7.2 定义与命题同步知识精讲（含解析）

第七章 平行线的证明
2 定义与命题
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学点1 定义的概念
概念
对某些名称或术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是对名称和术语下定义．
例1 如图，在△ABC中，D为BC边上的点，下列语句，属于定义的是（ ）．
A.两点之间线段最短
B.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
C.三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半
D.三人行则必有我师焉
【解析】判断是不是定义，关键看是否对名称或术语的含义加以描述，而且作出了规定．很明显，A，C，D没有对名称或术语作出描述，故应选B.
【答案】B
【素养点评】注意定义与命题的区分，作出判断的是命题，对名称或术语作出描述的是定义.
学点2 命题
定义
判断一件事情的句子，叫做命题.
结构
每个命题都是由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．
例2 指出下列命题的条件和结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②若ab=1，则a与b互为倒数；③同角的余角相等；④矩形的四个角都是直角．
【解析】命题的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
解：①条件：两条直线都和第三条直线平行，结论：这两条直线互相平行．
②条件：ab=1，结论：a与b互为倒数．
③条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等．
④条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角都是直角．
【素养点评】“若……则……”形式的命题中“若”后面是条件，“则”后面是结论．
学点3 公理、定理及证明
定义
公认的真命题成为公理，经过证明的真命题叫做定理.演绎推理的过程成为证明.
公理和定理的关系
对于公理，它是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据；对于定理，它是经过证明的真命题，但并不是所有的真命题都是定理，定理可以作为判断其他命题真假的依据．
例3 下列说法正确的是（ ）．
A.真命题都可以作为定理
B.公理不需要证明
C.定理不一定都要证明
D.证明只能根据定义、公理进行
【解析】真命题并不都是定理，故选项A不正确；定理必须经过证明，故选项C不正确；证明可以根据定义、公理、定理进行，故选项D不正确；公理是公认的真命题，不需要证明，故选B.
【答案】B
【素养点评】掌握公理、定理、命题之间的区别，明确其含义，是解决本题的关键.
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题型1 判断真假命题
例1 下列句子中是命题的有__________(填序号）．①直角三角形中的两个锐角互余．②正数都小于0.③如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互补．④太阳不是行星．⑤对顶角相等吗？⑥作一个角等于已知角．
【解析】判断是否为命题，要根据命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判断．所以①②③是命题，它们都对事情作出了肯定回答；④是命题，它对事情作出了否定回答；⑤不是陈述语句；⑥只是描述了一个作图的过程，并未作出判断，不是命题．
【答案】①②③④
【素养点评】①如果题设成立，结论也一定成立，那么这样的命题为真命题；②如果题设成立，但结论不成立，这样的命题为假命题.