2.5等比数列前n项和(共39张PPT)
文档属性
| 名称 | 2.5等比数列前n项和(共39张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-10 16:21:46 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
2.5等比数列前n项和
回顾旧知
注意：当q=1时，等比数列{an}为常数列.
2.求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、迭加和迭乘法、构造法、公式法 .
3.回想一下解等比数列题的一些技巧与方法.
国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？
新课导入
1+2+4+8+…+263= 18446744073709551615（粒）
已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨.
经过计算，我们得到麦粒总数是
那么这是怎么计算的呢？其实是一个比较大小的问题，则实质上是求等比数列前n项和的问题.
发明者要求的麦粒总数是：
S64=1+2+22+23+…+263 ①
上式有何特点？
如果①式两端同时乘以2得:
2S64=2+22+23+…+263+264 ②
比较①、②两式，有什么关系呢？
S64=1+2+22+23+…+263 ①
2S64= 2+22+23+…+263+264 ②
两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则②－①得：
S64=264-1= 18446744073709551615
设问： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2呢？
等比数列前n项和公式及推导
在等比数列{an}中首先要考虑两种情况：
当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an =？
S1=a1
S2=a1 +a2 =a1+a1q
=a1(1+q)
S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2
=a1(1+q+q2)
S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3
=a1(1+q+q2+q3)
分析：
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ①
qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ②
① -②得： Sn (1—q)=a1—a1qn
则等比数列{an}前n项和公式为
1.注意q=1与q≠1两种情况.
通过上面的讲解，对于等差数列的相关量a1、d、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？
例1
解法2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，
即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}，
其中b1=a8=1，q=2，所以前8项和
分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不能直接用公式求和，
但将它转化为
10－1，100－1，1000－1，……，
就可以解决了。
例2
原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1)
=(10+100+1000+……+10n)－n
解：
例3
某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p>0)，求这个工厂去年全年产值的总和。
解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，
3月，4月，……，的产值分别为a(1+p)2元，a(1+p)3元，……，
所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p，
例4
例5
注意：当等比数列的通项公式中有参数，求前n项和时要注意公比是否为1．
例6
例7
例8
如图，为了估计函数y=9-x2 在第一象限的图象与x轴、y轴围城的区域的面积X，把x轴上的区间[0，3]分成n等份，从各分点作y轴的平行线与函数图像相交，再从各点向左作x轴的平行线，构成（n-1）个矩形的面积的和S.
阅读程序，回答下列问题：
（1）程序中的AN、SUM分别表示什么，为什么？
（2）请根据程序分别计算当n=6，11，16时，各个矩形的面积的和（不必在计算机上运行程序）。
SUM=0
K=1
INPUT“请输入将[0,3]分成的份数n:”；N
WHILE K<=N-1
AN=(9-(k*3／N)^2)*3 ／N
SUM=SUM+AN
PRINT k,AN,SUM
K=k+1
WEND
END
（2）根据程序，当n=6时，5个矩形的面积的和就是输入N=6时，SUM的最后一个输出值，即SUM=15.736（这里精确到小数点后3位）.
当n=11时，10个矩形的面积的和就是输入N=11时，SUM的最后一个输出值，即SUM=16.736.
当n=16时，我们得到15个矩形的面积的和SUM=17.139.
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？
解：这句古语用现代文叙述是：
一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.
思考与余味
它的前n项和为
这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.
课堂小结
本节课主要讲述了等比数列的前n项和公式：
以及他们的推导过程，在具体使用时,不一定完全套用公式,要灵活变通.
1.推导等差数列前 n项和公式的方法.
2.公式的应用中的数学思想.
-------错位相加法
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知
其中三个量，可以求其余两个.
-------知三求二
（17年广东）等比数列{an}中，a1=3,an=96,sn=189,求n的值．
解：
由
得： q=2
所以：
高考链接
随堂练习
2.某商场第1年销售计算机５０００台，如果平均每年的销售量比上一年增
加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到３００００台
（保留到个位）？
分析：由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，
每年的销售量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.
解：设每年的产量组成一个等比数列
其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000
∴
整理可得：1.1n=1.6两边取对数得
即：
答：约5年内可以使总销售量达到30000台.
