北师大版八年级数学下册6．3三角形的中位线课件（31张PPT）

(共31张PPT)
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，请设计合理的解决方案。

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八年级是下册第六章平行四边形
6.3三角形的中位线
一、温故知新：
1.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点
与它的对边中点的线段叫做这个三角形的中线
2.两条平行线间的距离
一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离
3.平行线间的距离处处相等
4.证明线段相等的方法有：




5.证明直线平行的方法有：
全等三角形对应边相等；等角对等边；线段中点；
垂直平分线的性质；角平分线的性质；
平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行；
平行四边形的对边平行
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同？




E
D
F
A






C
B



获取新知
你还能画出几条三角形的中位线？
（1）相同之处——都和边的中点有关；
（2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点。




C
B
A
E
D


概念对比




C
B
A
D


中线DC
中位线DE
DE和边BC关系

数量关系：
位置关系：
DE∥BC
?
问题1:△ABC中,若D是AB的中点时,E是AC的中点,
则DE与BC存在何种关系?
探究三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

说一说
?
已知：如图，DE是△ABC的中位线，
求证：DE//BC,DE=BC
方法二
延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF
∴四边形ADCF是平行四边形
∴四边形DBCF是平行四边形
∵AE=EC
∴ CF∥DA，CF=DA
∴CF∥BD，CF=BD
∴ DF∥BC，DF=BC
又DE= DF
∴DE∥BC且DE=BC
已知：如图，DE是△ABC的中位线，
求证：DE//BC,DE=BC
三角形中位线定理
几何语言：
∵DE是△ABC的中位线（AD=BD,AE=CE)
∴DE∥BC且DE= BC







C

E

D
B
A
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
1.如图，在△ABC中，D、E，F分别是AB、AC,BC的中点
若∠ADE=65°，则∠B= 度；
若BC=8cm，则DE= cm；
65
4
图中有_____个平行四边形
若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____
3
6
若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm，则△DEF的周长=______；
若△ABC的周长为24，△DEF的周长是_____
12
9cm
练习
如图，在△ABC中，D、E，F分别是AB、AC,BC的中点
（3）三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？
（2）三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积有什么关系？
练习
?
?
（1）图中的四个三角形什么关系？
图中的四个三角形全等
已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，
再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，
第2020个三角形的周长是（ ）

?
B
练习
例1. 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
已知：△ABC中,AD=DB，BE=EC，AF=FC.
求证：AE与DF互相平分.
F

A
B
C
D


E


证明:连接DE、EF，
因为AD=DB，BE=EC，
所以DE ∥AC
同理EF ∥AB。
所以四边形ADEF是平行四边形。
所以AE、DF互相平分。
你还有其他方法吗？
如图,在△ABC中, BC>AC,点D在BC边上,且DC=AC, ∠ACB的平分线CF交AD于F ,点E是AB的中点,连接EF,求证:EF是△ABD的中位线.
练习
证明：因为DC=AC, ∠ACB的平分线是CF
所以F是AD的中点
又因为E是AB的中点
所以EF是△ABD的中位线
已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,小明通过学习,估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗?
其中的道理是:
连结A、B,
∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
定理的应用
课本152页随堂练习2
练习：名校课堂107页，知识点1,2
　例2.已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，E是DC的中点，F是AB的中点．求证∠1＝∠2．

证明：因为P是对角线BD的中点，E是DC的中点，
所以PE=BC;
因为P是对角线BD的中点，F是AB的中点
所以PF=AD
因为AD=BC
所以PE=PF
所以∠1＝∠2
总结：对边相等的四边形，另组对边的中点和对角线的中点组成等腰三角形
18
练习：名校课堂108页13,16题
如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD,点E,F分别为AD,BC的中点，延长BA,CD,分别交射线FE于P,Q两点，求证:∠P=∠CQF
证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．
∵点E是AD的中点，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM=AB，
∴∠MEF=∠P
同理可证：FM∥CD，FM= CD．
∴∠MFQ=∠CQF，
又∵AB=CD，
∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，
∴∠P=∠CQF．．
辅助线：当已知两个中点时，联想到中位线，构造中位线





A
B
C
D
E
F
G
H

E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
证明：如图，连接AC
∵EF是△ABC的中位线

同理得：
∴四边形EFGH是平行四边形
如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请你证明你的结论
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形。
连接四边形四条边的中点的四边形叫做原四边形的中点四边形
任意四边形的中点四边形是平行四边形
探索中点四边形的性质
20
巩固练习
1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、
BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在
图中画出多少个平行四边形？
四个
2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且CD等于AB的一半。E是BC的中点,DE交AC于点F , 求证 : DE被AC平分.
方法一：
连接EF,（1）EF是△CAB的中位线；
（2）△DOC和△EOF全等
方法二：连接EF,DF，（1）EF是△CAB的中位线；
（2）四边形DFEC是平行四边形

22
总结
1.三角形中位线的定义
2.三角形中位线定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半
3.中点四边形
连接四边形四条边的中点的四边形叫做原四边形的中点四边形
任意四边形的中点四边形是平行四边形
23
4.辅助线：有中点时，考虑中线或中位线
n边形内角和=180。×（n-2）




A
B
C
D






B
A
C
E
D


B






F
E
D
C
A



四边形
180。×2=360。
180。×3=540。
五边形

180。×4=720。
六边形

（4-2）

（5-2）

（6-2）
探究多边形内角和
1.从多边形的一个顶点出发能把多边形分为分割几个三角形？












C
A
B
E
D
A
F
D
B
E
C
D
C
B
A

G
F





















O
O
O
E
探究多边形的内角和

2.从多边形的内部一点出发把多边形能分成几个三角形？
n边形内角和= (n-2)× 180°













C
A
B
E
D
A
F
D
B
E
C
D
C
B
A

G
F















O
O
O
E
探究多边形的内角和

3.从多边形边上一点出发能把多边形分成几个三角形？
n边形内角和= (n-2)× 180°
正多边形：内角相等、各边相等的多边形是正多边形
观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？
议一议：一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
练习
八
10
180°
C
180的整数倍
1.多边形内角和为10800，则它是 边形。
2.一个多边形的各边都相等，周长是70，且它的内角和为900°，则它的边长是________.
3.如果一个多边形的边数增加1，那么这个多边形的内角和增加_________度.
4.下列角中能成为一个多边形的内角和的是（ ）
A.270° B.560° C.1800° D.1900°
1.多边形的外角的定义：
探索多边形的外角和
多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
2.多边形的外角和：
在多边形的每一个顶点处取一个外角，它们的和叫做多边形的外角和。
4.多边形的外角和是360°
3.正多边形的每一个外角都相等。
一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
练习：
解：设它是n边形
（n-2)×180=360×3
解得n=8
答它是八边形
练习：名校课堂110页11,12题