4.4 一次函数的应用同步知识精讲（含解析）

第四章 一次函数
4 轴对称与坐标变化
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学点1 确定一次函数表达式
借助图象确定函数的表达式
先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y=kx(k≠0）；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y=kx+b(k≠0）；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y=kx或y=kx+b中，求出其中的k，b，即可确定出其关系式．
确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件
①由于正比例函数y=kx(k≠0）中只有一个未知系数k，故只要一个条件，即一对x，y的值或一个点的坐标，就可以求出k的值，确定正比例函数的表达式．
②一次函数y=kx+b(k≠0）有两个未知系数k，b，需要两个独立的关于k，b的条件，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值．
例1 如图，直线AB对应的函数表达式是(　　）．
A．y=-x+3 B．y=x+3
C．y=-x+3 D．y=x+3
【解析】设直线AB对应的函数表达式是y=kx+b(k≠0），当x=0时，y=3，代入得b=3，当x=2时，y=0，则2k+3=0，k=-，故y=-x+3.
【素养点评】由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成y=kx+b(k≠0）的形式，再将A，B两点坐标代入该关系式，即可求出k，b，从而确定出具体的关系式．
学点2 一次函数和一元一次方程的关系
一次函数与一元一次方程的关系
由于任何一元一次方程都可以转化为点，则为正比例函数，可设其关系式为y=kx(k≠0）；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y=ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
利用一次函数解一元一次方程的步骤
①转化：将一元一次方程转化为一次函数.
②一画图像：画出一次函数的图象．
③找交点：找出一个函数的图象与x轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解.
例2 一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（ ）．
A.x=2 B.x=4
C.x=-1 D.x=1
【解析】∵一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为（-1，0），
∴当kx+b=0时，x=-1．故选C．
【答案】D
【素养点评】从图象上来看，函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标，即为方程kx+b=0的解．直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可．
学点3 一次函数的实际应用
通过图象获取信息
①从函数图象的形状可以判断是不是一次函数.
②从x轴y轴的实际意义去理解图象上点的坐标的实际意义.
利用函数图象解决问题的方法
①理解横、纵坐标分别表示的实际意义.②分析已知，通过作x轴或y轴的垂线，在图象上找出对应的点，由点的横坐标或纵坐标的值读取要求的值．③利用数形结合，将“形”转化为“数”，由“形”定“数”.
例3 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线）如图，观察图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？
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【解析】本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x=1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜1 500时，y2＜y1.
解：观察图象，得：
（1）每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；
（2）每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；
（3）如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．
【素养点评】两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．
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题型1 一次函数图象与坐标轴的交点
例1 已知一次函数y=ax+b(a，b是常数，且a≠0）．x与y的部分对应值如下表：
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那么方程ax+b=0的解是_______，不等式ax+b＞0的解集是_______．
【解析】本题既可以通过待定系数法求出未知系数a和b，然后再去解方程或不等式．也可以利用一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间关系来解答．由三者之间的关系可知，求方程ax+b=0的解，实质上就是求一次函数y=ax+b的函数值为0时，对应的自变量x的取值，从表中可直接看出x=1；同理，求不等式ax+b＞0的解集，实质上就是求当一次函数y=ax+b的函数值大于0时，对应的自变量x的取值范围，这时也可以从表中直接看出为x＜1.
【答案】x=1　x＜1
【素养点评】当一次函数y=ax+b的值为0时，求相应的自变量的值；反之，求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0，只要求出方程ax+b=0的解即可．当一次函数y=ax+b的值大(小）于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数y=ax+b的值何时大(小）于0时，只要求出不等式ax+b＞0或ax+b＜0的解集即可．