2.5等比数列前n项和
回顾旧知
注意：当q=1时，等比数列{an}为常数列.
2.求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、迭加和迭乘法、构造法、公式法 .
3.回想一下解等比数列题的一些技巧与方法.
国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？
新课导入
1+2+4+8+…+263= 18446744073709551615（粒）
已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨.
经过计算，我们得到麦粒总数是
那么这是怎么计算的呢？其实是一个比较大小的问题，则实质上是求等比数列前n项和的问题.
发明者要求的麦粒总数是：
S64=1+2+22+23+…+263 ①
上式有何特点？
如果①式两端同时乘以2得:
2S64=2+22+23+…+263+264 ②
比较①、②两式，有什么关系呢？
S64=1+2+22+23+…+263 ①
2S64= 2+22+23+…+263+264 ②
两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则②－①得：
S64=264-1= 18446744073709551615
设问： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2呢？
等比数列前n项和公式及推导
在等比数列{an}中首先要考虑两种情况：
当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an =？
S1=a1
S2=a1 +a2 =a1+a1q
=a1(1+q)
S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2
=a1(1+q+q2)
S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3
=a1(1+q+q2+q3)
分析：
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ①
qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ②
① -②得： Sn (1—q)=a1—a1qn
则等比数列{an}前n项和公式为
1.注意q=1与q≠1两种情况.
通过上面的讲解，对于等差数列的相关量a1、d、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？
例1
解法2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，
即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}，
其中b1=a8=1，q=2，所以前8项和
分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不能直接用公式求和，
但将它转化为
10－1，100－1，1000－1，……，
就可以解决了。
例2
原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1)
=(10+100+1000+……+10n)－n
解：
例3
某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p>0)，求这个工厂去年全年产值的总和。
解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，
3月，4月，……，的产值分别为a(1+p)2元，a(1+p)3元，……，
所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p，
例4
例5
注意：当等比数列的通项公式中有参数，求前n项和时要注意公比是否为1．
例6
例7
例8
如图，为了估计函数y=9-x2 在第一象限的图象与x轴、y轴围城的区域的面积X，把x轴上的区间[0，3]分成n等份，从各分点作y轴的平行线与函数图像相交，再从各点向左作x轴的平行线，构成（n-1）个矩形的面积的和S.
阅读程序，回答下列问题：
（1）程序中的AN、SUM分别表示什么，为什么？
（2）请根据程序分别计算当n=6，11，16时，各个矩形的面积的和（不必在计算机上运行程序）。
SUM=0
K=1
INPUT“请输入将[0,3]分成的份数n:”；N
WHILE K<=N-1
AN=(9-(k*3／N)^2)*3 ／N
SUM=SUM+AN
PRINT k,AN,SUM
K=k+1
WEND
END
（2）根据程序，当n=6时，5个矩形的面积的和就是输入N=6时，SUM的最后一个输出值，即SUM=15.736（这里精确到小数点后3位）.
当n=11时，10个矩形的面积的和就是输入N=11时，SUM的最后一个输出值，即SUM=16.736.
当n=16时，我们得到15个矩形的面积的和SUM=17.139.
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？
解：这句古语用现代文叙述是：
一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.
思考与余味
它的前n项和为
这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.
课堂小结
本节课主要讲述了等比数列的前n项和公式：
以及他们的推导过程，在具体使用时,不一定完全套用公式,要灵活变通.
1.推导等差数列前 n项和公式的方法.
2.公式的应用中的数学思想.
-------错位相加法
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知
其中三个量，可以求其余两个.
-------知三求二
（17年广东）等比数列{an}中，a1=3,an=96,sn=189,求n的值．
解：
由
得： q=2
所以：
高考链接
随堂练习
2.某商场第1年销售计算机５０００台，如果平均每年的销售量比上一年增
加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到３００００台
（保留到个位）？
分析：由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，
每年的销售量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.
解：设每年的产量组成一个等比数列
其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000
∴
整理可得：1.1n=1.6两边取对数得
即：
答：约5年内可以使总销售量达到30000台.