7.4 平行线的性质同步知识精讲（含解析）

第七章 平行线的证明
4 平行线的性质
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学点1 平行线的性质
平行线的性质1
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单记为：两直线平行，同位角相等.
平行线的性质2
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单记为：两直线平行，同旁内角互补．
平行线的性质3
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单记为：两直线平行，内错角相等．
例1 某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB=45°，则∠FDC的度数是（ ）．
A．30° B．45°
C．60° D．75°
【解析】由邻补角的定义求得∠BAD的度数，
又由AB∥CD，可求得∠ADC的度数，再求出∠FDC的度数即可．
∵∠EAB=45°，
∴∠BAD=180°-∠EAB=180°-45°=135°.
∵AB∥CD，∴∠ADC=∠BAD=135°.
∴∠FDC=180°-∠ADC=45°.故选B.
【答案】B
【素养点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等.
学点2 平行线的性质与判定
定理
平行于同一条直线的两条直线平行.
平行线的判定和性质的区别和联系
平行线的判定是由角的位置及数量关系来确定直线的位置关系，平行线的性质是由直线的位置关系及角的位置关系来确定角的数量关系．
例2 如图，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠C=35°，则∠BEC=__________.
【解析】从图形上看，由于没有直线截AB与CD，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截”的基本图形，然后才可以运用平行线的性质．可过E点作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE+∠BEF=180°，∠FEC=∠C，所以∠BEC=∠BEF+∠DCE=60°+35°=95°.
【答案】95°
【素养点评】解决本题有两条思路：一是构造与AB，CD都相交的截线；二是过E点作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，这样可将图形转化.
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题型1 平行线性质与判定的综合应用
例1 如图，已知：AD∥BC，∠A=∠C，求证：AB∥CD.
【解析】观察图形，发现截平行线AD，BC和AB，CD的直线有三条，应选与∠A=∠C有关的直线作为“第三条直线”，这样就能很快确定与它们有关的角，从而顺利解决问题．先从AD∥BC出发，选择与∠A有关的第三条直线AB(也可选择与∠C有关的第三条直线CD）．因为AD∥BC，所以∠A=∠ABF，又因为∠A=∠C，可得∠C=∠ABF，∠C、∠ABF是AB，DC被CF所截的同位角，所以AB∥CD.
证明：∵AD∥BC(已知），
∴∠A=∠ABF(两直线平行，内错角相等）．
又∵∠A=∠C(已知），∴∠C=∠ABF(等量代换）．
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行）．
【素养点评】证明两条直线平行，可以通过同位角、内错角相等或者同旁内角互补．关键是利用有关知识把已知条件转化为上述各角.