3.4基本不等式(共41张PPT)

(共41张PPT)
（第1课时）
新课导入
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
基本不等式的几何背景.
实际上，我们可以尝试用四个全等的直角三角形拼成上面那个“风车”图案.
赵爽弦图
从图形的面积的角度你能找不一些不等关系吗？
探究
我们继续导入中的问题，观察下图中的不等关系.
由图中可得：
为什么？
在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a和b，那么正方形的边长为
这样，4个直角三角形的
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以我们就得到了一个不等式：
面积的和是2ab，正方形的面积为
1、不等式
在什么条件下
都成立吗？
形的角度
a>0,b>0
数的角度
从而，a和b是实数时，不等式都成立.
2、公式中等号成立的条件是什么？
形的角度
数的角度
a=b
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有不等式等号成立.
3、公式两边具有何种运算结构？
数的角度:平方和不小于积的2倍
由上面的讨论，我们得到一个结论:
(当且仅当a=b时，等号成立)
引申
1、认识基本不等式
特别的，如果a>0,b>0,我们用
去
代替a和b，可得
通常我们把上
式写成
（当且仅当a=b时取等号）
从而我们得到了这个基本不等式.
2、从不等式的性质推导基本不等式的性质.
分析：我们从几何图形中的关系获得了基本不等式，能否利用不等式的性质，直接推导出这个不等式呢？
要证（2），只要证
要证
（1）
只要证
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时， （4）中的等号成立.
3、这样，我们又一次的得到了基本不等式
分析法即为，之前证明基本不等式时用的以结论来推过程的方法.
1、经过以上的引申，我们得到了一个基本
不等式
2、我们应熟练掌握分析法证明不等式.
是什么？
我们之前用分析法证明了基本不等式，它有什么几何意义吗？
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.
根据圆的性质，我们知道：
半径不小于半弦
从而得到：
概念
1、如果把
看作是正数a、b的等差中项，
看作是正数a、b的等比中项，
那么该定理
可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2、在数学中，我们称
为a、b的算术
平均数 ，称
为a、b的几何平均数.本节
定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
（第2课时）
先学自研
问题导思：自学教材98-99页内容，解决下面几个问题.
1.在例1中，（1）题当面积确定时，长和宽取什么值时篱笆的周长最短? （2）题当周长确定时，长和宽取什么值时篱笆围成的面积越大？
互动探究
1、用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短篱笆是多少？
2、一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
实际问题
例1 （1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
解：
（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m.
由
可得
即x+y≥20,当且仅当x=y=10时等号成立.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
（2）解法一：设矩形菜园的宽为x　m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜
其面积S＝
x（36－2x）＝
×2x（36－2x）
当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2.
解法二：设矩形菜园的长为x m,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积
为xy m2.由
可得xy≤81.
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.
从上面的实际问题中，你能得到什么结论呢？
1、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M
为定值，则ab
等号当且仅当a＝b时成立.
2、两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b
等号当且仅当a＝b时
成立 .
应用
某厂生产化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，某年生产总成本y（万元）与年产量x(吨）之间的关系可近似地表示为　　　
求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？
解：
每吨平均成本为
（万元），则
≥10
即
当且仅当
即x=200时，取等号
用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
1、先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
2、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
3、在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
4、正确写出答案.
求最值
已知：0＜x＜
，求函数y=x（1-3x）的最大值.
利用二次函数求某一区间的最值
分析一、
原函数式可化为：
y=-3x2+x，
分析二、
挖掘隐含条件
则1-3x＞0；
即x=
ymax=
，∴1-3x＞0
∴y=x（1-3x）=
当且仅当 3x=1-3x
可用均值不等式法
解：
1、利用上述重要不等式求函数的最值时务必注意三点达到：一正二定三能等!
具体指的是什么？
(1)各项必须为正;
(2)含变数的各项和或积必须为定值;
(3)必须有自变量值能使函数取到 = 号.
证明
2、主要用到的方法和技巧是：凑、拆,使之出现和为定值或积为定值特征.
求证：在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短.
设矩形的长为x，宽为y，那么该矩形的周长2(x+y),面积为xy，这样问题就转化为：
（1）如果2(x+y)(从而x+y）为定值，那么正数x、y 相等时，xy最大.
（2）如果 xy为定值，那么正数 x=y时，2(x+y)最小，（从而 x+y）最小.
解：
课堂小结
(当且仅当a=b时，等号成立).
1、经过本节课的学习，我们得到了一个
基本不等式
其中，a>0,b>0
2、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，
则ab
等号当且仅当a＝b时成立.
3、两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b
等号当且仅当a＝b时
成立 .
4、利用上述重要不等式求函数的最值时务必注意三点达到：一正二定三能等!
（2015 上海）已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
解：∵a，b，c都是正数
∴a＋b≥2
b＋c≥2
c＋a≥2
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
高考链接
课堂练习
1、若x>0,f(x)= 的最小值为_______;此时x=_______.
若x>0,f(x)= 的最小值为_______;此时x=_______.
12
2
-12
-2
直接应用基本不等式即可，注意等号成立的条件！
2、阅读下题的各种解法，指出有错误的地方.
答：前两种解法中都没有注意等号成立的条件，均值不等式只在等号同时成立的时候，等号才成立.只有第三种解法是对的.
还有其他方法吗？
3、下列函数中，最小值是4的是（ ）
4、建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 __元.
3600
C
5、求证
证明:
当且仅当a=5时，等号成立.
6、(1)设 a与b都为实数且a+b=3,
的最小值___.
(2)求函数f(x)=x (4-x) (0(3)若x>-1，则函数
的最
小值___.
4
9