7.5 三角形内角和定理同步知识精讲（含解析）

第七章 平行线的证明
5 三角形内角和定理
学点1 三角形内角和定理
定理
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.符号表示：△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.变式：∠A=180°-∠B-∠C.
证明
（1）构造平角：利用平行线的性质进行转化（作平行线），让三个内角组成一个平角．如图①和图②.
（2）构造同旁内角：如图③，过C点作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是同旁内角可证．
例1 在一个三角形中，下列说法错误的是（ ）．
A.可以有一个锐角和一个钝角
B.可以有两个锐角
C.可以有一个锐角和一个直角
D.可以有两个钝角
【解析】如果一个三角形中有两个钝角，那么该三角形的内角和将大于180°，故D错误．
【答案】D
【素养点评】任何三角形中，至少有两个锐角，最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角.
学点2 三角形的外角及其定理
定义
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．
特征
①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
例2 如图所示，∠1为三角形的外角的是（ ）．
A.可以有一个锐角和一个钝角
B.可以有两个锐角
C.可以有一个锐角和一个直角
D.可以有两个钝角
【解析】由三角形外角的定义知，只有D中的∠1才是三角形的外角，故选D．
【答案】D
【素养点评】判断一个角是否是三角形的外角，关键是看它是否满足三角形外角的特征.
题型1 三角形内角和定理的运用
例1 如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
【解析】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=70°.又AE是∠BAC的平分线，可知∠BAE=35°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，从而∠BAD=25°，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°.
解：在△ABC中，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=35°.
又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°.
∵在△ABD中∠BAD=90°-∠B=25°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°.
【素养点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质、高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理的运用.