5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数同步知识精讲（含解析）

第五章 二元一次方程组
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
学点1 数字问题
多位数字表示问题
两位数=十位数字×10+个位数字．
三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字．
数位变换后多位数的表示
两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1.因此用x，y表示这个四位数为100x+y.同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y+x.
例1 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数．
【解析】用下表表示(这个两位数的十位数字为x，个位数字为y）
相等关系：(1）个位数字+十位数字=7；(2）原来的两位数+45=对调后组成的两位数．
解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意，得解得
所以原两位数是16.
【素养点评】解决此类问题，关键是从实际问题中确定相等关系，根据相等关系的个数确定列方程还是列方程组，当问题中涉及两个相等关系时，列方程组解决问题比较简单.
学点2 行程问题
追击问题
一般特征：同地、同向、不同时，抓路程之间的关系建立等量关系．
相遇问题
一般特征：同时、相向、不同地，常用的关系：路程和=全程．
航行问题
顺水航行的速度=船在静水中的速度+水速；
逆水航行的速度=船在静水中的速度-水速．
例2 已知某一铁路桥长1 000 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1 min，整列火车完全在桥上的时间为40 s，求火车的长度和速度．
【解析】解此类问题的关键是分析好火车“开始上桥到完全过桥”与“整列火车完全在桥上”的含义，可根据“路程”与“速度”找等式．
解：设火车的长度为x m，火车的速度为y m/s，则根据题意，得
解得
所以火车的长度为200 m，火车的速度为20 m/s.
【素养点评】解答行程问题，可借助图示，找出等量关系，然后列出方程解答.
题型1 用方程组解决与图形有关的问题
例1 一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间（即“会车”时间）为20秒；若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？
【解析】根据等量关系：若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为20秒；若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，再依次分析即可得到结果.
解：设快车、慢车的速度分别为x m/s，ym/s，根据题意，得
解得
22.5m/s=81km/h，m/s=54km/h．
所以快车的速度是81km/h，慢车的速度是54km/h.
【素养点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．对于列车问题，一定要考虑自身的长度.