 解法1 联系数列2，4，8，16，32，…， (想到这一点是关键)
(3)注意到分母分别是1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…为两个连续奇数的积.
　　 1. 已知数列的通项公式为an=(-1)n+1·(2n-3) ，则
a3+a4+a5=__________．
2. 已知数列的通项为an=2n(n+1)，则a2+a8=_____________．
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二、填空题：