1.3 勾股定理的应用同步知识精讲（含解析）

第1章 勾股定理
3 勾股定理的应用
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学点1 圆柱（或圆锥）侧面上两点间的最短距离
圆柱（或圆锥）侧面上两点间的最短距离
把圆柱（或圆锥）侧面展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为斜边构造直角三角形，利用勾股定理求解.
例1 如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？
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【解析】解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．
解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，则对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线．
在Rt△ACB中，AC=40π cm，BC=30π cm.
由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=(40π)2+(30π)2=(50π)2，
∴AB=50π cm.
∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．
【素养点评】本题文字叙述较多，要求在阅读的基础上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．
学点2 长方体（或正方体）侧面上两点间的最短距离
长方体（或正方体）侧面上两点间的最短距离
若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了.
例2 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
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【解析】蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：
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如图①，在Rt△ABC1中，
AC=AB2+BC=42+32=52=25.
故AC1=5.
如图②，在Rt△ACC1中，
AC=AC2+CC=62+12=37.
如图③，在Rt△AB1C1中，
AC=AB+B1C=52+22=29.
∵25＜29＜37，
∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.
【素养点评】求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线.
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题型1 生活中两点间的最短距离
例1 如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？
【解析】由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．
解：将台阶展开成平面图形后，可知AC=5 dm，BC=3×(3+1)=12 dm，∠C=90°.
在Rt△ABC中，∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=52+122=132，
∴AB=13 dm.
故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.
【素养点评】用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答.