4.2 一次函数与正比例函数同步知识精讲（含解析）

第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
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学点1 一次函数正比例函数的概念
概念
一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数.
注：
例1 下列函数中，是一次函数的是（ ）．
A．y=7x2 B．y=x-9
C．y= D．y=
【解析】A.x的次数是2，不是1，所以它不是一次函数；B.符合一次函数的一般形式；C和D含有自变量x的代数式不是整式，所以不是一次函数．
【答案】B
【素养点评】函数是一次函数必须符合下列两个条件：①关于两个变量x，y的次数是1；②必须是关于两个变量的整式．
学点2 一次函数正比例函数的概念
概念
形如y=kx（k≠0）的函数叫做正比例函数.
注：正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b=0，且k≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数．
例2 下列函数中，是正比例函数的是（ ）．
A．y=-2x B．y=-2x+1
C．y=-2x2 D．y=-
【解析】A.符合正比例函数的一般形式；B.b=1≠0，所以它不是正比例函数；C.b=1≠0，所以它不是正比例函数；D.含有自变量x的代数式不是整式，所以它不是正比例函数.
【答案】A
【素养点评】要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y=kx+b(k≠0）的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y=kx(k≠0）的形式.
学点3 根据条件列一次函数的关系式
列一次函数关系式的步骤
1.认真分析，理解题意.
2.同列方程解应用题的思路，找出等量关系.
3.写出一次函数的关系式.
4.注意自变量x的取值范围，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义.
例3 甲、乙两地相距30 km，某人从甲地以每小时4 km的速度走了t h到达丙地，并继续向乙地走．
（1）试分别确定甲、丙两地距离s1(km）及丙、乙两地距离s2(km）与时间t(h）之间的函数关系式．
（2）它们是什么函数．
【解析】根据“路程=速度×时间”这个公式列出函数关系式，s2=30-s1.
解：（1）s1=4t，s2=30-4t.
（2）两个函数都是一次函数，而s1=4t还是正比例函数．
【素养点评】此类题目把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题．列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量．
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题型1 一次函数与正比例函数的联系与区别
例1 在下列函数中，x是自变量，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=3x；（2）y=；（3）y=-3x+1；（4）y=x2.
【解析】这类判断题，应严格按照有关函数的定义，看函数是不是可以表示为规定的形式．
解：一次函数是(1）y=3x和(3）y=-3x+1.其中(1）y=3x还是正比例函数，(2）、(4）既不是一次函数，也不是正比例函数．
【素养点评】一次函数与正比例函数的区别：正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限，但一次函数一般不经过原点，通常情况下要经过三个象限．一次函数与正比例函数的联系：①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b=0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例．