2.2等差数列(共43张PPT)
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(共43张PPT)
2.2 等差数列
1、数列的概念
2、导出数列的方法
你还记得吗？
首先对上一节课，进行回顾
回顾旧知
上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看这样一些例子
1，2，3，4，5，6；
10，8，6，4，2，0，-2；
2，2，2，2，2，2，2；
新课导入
1、某剧场前十排的座位数分别是：
48， 50， 52， 54， 56， 58，60， 62，64， 66 .
2、某运动员7天里的训练量是：
7550， 8050，8550， 9050， 9550， 10050，10550.
这些数列有什么特点，下面我们来学习。。。
好好学习
天天向上
1、 观察与思考 ：下面的几个数列
从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点？
分析：后一项与前一项的差的特点是：
1，1，1，1，1，1 … 是常数1.
-3，-3，-3，-3，-3 … 是常数-3.
0.1，0.1， 0.1，0.1， 0.1 … 是常数0.1.
这些数列的共同特点：从第二项起，每一项的差都等于同一常数.
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母d表示.
1.an-an-1=d (n≥2)（数学表达式）
等差数列公差的知识要点
2.公差是唯一的常数；
3.等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差.不能颠倒
4.作差的结果要求是同一个常数.
可以是整数，也可以是０和负数.
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d那么根据等差数列的定义得：
a2-a1=d， a3-a2=d， a4-a3=d， …所以a2=a1+d，a3=a1+2d， a4=a1+3d …
an=a1+（n-1）d
由此得到
【说明】 数列{ an }为等差数列?
an+1-an=d或an+1=an+d
当n=1时，上面等式两边均为a1，即等式也是成立的，这表明n∈N+时上面公式都成立，因而它就是等差数列的通项公式.
an=a1+（n-1）d
拓展：
由数列的单调性定义，易得
{an}为递增数列? d>0
{an}为递减数列? d<0
{an}为常数列? d=0
等差数列的单调性
(1)数列{an}是等差数列?an+1-an=d（常数）.
(2)数列{an}是等差数列?an=a1+（n-1）d .
(3)数列{an}是等差数列?an=am+(n-m)d.
(4)数列{an}是等差数列?an=dn+b,其中d，b为常数.
(1)对于任意正整数n，都有an+1-an=a2-a1；
(2){an}的通项公式：an=（a2-a1)n+(2a1-a2)；
(3)对于任意正整数m，n，q，p，若m+n=q+p，则am+an=ap+aq.
判断是否为等差数列
解析（1）、该数列的第2项与第一项的差是1，其余的后一 项与 前一项的差都是2.不符合等差数的定义 要求从第2项起后项与前项的差是同一个常数. 所以, 它不是等差数列.
（2）、不是. 理由同（1）.
（3）、是. 它符合等差数列的定义.
注意：
1、等差数列要求从第2项起，后一项与
前一项作差. 不能颠倒.
2、作差的结果要求是同一个常数.
可以是整数，也可以是０和负数.
（4）、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是 ：1，2 ， 3 ，4 ，5 ，‥‥是常数，但不是同一常数. 所以不是.
等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？
由a，A, b成等差数列，得
A-a=b-A
所以A=
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
解析：由已知条件得通项公式为：a12=a1+（12-1）d,带入得d=7所以，梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，其中还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.
（2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项.
（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它 的通项公式.
（3）、 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥的项 ？如果是，是第几项？
例 1：
（1）分析：知道a1 ,d，求an 。代入通项公式。
解：
∵ a1=3 , d=2
∴ an=a1+(n-1)d
=3+(n-1) ×2
=2n+1
解： ∵ a1=10, d=8-10= -2 ， n=20
由an=a1+(n-1)d 得
∴ a20 =a1+(n-1)d
=10+(20-1)×(-2)
= -28
（2）分析：根据a1=10，d= -2，先求出通项公式an ，再求出a20
解： ∵ a1= -5, d= -9-(-5)= -4
∴ an= -5+(n-1) ×(-4)
= -4n-1
∵ -401= -4n-1
∴n=100
∴ -401是该数列的第100项.
（3）分析：根据a1= -5，d= -4，先求出通项公式an ，再把 –401代入，然后看是否存在正整数n .
若a1+a4+a7=39, a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9= ——.
分析：这是一组求等差数列中某些元素的问题，考察等差数列的基本参数和其性质.
例2、
数列a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9也是等差数列，所以：
2（ a2+a5+a8 ）=（ a1+a4+a7 ）+ （ a3+a6+a9 ）
所以： a3+a6+a9=2×33-39=27
解：
在等差数列{an}中 ,已知a6=12 ，a18=36 ,求首项a1 ，公差 d 及通项an .
分析： 此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d .
例3：
∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n
∴ d = 2 a1 =2
解：
由题意可得
a1+5d=12 ①
a1+17d=36 ②
1、 等差数列的概念.必须从第2项起后项减去前项，并且差是 同 一常数.
