1.1 探索勾股定理同步知识精讲（含解析）

第1章 勾股定理
1 探索勾股定理
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学点1 勾股定理的探索及验证勾股定理
探索方法
（1）测量法：①画直角三角形，②测量三角形，③计算、求证；（2）数格子法.
语言表述
直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
验证思路
（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，那么面积不会改变；（2）根据同种图形面积的不同表示方法列出等式，推导勾股定理.
例1 如图，Rt△ABC在单位长度为1的正方形网格中，它的外围是以它的三条边为边长的正方形．回答下列问题：
（1）a2=___，b2=___， c2=___；
（2）a，b，c之间有什么关系？（用关系式表示）．
【解析】a2等于以BC为边长的正方形的面积16，b2等于以AC为边长的正方形的面积9，c2等于以AB为边长的正方形的面积25．
【答案】（1）16　9　25　（2）a2＋b2=c2.
【素养点评】求以AB为边长的正方形的面积时，可把它放到以正方形格点为顶点的正方形CDEF（如图）中去，它的面积等于正方形CDEF的面积减去它外围的4个小直角三角形的面积．
学点2 勾股定理的应用
应用勾股定理时的注意事项
（1）勾股定理成立的前提条件是“在直角三角形”中，在锐角三角形和钝角三角形中不存在这一结论.（2）在应用勾股定理时，一定要注意是最长边（斜边）的平方等于两短边（直角边）的平方和.（3）若没有明确直角边与斜边，则应分类讨论.
例2 如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．
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【解析】要求阳光透过的最大面积即塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边AB的长是多少，可以借助勾股定理求出．
【答案】在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2=AC2+BC2=32+42=52，即AB=5（m）．
故矩形塑料薄膜的面积是5×20=100（m2）．
【素养点评】利用勾股定理求面积，关键是要把所求的面积转化到已知的数量关系中去．勾股定理是以直角三角形存在（或添加辅助线可以构造的）为基础的；表示直角三角形边长的a，b，c并非是一成不变的，c并不一定就是斜边的长.
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题型1 利用勾股定理求三角形边长
例1 在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，∠C=90°．
（1）若a=6，b=8，则c=___；
（2）若a=5，c=13，则b=____；
（3）若c=34，a：b=8：15，则a=____，b=____．
【解析】因为在△ABC中，∠C=90°，所以有关系式a2+b2=c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”．
（1）已知两直角边长a、b，由c2=a2＋b2=62＋82=100，得c=10．
（2）已知直角三角形的斜边长c和一条直角边长a，则由b2=c2－a2=132－52=144，得b=12．
（3）因为a：b=8：15，所以可设a=8k，b=15k（k＞0），又因为∠C=90°，c=34，所以c2=a2＋b2，即342=（8k）2＋（15k）2．所以k=2．所以a=16，b=30．
【答案】（1）10 （2）12 （3）16；30
【素养点评】这是一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知两边长，就可以求出直角三角形第三边的长.