2.2 平方根同步知识精讲（含解析）

第二章 实数
2 平方根
/
学点1 算术平方根和平方根的概念及性质
概念
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根．如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）.
表示方法
正数a的算术平方根记作“”，读作“根号a”．正数a的平方根可记作“±”，读作“正、负根号a”．
性质
正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
例1 下列各数有平方根和算术平方根吗？如果有，求出来；若没有，请说明理由．
（1）81；（2）（－1）3.
【解析】根据平方根的定义，求一个数a的平方根可转化为求一个数的平方等于a的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a的数．
解：（1）∵（±9）2=81>0，有平方根和算数平方根，
∴81的平方根是±9，即±=±9.算术平方根是9，=9.
（2）∵（－1）3=-1<0，
∴（－1）3没有平方根和算术平方根.
【素养点评】判断一个数有没有平方根，就是确定该数的性质符号（是正数、负数或零）.求一个非负数的算术平方根可转化为一个正数的平方运算.
学点2 开平方、与()2（a≥0）的关系
概念
求一个数a（a≥0）的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数．
区别
()2=a(a≥0；=|a|=
注：开平方与平方互为逆运算.
例2 求下列各式中x的值。
（1）x2=225；（2）81x2=49.
【解析】求x的值，就是给这两个题开平方。开平方是求一个非负数的平方根的运算．
解：（1）∵x2=225，∴x==±15.
（2）∵81x2=49.∴x2=，x==±.
【素养点评】开平方是求一个非负数的平方根的运算，而不是求算术平方根的运算．
/
题型1 巧用算术平方根的两个“非负性”
例1 若|m-1|+=0，则m=____，n=____.
【解析】若几个非负数的和为0，则每个数都为0.根据题意，得m-1=0，n-5=0，所以m=1，n=5.
【答案】1　5
【素养点评】众所周知，算术平方根具有双重非负性：①被开方数具有非负性，即a≥0.
②本身具有非负性，即≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．