2、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量.
课堂小结
3、等差数列{an}中an=a1+（n-1）
d，可整理为an=dn+（a1-d）.
4、如果a，A，b成等差数列，那
么A叫做a与b的等差中项.
记一记
高考链接
1.（2019 湖南）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，已知a2=3，a6=11,则s7等于 （ ）
A. 13 B.35 C.49 D.63
C
B
（1）、求等差数列 3 ，7 ， 11 ，‥‥的第4项和第10项。
（2）、100是不是等差数列 2 ，9 ， 16 ，‥‥的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
（3）、 -20是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，‥‥的项？如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。
1、做一做：
随堂练习
（1）∵ a1=3 ，
d=7-3= 4
∴ an=3+4（n-1）
= 4n-1
∴ a4=4×4-1=15 ，
a10=4×10 –1=39.
答案：
（2）∵ a1=2 ，d=9-2=7
∴ an=2+7（n-1)
= 7n-5
∵ 100=7n-5
∴ n =15
∴ 100是该数列的第15项.
（3）∵ a1=0 ， d= -3.5 -0= -3.5
∴ an=0-3.5（n-1）
= -3.5n+3.5
∵ -20= -3.5n+3.5无正整数解
∴ -20不是该数列的项.
已知等差数列的通项公式，an , a1 , n ，d 这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量.
1.在等差数列{an}中，
（1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d .
（2）已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 .
本题主要考查等差数列的通项公式，属于最基本的题目.
小试牛刀
（1）由题意得
解：
（2）由题意得
在解题过程中灵活运用等差数列的性质是提高解题速度的关键。
高考pk，不让一招一式.
（05年福建）已知等差数列{an}中，a7+a9=16,a4=1, 则a12的值是（ ）
解析高考
利用公式
对于任意正整数m，n，q，p，若m+n=q+p，则am+an=ap+aq
带入得a12=15.
a7+a9=a4+a12
高考预测题
若a1-a4-a8-a12+a15=2，则a3+a13= ——.
高瞻远瞩，不弃一草一木.
法一：由条件式，可得a1-（a1+3d）-（a1+7d）-（a1+11d）+（a1+14d）=2得：a1+7d=-2
所以a3+a13=2a8=2（a1+7d）=-4
法二：2a8=a1+a15=a4+a12，
a8=-2所以a3+a13=2a8=-4
解析：
2.2 等差数列
1、数列的概念
2、导出数列的方法
你还记得吗？
首先对上一节课，进行回顾
回顾旧知
上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看这样一些例子
1，2，3，4，5，6；
10，8，6，4，2，0，-2；
2，2，2，2，2，2，2；
新课导入
1、某剧场前十排的座位数分别是：
48， 50， 52， 54， 56， 58，60， 62，64， 66 .
2、某运动员7天里的训练量是：
7550， 8050，8550， 9050， 9550， 10050，10550.
这些数列有什么特点，下面我们来学习。。。
好好学习
天天向上
1、 观察与思考 ：下面的几个数列
从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点？
分析：后一项与前一项的差的特点是：
1，1，1，1，1，1 … 是常数1.
-3，-3，-3，-3，-3 … 是常数-3.
0.1，0.1， 0.1，0.1， 0.1 … 是常数0.1.
这些数列的共同特点：从第二项起，每一项的差都等于同一常数.
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母d表示.
1.an-an-1=d (n≥2)（数学表达式）
等差数列公差的知识要点
2.公差是唯一的常数；
3.等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差.不能颠倒
4.作差的结果要求是同一个常数.
可以是整数，也可以是０和负数.
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d那么根据等差数列的定义得：
a2-a1=d， a3-a2=d， a4-a3=d， …所以a2=a1+d，a3=a1+2d， a4=a1+3d …
an=a1+（n-1）d
由此得到
【说明】 数列{ an }为等差数列?
an+1-an=d或an+1=an+d
当n=1时，上面等式两边均为a1，即等式也是成立的，这表明n∈N+时上面公式都成立，因而它就是等差数列的通项公式.
an=a1+（n-1）d
拓展：
由数列的单调性定义，易得
{an}为递增数列? d>0
{an}为递减数列? d<0
{an}为常数列? d=0
等差数列的单调性
(1)数列{an}是等差数列?an+1-an=d（常数）.
(2)数列{an}是等差数列?an=a1+（n-1）d .
(3)数列{an}是等差数列?an=am+(n-m)d.
(4)数列{an}是等差数列?an=dn+b,其中d，b为常数.
(1)对于任意正整数n，都有an+1-an=a2-a1；
(2){an}的通项公式：an=（a2-a1)n+(2a1-a2)；
(3)对于任意正整数m，n，q，p，若m+n=q+p，则am+an=ap+aq.
