沪科版八年级数学上册《第19章 四边形》单元测试卷及解析

沪科版八年级数学上册《第19章四边形》单元测试卷及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
下列命题是假命题的是(????)
A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形C. 对角线垂直的四边形是菱形 D. 对角线垂直的平行四边形是菱形
四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(????)
A. ????=???? B. ????=???? C. ????=???? D. ????=????
如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是
??
1
、
??
2
的大小关系是(????)
A.
??
1
>
??
2
B.
??
1
=
??
2
C.
??
1
<
??
2
D. 3
??
1
=2
??
2

用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形．则一定可以拼成的图形是(????)
A. ①④⑤ B. ②⑤⑥ C. ①②③ D. ①②⑤
如图为菱形ABCD与△??????的重叠情形，其中D在BE上．若????=17，????=16，????=25，则DE的长度为何？(????)
A. 8B. 9C. 11D. 12
如图，在矩形ABCD中，????=10，????=5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点
??
1
、
??
1
处，则阴影部分图形的周长为(????)
A. 15B. 20C. 25D. 30
如图，在矩形ABCD中，????=2，????=3，M为BC中点，连接AM，过D作????⊥????于E，则DE的长度为(????)
A. 2B.
12
5
C.
13
D.
5

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：????=2：3，△??????的周长为13cm，那么BC的长是(????)
A. 6cm B. 9cm C. 3cm D. 12cm
如图：在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△??????和△??????都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是(????)
A. 等腰梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
如图，矩形ABCD的面积为1??
??
2
，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形????
??
1
??，对角线交于点
??
1
；以AB、??
??
1
为邻边作平行四边形??
??
1
??
2
??…；依此类推，则平行四边形??
??
2014
??
2015
??的面积为(????)
A.
1
2
2013
B.
1
2
2014
C.
1
2
2015
D.
1
2
2016

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：______ ，使得平行四边形ABCD为菱形．
如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若????=6????，????=8????，则△??????的周长=______cm．
如图在菱形ABCD中，∠??=∠??????=60°，∠??????=20°，则∠??????的大小为______ ．
如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点??.若∠??????=20°，则∠??????等于______度．
三、解答题（本大题共7小题，共80分）
在?ABCD中，过点D作????⊥????于点E，点F在边CD上，????=????，连接AF，BF．(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若????=3，????=4，????=5，求证：AF平分∠??????．
如图，BD是△??????的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，????.请判断四边形EBGD的形状，并说明理由．

如图，已知菱形ABCD，????=????，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)若????=8，求菱形的面积．

已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠??????，CF平分∠??????，????//????交CD于点O．(1)求证：????=????；(2)若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．

