2019-2020学年高中数学新同步北师大版必修1学案 第1章1 集合的含义与表示

§1　集合的含义与表示
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系．(重点)
2.理解并掌握集合中元素的三个特性．(重点)
3.掌握集合的表示方法及几个常见数集的表示符号．(重点、难点)
1.通过集合与元素的概念的学习，培养数学抽象素养.
2.通过元素与集合间的关系的研究，培养数学运算素养.
1．集合与元素的概念
阅读教材P3“一般地”自然段及以上内容，完成下列问题．
(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．
(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，d，…表示集合中的元素．
思考1：(1)某班所有的“大个子”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于170 cm的所有学生能否构成一个集合？
[提示]　(1)不能构成一个集合，因为“大个子”无明确的标准．
(2)能构成一个集合，因为标准确定．
2．元素与集合的关系
阅读教材P3～P4从“给定一个集合A”开始至“π∈R等”之间的内容，完成下列问题．
(1)元素与集合的关系
关系
概念
记作
读作
属于
若a在集合A中，就说a属于集合A
a∈A
a属于A
不属于
若a不在集合A中，就说a不属于集合A
a?A
a不属于A
(2)常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
3.集合的表示法
阅读教材P4“集合的常用表示法”至P5“一般地”以上内容，回答下列问题．
(1)集合的表示法
①列举法
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内的方法．符号表示为{，…，}．
②描述法
用确定的条件表示某些对象属于一个集合，并写在大括号内的方法叫作描述法．
描述法的格式
(2)元素的特性
元素的三个特性是指确定性，互异性，无序性．
思考2：(1)构成单词“bee”的所有字母组成的集合有多少个元素？
(2)你会区分数集与点集吗？如集合A＝{x|0[提示]　(1)2个．
(2)若一个集合中所有元素均是数，则这个集合称为数集．同样，若一个集合中所有元素均是点，这个集合称为点集，集合A的代表元素是x，x是大于0且小于1的实数，故A是数集；集合B的代表元素是有序实数对(x，y)，(x，y)是一次函数y＝2x－1图像上的点，故B是点集．因此，形如{x|x满足的条件，x∈R}的集合是数集；形如{(x，y)|x，y满足的条件，x，y∈R}的集合是点集．
4．集合的分类
阅读教材P5从“一般地”到“练习”上方的内容，完成下列问题．
集合
[基础自测]
1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)
A．3.14　　　　　　　　 B．－5
C. D．
[答案]　D
2．给出以下三个关系：①?＝{0}；②0∈{(0,0)}；③0∈{0}．其中表述正确的是(　　)
A．①③ B．②③
C．③ D．①②③
[答案]　C
3．集合{x∈N*|x2－1＝0}用列举法可表示为________．
{1}　[由x2－1＝0，得x＝±1.
又x∈N*，则x＝1.
故集合{x∈N*|x2－1＝0}用列举法可表示为{1}．]
4．若1∈{x，x2}，则x＝________.
－1　[由1∈{x，x2}，得x＝1，或x2＝1，即x＝±1.
当x＝1时，集合{x，x2}中的元素不具有互异性，故舍去．
所以x＝－1.]
集合的含义
【例1】　下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有“帅男”；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)的近似值的全体．
[解]　(1)“帅男”没有明确的标准，因此不能构成集合；(2)任给一个实数x，可以明确地判断是否为“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合．
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素
1．下列各组对象可以组成集合的是(　　)
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内坐标轴上的一些点
D．所有小的正数
B　[A中的“难题”，C中的“一些点”，D中的“小的正数”都没有明确的标准，因此，都不能组成集合，而B中小于8的素数是明确的，故选B.]
集合的表示方法
【例2】　用适当的方法表示下列集合：
(1)所有正奇数组成的集合；
(2)方程x2－2＝0的解集；
(3)在自然数集中，小于100的偶数组成的集合；
(4)在平面直角坐标系内，所有第二象限的点组成的集合．
[解]　(1){x|x＝2n＋1，n∈N}；
(2){－，}；
(3){x|x＝2n，n<50，且n∈N}；
(4){(x，y)|x<0，且y>0}．
1．用列举法表示集合的适用条件：
(1)集合中的元素较少，能够一一列举出来时，适合用列举法；
(2)集合中的元素较多，但呈现一定的规律性时，可通过列举部分元素作为代表，其他元素用省略号表示．
2．用描述法表示集合应注意：
(1)弄清元素的形式，比如是数，还是点；
(2)元素具有怎样的属性．
2．用适当的方法表示下列集合：
(1)小于20的所有质数组成的集合；
(2)大于－3且小于1的所有有理数组成的集合；
(3)方程(x－1)(x2－1)＝0的解集；
(4)二次函数y＝x2－9图像上的所有点组成的集合．
[解]　(1){2,3,5,7,11,13,17,19}；
(2){x∈Q|－3(3){－1,1}；
(4){(x，y)|y＝x2－9}．
元素与集合的关系
[探究问题]
1．－3∈{x|x＝2n－1，n∈Z}吗？
提示：由2n－1＝－3，得n＝－1，故－3∈{x|x＝2n－1，n∈Z}．
2．当3∈{x|2x－1>a}时，求a的取值范围；当3?{x|2x－1>a}时，a的取值范围又是什么呢？
提示：当3∈{x|2x－1>a}时，a<2×3－1，所以a<5；
当3?{x|2x－1>a}时，a≥2×3－1，所以a≥5.
　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
[思路探究]　从元素与集合的关系入手，求出a的值后，要注意验证集合的元素是否满足互异性．
－1　[若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1.]
1．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？
[解]　因为集合A中含有两个元素a和a2，
所以a≠a2，即a≠0且a≠1.
2．(变条件)若将本例中的“1∈A”改为“2∈A”，则a为何值？
[解]　因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，
即a＝2或a＝±.
3．(变条件)若由a和a2构成的集合只有一个元素，则a为何值？
[解]　因为由a和a2构成的集合只有一个元素，
所以a＝a2，即a＝0或a＝1.
由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
1．研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．这是判断能否构成集合的依据．
2．集合中元素的三个特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一．
(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不同的．若A是一个集合，a，b是集合A的任意两个元素，则一定有a≠b.
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关．如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
1．思考辨析
(1)著名的数学家能构成一个集合．(　　)
(2)－1∈N.(　　)
(3){x∈R|2x－3>0}是不等式2x－3>0的解集，它是一个无限集．(　　)
[解析]　(1)×，因为“著名”无明确标准．
(2)×，因为－1不是自然数．
(3)√.
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．下列所给关系正确的个数是(　　)
①π∈R；②?Q；③0∈N*；④|－4|?N*.
A．1　　 B．2　　　　C．3　　 D．4
B　[只有①②正确，故选B.]
3．若4∈{3，x＋1}，则实数x＝________.
3　[由4∈{3，x＋1}，得x＋1＝4，解得x＝3.]
4．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．
[解]　(1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，所以解集为{0，－1}．
(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．