2.1 认识无理数同步知识精讲（含解析）

第二章 实数
1　认识无理数
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学点1 无理数的概念
无理数的概念
无限不循环小数
无理数的分类
正无理数和负无理数
例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.141 5926，-，2.，,0，，-5.2，π.
【解析】有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．
【答案】有理数有：3.141 592 6，-，2.，0，，-5.2；无理数有：π.
【素养点评】判断一个数是否是无理数，应抓住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．
学点2 无理数近似值的估算方法
无理数近似值的估算方法
（1）应确定被估算无理数的整数取值范围；（2）以较小整数逐步开始加0.1（或以较大整数逐步开始减0.1），并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．
例2 面积为7的正方形的边长为x，请你回答下列问题．
（1）x的整数部分是多少？
（2）把x的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？
（3）x是有理数吗？请简要说明理由．
【解析】令正方形的面积为S，则S=x2=7，当2＜x＜3时，4＜x2＜9，当2.6＜x＜2.7时，6.76＜x2＜7.29；当2.64＜x＜2.65时，6.969 6＜x2＜7.022 5；当2.645＜x＜2.646时，6.996 025＜x2＜7.001 316；…则有：（1）x的整数部分为2.（2）精确到十分位时，x≈2.6，精确到百分位时，x≈2.65.（3）x不是有理数．因为没有一个整数的平方等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x是无限不循环小数．
【素养点评】无理数的估算用的是“夹逼法”，要注意掌握其应用特征．利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位.
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题型1 无理数与勾股定理的结合
例1 如图所示，要从离地面5 m的电线杆上的B处向地面C处拉一条钢丝绳来固定电线杆，要固定点C到A处的距离为3 m，求钢丝绳BC的长度（精确到十分位）．
【解析】由勾股定理，得BC2=AB2＋AC2=34.当5＜BC＜6时，25＜BC2＜36；当5.8＜BC＜5.9时，33.64＜BC2＜34.81；当5.83＜BC＜5.84时，33.988 9＜BC2＜34.105 6；…故当精确到十分位时，BC约为5.8 m.
【素养点评】这是现实生活中的一个常见问题，解决这个问题首先要用到勾股定理，再利用“夹逼法”估算BC的长．已知两边长，就可以求出直角三角形第三边的长.