如图，四边形ABCD为平行四边形，∠??????的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．(1)求证：????=????；(2)连接BF，若????⊥????，∠??????=60°，????=4，求平行四边形ABCD的面积．
已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．(1)求证：????=????；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD：????= ______ 时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)．
如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．(1)求证：????⊥????；(2)将△??????沿BF对折，得到△??????(如图2)，延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠??????的值；(3)将△??????绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△??????(如图3)，若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选：C．根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．2.【答案】B
【解析】解：可添加????=????，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵????=????，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形．故选：B．四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．3.【答案】B
【解析】解：矩形ABCD的面积??=2
??
△??????
，而
??
△??????
=
1
2
??
矩形????????
，即
??
1
=
??
2
，故选：B．由于矩形ABCD的面积等于2个△??????的面积，而△??????的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．4.【答案】D
【解析】解：根据题意，用形状和大小完全相同的直角三角形一定能拼出平行四边形、矩形和等腰三角形，共3种图形．画出图形如下所示： 故选D 此题需要动手操作或画图，用完全相同的直角三角形一定可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形．本题考查了图形的剪拼，同时考查了学生的动手操作能力和想象观察能力，难度一般．5.【答案】D
【解析】解：连接AC，设AC交BD于O点，∵四边形ABCD为菱形，∴????⊥????，且????=????=
16
2
=8，在△??????中，∵∠??????=90°，∴????=
??
??
2
???
??
2
=
17
2
?
8
2
=15，在△??????中，∵∠??????=90°，∴????=
??
??
2
???
??
2
=
25
2
?
15
2
=20，又????=8，∴????=?????????=20?8=12．故选D．首先连接AC，设AC交BD于O点，由四边形ABCD为菱形，利用菱形对角线互相垂直且平分的性质及勾股定理，即可求得DE的长度．此题考查了勾股定理与菱形的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．6.【答案】D
【解析】解：根据折叠的性质，得
??
1
??=????，
??
1
??
1
=????，
??
1
??=????．则阴影部分的周长=矩形的周长=2(10+5)=30．故选：D．根据折叠的性质，得
??
1
??=????，
??
1
??
1
=????，
??
1
??=????，则阴影部分的周长即为矩形的周长．此题主要考查了翻折变换，关键是要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长．7.【答案】B
【解析】解：在矩形ABCD中，∵??是边BC的中点，????=3，????=2，∴????=
??
??
2
+??
??
2
=
2
2
+(
3
2
)
2
=
5
2
，∵????//????，∴∠??????=∠??????，∵∠??????=∠??=90°，∴△??????∽△??????，∴
????
????
=
????
????
，即
5
2
3
=
2
????
，∴????=
12
5
．故选：B．首先根据矩形的性质，求得????//????，即可得到∠??????=∠??????，又由∠??????=∠??，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△??????∽△??????，由△??????∽△??????可以得到
????
????
=
????
????
，根据勾股定理可以求得AD的长，继而得到答案．此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质．解题时要注意识图，准确应用数形结合思想．8.【答案】A
【解析】解：∵平行四边形ABCD∴????+????=
1
2
(????+????)=9????又∵△??????的周长为13cm，∴????=????=4????，又∵????：????=2：3，∴????=????=6????故选：A．根据平行四边形的性质，先求出AB的长，再根据所给比值，求出AD的长，进一步求解BC即可．主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．9.【答案】C
【解析】解：连接BD、AC；∵△??????、△??????是等边三角形，∴????=????，????=????，∠??????=∠??????=60°；∴∠??????=∠??????=120°；∴△??????≌△??????(??????)；∴????=????；∵??、N是CD、AD的中点，∴????是△??????的中位线，即????=
1
2
????；同理可证得：????=
1
2
????，????=
1
2
????，????=
1
2
????；∴????=????=????=????，∴四边形NPQM是菱形；故选C．连接四边形ADCB的对角线，通过全等三角形来证得????=????，从而根据三角形中位线定理证得四边形NPQM的四边相等，可得出四边形MNPQ是菱形．此题主要考查的是菱形的判定方法，能发现并构建出全等三角形，是解答本题的关键．10.【答案】C
【解析】解：∵
??
1
为矩形ABCD的对角线的交点，∴平行四边形????
??
1
??底边AB上的高等于BC的
1
2
，∴平行四边形????
??
1
??的面积=
1
2
×1=
1
2
，∵平行四边形??
??
1
??
2
??的对角线交于点
??
2
，∴平行四边形????
??
2
??的边AB上的高等于平行四边形????
??
1
??底边AB上的高的
1
2
，∴平行四边形????
??
3
??
2
的面积=
1
2
×
1
2
×1=
1
2
2
，…，依此类推，平行四边形????
??
2014
??
2015
的面积=
1
2
2015
??
??
2
．故选：C．根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的
1
2
，然后求解即可．此题主要考查了学生矩形和平行四边形的有关知识，要求考生具备有从特殊到一般的数学思考方法和有较强的归纳探究能力，才能正确地作出解答．11.【答案】????=????
【解析】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：????=????；故答案为：????=????．根据菱形的定义得出答案即可．此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．12.【答案】9
