4.1 函数同步知识精讲（含解析）

第四章 一次函数
1 函数
学点1 函数的概念
概念
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数.其中x是自变量，y是因变量.
例1 下列关于变量x，y的关系式：①x-3y=1；②y=|x|；③2x-y2=9.其中y是x的函数的是（ ）．
A.①②③　 B.①② C.②③　 D.①②
【解析】对于x-3y=1和y=|x|，由函数的定义可知，对于每一个x值都有唯一确定的y值与之对应．符合函数的定义，但对于2x-y2=9，则不符合上述关系，故y不是x的函数．
【答案】B
【素养点评】本题主要根据函数的概念，紧扣函数的定义，即对于每一个自变量x都有唯一确定的y值与之对应，否则就不是函数关系．
学点2 函数的表示方法
列表法
列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法．
图像法
通过建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数关系的方法称为图象法．
解析法
用式子表示函数关系的方法称为解析法，这样的式子称为函数的解析式．
例2 你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是（ ）．
【解析】本题主要考查函数图象的变化情况和同学们的识图能力．事实上，结合故事情节，对照图象，不难发现：A图中反映原瓶中无水，这与题意不符；C图中乌鸦加小石子喝到水后，在不加小石子的同时，瓶中水面下降的高度不能比原瓶中水面的高度低；D图中乌鸦一开始加小石子的过程水面应上升而不是下降；因此只有B图能反映出乌鸦喝水的全过程．故应选B.
【答案】B
【素养点评】本题有三个注意点：一是原来瓶中无石子时就有水，反映在图象上是y轴正半轴上的一个点；二是瓶中水面的高度随石子的逐渐增多而缓慢上升，反映在图象上是一斜线段；三是不加石子乌鸦喝水时，反映在图象上是一条垂线段．另外解决函数图象问题还要在阅读反映实际问题的文字语言的同时，对图象进行观察、分析，从而获取有效的解题信息．
学点3 函数值
函数值定义
对于自变量在可取范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
例3 下列函数中，与y=x表示同一个函数的是（ ）．
A.y= B.y=|x| C.y=(）2 D.y=
【解析】A.y的取值范围是y≥0，与函数y=x的y的取值范围不相同；B.y的取值范围是y≥0，与函数y=x的y的取值范围不相同；C.自变量x的取值范围是x≥0，与函数y=x的自变量取值范围不相同；D.自变量x的取值范围与y的取值范围都与y=x相同，是全体实数.
【答案】D
【素养点评】判断两个函数是否表示同一函数要看它们是不是满足以下三个条件：①自变量的取值范围完全相同．②函数值的取值范围完全相同．③变形后，两个函数的解析式是一致的，即自变量和函数的对应关系完全相同．如果两个函数满足以上三个条件，那么它们是同一函数．
题型1 判定函数关系
例1 下列表格中能反映y是x的函数的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【解析】观察表格发现，对于A，当x=-1时，y=0或10，故它不表示函数；对于B，当x=0时，y=-2或6，故它不表示函数；对于C，当x=2时，y有5个不同的值与之对应，故它不表示函数；对于D，每一个x的值，y都有唯一的值和它对应，故它表示函数，应选D.
【答案】D
【素养点评】根据函数的定义知道，从表格中理解函数仍然是先看是否只有两个变量，再看对于变量x每一个确定的值，y是否都有唯一的值和它对应，也就是说x若取相同的值，y必须是相同的值.