第三章 位置与坐标总结提升同步知识精讲（含解析）

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专题1 坐标在生活中的运用
人们常说：“找准人生坐标”，意思是很清楚的．事实上，数学中所说的“坐标”在我们日常生活中的应用极为广泛．
例1 如图是某公园示意图，请你根据图中比例尺用坐标的方法确定各景点的位置.
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【解析】入口处是我们最先熟悉的地点，因此我们可以选择入口处为坐标原点，西东方向为横轴；南北方向为纵轴建立平面直角坐标系（如图），分别量出各景点到横轴、纵轴的距离，这样便可知道各景点的坐标.
【答案】例如动物园到纵轴的距离约为4.1 cm，到横轴的距离约为2.8 cm，因此动物园的位置是（4.1，2.8），根据比例尺换算以后，实际是（1 230，840），这表明动物园在入口处的东1 230 m，北840 m处．其余景点的位置用相同的方法即可确定．
专题2 计算平面直角坐标系内图形的面积
在平面直角坐标系中，求一个三角形的面积，则需要根据三角形的各顶点的坐标，确定边长或高，进而求出三角形的面积．而对于四边形、五边形等图形面积的计算，则往往先转化为三角形加以解决.
例2 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2，3），B(4，0），C(-2，0），求△ABC的面积．
【解析】观察图形可知，BC在x轴上，BC的长为4-(-2）=6.要求三角形的面积，还应确定BC边上的高．点A到x轴的距离恰好是BC边上的高．
解：∵BC=4-(-2）=6，BC边上的高就是点A到横轴的距离，又∵点A的坐标是(2，3），
∴BC边上的高是3.∴S△ABC=×6×3=9.
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素养解读
数形结合思想贯穿于本章的每一节中，如物体位置的确定，裘恩典的坐标以及点的坐标与图形变化之间的关系，更体现了数与形的统一.本章还用到了分类讨论的思想方法，如在解决与点的坐标有关的问题时需要根据某一点在哪一个象限，在横轴或纵轴上的具体位置等做一些分类讨论.
例 如图1，在平面直角坐标系内，一个封闭的图形ABCDE上各顶点的坐标分别为A（-2，0），B（1，2），C（2，1），D（3，2），E（2，0）．
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图1
（1）将各顶点的横坐标都加上3，纵坐标不变，并把得到的顶点依次连接，则所得的图形和原图形相比，位置有怎样的变化？
（2）如果将各顶点的纵坐标都加上3，横坐标不变，顺次连接各顶点，所得图形与原图形的位置有什么变化？
（3）将各顶点的横坐标都加上4，纵坐标都加上5，顺次连接各顶点，所得的图形与原图形的位置有怎样的变化？
【解析】在做本题时，要明确图形的变换与点的坐标的规律：（1）纵坐标不变，横坐标按比例增大时，图形被横向拉长；纵坐标不变，横坐标按比例减小时，图形被横向“压缩”．（2）图形向右平移时，纵坐标不变，横坐标增大；图形向左平移时，纵坐标不变，横坐标减小；图形向上平移时，横坐标不变，纵坐标增大；图形向下平移时，横坐标不变，纵坐标减小．
（3）横坐标加上一个数，纵坐标不变时，图形左、右平移(加负数，左移，加正数，右移）；纵坐标加上一个数，横坐标不变时，图形上、下平移(加正数，上移，加负数，下移）．（4）横坐标不变，纵坐标乘-1时，所得图形与原图形关于x轴对称；纵坐标不变，横坐标乘-1时，所得图形与原图形关于y轴对称．
解：（1）A，B，C，D，E点的横坐标都加上3，所得顶点的坐标分别是A1（1，0），B1（4，2），C1（5，1），D1（6，2），E1（5，0），依次连接各点得图形A1B1C1D1E1，图形A1B1C1D1E1相当于图形ABCDE向右平移了3个单位长度后得到的（如图2）．
（2）A，B，C，D，E点的纵坐标都加上3，所得顶点的坐标分别是A2（-2，3），B2（1，5），C2（2，4），D2（3，5），E2（2，3），顺次连接各点得到图形A2B2C2D2E2，图形A2B2C2D2E2相当于图形ABCDE向上平移3个单位长度后得到的（如图2）．
（3）各顶点的坐标横坐标都加上4，纵坐标都加上5，所得顶点的坐标分别是A3（2，5），B3（5，7），C3（6，6），D3（7，7），E3（6，5）．依次连接各顶点，所得图形A3B3C3D3E3相当于先把图形ABCDE向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的（如图2）．
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图2
【素养点评】将图形放在平面直角坐标系中，我们可以求得各顶点的坐标，反过来，知道了一些点的坐标，我们还可以将各点顺次连接起来得到一些有趣的图形．通过点的坐标的变化与图形的变换，可以得到图形变换的规律．图形是由点组成的，点的坐标发生了变化，图形也会发生相应的变化；图形移动时，点的坐标也发生变化.