判断是否为等差数列
解析（1）、该数列的第2项与第一项的差是1，其余的后一 项与 前一项的差都是2.不符合等差数的定义 要求从第2项起后项与前项的差是同一个常数. 所以, 它不是等差数列.
（2）、不是. 理由同（1）.
（3）、是. 它符合等差数列的定义.
注意：
1、等差数列要求从第2项起，后一项与
前一项作差. 不能颠倒.
2、作差的结果要求是同一个常数.
可以是整数，也可以是０和负数.
（4）、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是 ：1，2 ， 3 ，4 ，5 ，‥‥是常数，但不是同一常数. 所以不是.
等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？
由a，A, b成等差数列，得
A-a=b-A
所以A=
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
解析：由已知条件得通项公式为：a12=a1+（12-1）d,带入得d=7所以，梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，其中还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.
（2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项.
（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它 的通项公式.
（3）、 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥的项 ？如果是，是第几项？
例 1：
（1）分析：知道a1 ,d，求an 。代入通项公式。
解：
∵ a1=3 , d=2
∴ an=a1+(n-1)d
=3+(n-1) ×2
=2n+1
解： ∵ a1=10, d=8-10= -2 ， n=20
由an=a1+(n-1)d 得
∴ a20 =a1+(n-1)d
=10+(20-1)×(-2)
= -28
（2）分析：根据a1=10，d= -2，先求出通项公式an ，再求出a20
解： ∵ a1= -5, d= -9-(-5)= -4
∴ an= -5+(n-1) ×(-4)
= -4n-1
∵ -401= -4n-1
∴n=100
∴ -401是该数列的第100项.
（3）分析：根据a1= -5，d= -4，先求出通项公式an ，再把 –401代入，然后看是否存在正整数n .
若a1+a4+a7=39, a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9= ——.
分析：这是一组求等差数列中某些元素的问题，考察等差数列的基本参数和其性质.
例2、
数列a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9也是等差数列，所以：
2（ a2+a5+a8 ）=（ a1+a4+a7 ）+ （ a3+a6+a9 ）
所以： a3+a6+a9=2×33-39=27
解：
在等差数列{an}中 ,已知a6=12 ，a18=36 ,求首项a1 ，公差 d 及通项an .
分析： 此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d .
例3：
∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n
∴ d = 2 a1 =2
解：
由题意可得
a1+5d=12 ①
a1+17d=36 ②
1、 等差数列的概念.必须从第2项起后项减去前项，并且差是 同 一常数.
2、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量.
课堂小结
3、等差数列{an}中an=a1+（n-1）
d，可整理为an=dn+（a1-d）.
4、如果a，A，b成等差数列，那
么A叫做a与b的等差中项.
记一记
高考链接
1.（2019 湖南）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，已知a2=3，a6=11,则s7等于 （ ）
A. 13 B.35 C.49 D.63
C
B
（1）、求等差数列 3 ，7 ， 11 ，‥‥的第4项和第10项。
（2）、100是不是等差数列 2 ，9 ， 16 ，‥‥的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
（3）、 -20是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，‥‥的项？如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。
1、做一做：
随堂练习
（1）∵ a1=3 ，
d=7-3= 4
∴ an=3+4（n-1）
= 4n-1
∴ a4=4×4-1=15 ，
a10=4×10 –1=39.
答案：
（2）∵ a1=2 ，d=9-2=7
∴ an=2+7（n-1)
= 7n-5
∵ 100=7n-5
∴ n =15
∴ 100是该数列的第15项.
（3）∵ a1=0 ， d= -3.5 -0= -3.5
∴ an=0-3.5（n-1）
= -3.5n+3.5
∵ -20= -3.5n+3.5无正整数解
∴ -20不是该数列的项.
已知等差数列的通项公式，an , a1 , n ，d 这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量.
1.在等差数列{an}中，
（1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d .
（2）已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 .
本题主要考查等差数列的通项公式，属于最基本的题目.
小试牛刀
（1）由题意得
解：
（2）由题意得
在解题过程中灵活运用等差数列的性质是提高解题速度的关键。
高考pk，不让一招一式.
（05年福建）已知等差数列{an}中，a7+a9=16,a4=1, 则a12的值是（ ）
解析高考
利用公式
对于任意正整数m，n，q，p，若m+n=q+p，则am+an=ap+aq
带入得a12=15.
a7+a9=a4+a12
高考预测题
若a1-a4-a8-a12+a15=2，则a3+a13= ——.
高瞻远瞩，不弃一草一木.
法一：由条件式，可得a1-（a1+3d）-（a1+7d）-（a1+11d）+（a1+14d）=2得：a1+7d=-2
所以a3+a13=2a8=2（a1+7d）=-4
法二：2a8=a1+a15=a4+a12，
a8=-2所以a3+a13=2a8=-4
解析：