3.3 轴对称与坐标变化同步知识精讲（含解析）

第三章 位置与坐标
3 轴对称与坐标变化
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学点1 图形的坐标变化与轴对称之间的关系
图形的坐标变化与轴对称之间的关系
在平面直角坐标系中，当图形上各点的横坐标不变，纵坐标乘-1时，所得的新图形与原图形关于x轴对称；当图形上各点的纵坐标不变，横坐标乘-1时，所得的新图形与原图形关于y轴对称；当图形上各点的横、纵坐标都乘-1时，那么所得到的新图形与原图形关于原点对称．
在直角坐标系中作成轴对称的图形的方法
1.确定对称点的坐标.
2.根据对称点的坐标描点.
3.一次连接所描各点得到成轴对称的图形.
例1 按要求回答问题：
（1）在平面直角坐标系中描出点（1，2），（1，4），（1，6），（3，6），（1，4），（3，2），（1，2），并将各点用线段依次连接起来．
（2）将上述各点作如下变化：
①纵坐标不变，横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点用线段按第一问中的顺序连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？
②横坐标保持不变，纵坐标分别加3呢？
③横、纵坐标分别乘-1呢？
【解析】解决本题的关键是分别在两坐标轴上找到对应点，过这两点分别平行于两坐标轴的直线的交点即为所求的点．如要描点（1，6）的位置，先在x轴上找到点1，在y轴上找到点6，过这两点分别平行于两坐标轴的直线的交点即为所求的点；理解平移、旋转、伸缩等图形的特征．
解：（1）如图1所示．
（2）①按题中的变化要求各点的坐标依次是：（2，2），（2，4），（2，6），（6，6），（2，4），（6，2），（2，2）．所得的图案如图2所示，与原图案相比，图形被横向拉伸为原来的2倍．
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图1 图2
②各点的坐标依次是：（1，5），（1，7），（1，9），（3，9），（1，7），（3，5），（1，5）．
所得的图案如图3所示，与原来的图案相比，图形向上平移了3个单位长度．
③各点的坐标依次是：（-1，-2），（-1，-4），（-1，-6），（-3，-6），（-1，-4），（-3，-2），（-1，-2）．所得的图案如图4所示，与原图案相比，图形绕O点旋转了180°，即两个图形关于O点成中心对称．
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图3 图4
【素养点评】对应点的坐标对称情况可以简单记为：关于横轴对称，“横不变，纵相反”；关于纵轴对称，“纵不变，横相反”；关于原点对称，“全相反” .
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题型1 从变化的“鱼”中探索坐标变化与图形变化的关系
例1 下面的方格纸中画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1.
（1）“小猪”所占的面积为多少？
（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE对称的图案(只画图，不写作法）；
（3）以G为原点，GE所在直线为x轴，GB所在直线为y轴，小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，可得点A的坐标是(_____，_____）．
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【解析】（1）只要数一数正方形的个数就能解决；（2）先利用网格的条件找到每个点的对称点，再连接起来即可；（3）按要求画出直角坐标系立即可得答案，这样的问题可充分考查学生的动手能力，又让学生在操作中体验着成功.
解：（1）观察图形：“小猪”所占面积包括29个小正方形和7个小三角形面积和，每个小三角形面积是小正方形面积的一半，所以“小猪”所占面积为32.5.
（2）“小猪”关于直线DE对称的图案如图所示．
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（3）点A的坐标是(-4，1）．
【素养点评】在坐标系内，将图形的坐标变化与图形的平移、轴对称、伸长、压缩巧妙地融合在一起，既体现了图形的现实性、趣味性，又体现了数学的深刻性以及数形结合的思想方法.