2.3 立方根同步知识精讲（含解析）

第二章 实数
3 立方根
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学点1 立方根的概念及表示方法
概念
如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)．
表示方法
a的立方根可表示为“”，读作“三次根号a”，其中“3”是根指数，“a”是被开方数.
性质
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.
例1 有下列命题：①负数没有立方根；②一个数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0.其中错误的是（ ）．
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
【解析】一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.立方根等于本身的数有0,1和-1.所以①②④都是错的，只有③正确．
【答案】B
【素养点评】解答此题，深入理解概念，特别地，要关注1, 0，-1的立方根的情况．
学点2 开立方
概念
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．
例2 下列语句正确的是（ ）．
A.的立方根是2 B.-3是27的立方根
C.的立方根是± D.(-1)2的立方根是-1
【解析】A项正确，因为=8，而2的立方等于8，故8的立方根是2.B项，因为-3的立方是-27，-3是27的立方根是错误的.C项错误，因为的立方是，所以的立方根是.D项错误，因为(-1)2=1，它的立方根是1，而不是-1.
【答案】A
【素养点评】判断一个数x是不是某数a的立方根，就看x3是不是等于a.因此应先找到一个立方等于所求数的数，再求立方根.
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题型1 立方根的应用
例1 某金属冶炼厂，将27个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160 cm、80 cm和40 cm，求原来立方体钢锭的边长为多少？
【解析】由题意可知，原来立方体钢锭体积等于在炉中熔化后浇铸成的长方体钢锭的体积．
解：设立方体的边长为x cm，则27x3=160×80×40.
解得x=.
答：原来立方体钢锭的边长为 cm.
【素养点评】本题是一个等积变形问题，利用体积不变列方程即可.