2.6 实数同步知识精讲（含解析）

第二章 实数
6 实数
学点1 实数的概念及分类
概念
有理数和无理数统称实数.
分类
按定义来分类：有理数和无理数.有理数可分为整数和分数.
按正、负数来分类：正实数、0和负实数.正实数分为正有理数和正无理数.负实数分为负有理数和负有理数.
例1 下面各数中，无理数的个数是（ ）
0，，，0.，-π，，1.234 56…，-49.
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】要判断出无理数，就得找出所有的正有理数和负有理数。根据定义得，无理数有，-π，1.234 56…，共3个，故选B．
【答案】A
【素养点评】对实数分类时要做到按同一标准，既不重复，又不遗漏．
学点2 实数与数轴上点的关系
实数与数轴上点的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．
利用数轴比较实数大小
在数轴上，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
例2 请你在数轴上画出表示的点．
【解析】考虑到()2=9+4=32+22，可以利用勾股定理在数轴上作出长为的线段，从而找到表示的点．
解：作法如下：（1）在数轴上找到一点A，使OA=3；（2）过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB=2；（3）连接OB；（4）以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点．
【素养点评】在数轴上作无理数一般是借助勾股定理.
学点3 实数的性质
相反数
若a与b互为相反数，则a+b=0.
倒数
若a与b互为倒数，则ab=1.
绝对值
任何实数的绝对值都是非负数.互为相反数的两个数的绝对值相等.
例2 求的绝对值.
【解析】先对进行开方，然后求出开放后的数的绝对值。
解：|=|-6|=6.
【素养点评】实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0，并且若|x|=a(a≥0)，则x=±a．
题型1 实数的大小比较
例1 比较下列各组数的大小：
（1）3.141 5和-π；（2）2和3.
【解析】两个负数要比绝对值，两个无理数要比乘方.
解：（1）∵|-3. 141 5|=3.141 5，|-π|=π=3.141 592…，3．141 5＜π，∴-3.141 5＞-π.
（2）∵(2)2=4×11=44，(3)2=9×5=45,44＜55，∴2＜3.
【素养点评】比较两个负实数大小时，应先比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小；因为2和3都是无理数，整数部分很难确定，所以可以利用乘方法，乘方大的这个数就大．