【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟练掌握三角形中位线的判定与性质．先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△??????的周长．【解答】解：在????△??????中，????=
??
??
2
+??
??
2
=10????，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴????是△??????的中位线，????=
1
2
????=
1
4
????=
1
4
????=
5
2
????，????=
1
2
????=
1
2
????=4????，????=
1
2
????=
1
4
????=
5
2
????，∴△??????的周长=????+????+????=9????．故答案为9．13.【答案】20°
【解析】解：连接AC，在菱形ABCD中，????=????，∵∠??=60°，∴∠??????=60°，△??????是等边三角形，∵∠??????=60°，∴∠???????∠??????=∠???????∠??????，即：∠??????=∠??????，在△??????和△??????中，
∠??????=∠??????
????=????
∠??=∠??????
，∴△??????≌△??????(??????)，∴????=????，又∠??????=∠??=60°，则△??????是等边三角形，∴∠??????=60°，又∠??????=∠??+∠??????=80°，则∠??????=80°?60°=20°．故答案为：20°．首先证明△??????≌△??????，然后推出????=????，证明△??????是等边三角形，得∠??????=60°，最后求出∠??????的度数．此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定以及三角形的内角和定理，有一定的难度，解答本题的关键是正确作出辅助线，然后熟练掌握菱形的性质．14.【答案】65
【解析】解：∵正方形ABCD，∴????=????，∠??????=∠??????，在△??????与△??????中，
????=????
∠??????=∠??????
????=????
，∴△??????≌△??????(??????)，∴∠??????=∠??????，∠??????=∠??????，∵∠??????=20°，∴∠??????=70°，∴∠??????=∠??????=180°?45°?70°=65°，故答案为：65根据正方形的性质得出∠??????=∠??????，再利用SAS证明△??????与△??????全等，再利用三角形的内角和解答即可．此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠??????=∠??????，再利用全等三角形的判定和性质解答．15.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴????//????．∵????//????，????=????，∴四边形BFDE是平行四边形．∵????⊥????，∴∠??????=90°，∴四边形BFDE是矩形；(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴????//????，∴∠??????=∠??????．在????△??????中，由勾股定理，得????=
??
??
2
+??
??
2
=
3
2
+
4
2
=5，∴????=????=????=5，∴∠??????=∠??????，∴∠??????=∠??????，即AF平分∠??????．
【解析】(1)根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；(2)根据平行线的性质，可得∠??????=∠??????，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠??????=∠??????，根据角平分线的判定，可得答案．本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠??????=∠??????是解题关键．16.【答案】解：四边形EBGD是菱形．理由：∵????垂直平分BD，∴????=????，????=????，∴∠??????=∠??????，∵∠??????=∠??????，∴∠??????=∠??????，在△??????和△??????中，
∠??????=∠??????
∠??????=∠??????
????=????
，∴△??????≌△??????，∴????=????，∴????=????=????=????，∴四边形EBGD是菱形．
【解析】结论四边形EBGD是菱形．只要证明????=????=????=????即可．本题考查菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是求出△??????≌△??????．17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴????=????，又∵????=????，∴△??????是等边三角形，∵??是BC的中点，∴????⊥????(等腰三角形三线合一)，∴∠1=90°，∵??、F分别是BC、AD的中点，∴????=
1
2
????，????=
1
2
????，∵四边形ABCD是菱形，∴????//????且????=????，∴????//????且????=????，∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，又∵∠1=90°，∴四边形AECF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)； (2)解：在????△??????中，????=????=4，????=
8
2
?
4
2
=4
3
，所以，
??
菱形????????
=8×4
3
=32
3
．
【解析】(1)根据菱形的四条边都相等可得????=????，然后判断出△??????是等边三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得????⊥????，∠??????=90°，再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等，从而判定出四边形AECF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证；(2)根据勾股定理求出AE的长度，然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解．本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，证明得到四边形AECF是平行四边形是解题的关键，也是突破口．18.【答案】证明：(1)∵????平分∠??????、CF平分∠??????，∴∠??????=∠??????，∠??????=∠??????，∵????//????，∴∠??????=∠??????，∠??????=∠??????，∴∠??????=∠??????，∠??????=∠??????，∴????=????，????=????，∴????=????； (2)∵点O为CD的中点，∴????=????，又????=????，∴四边形DECF是平行四边形，∵????平分∠??????、CF平分∠??????，∴∠??????=
1
2
∠??????,∠??????=
1
2
∠??????，，即∠??????=90°，∴四边形DECF是矩形．
【解析】本题利用了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边、等量代换、平行四边形的判定、矩形的判定．(1)由于CE平分∠??????，那么∠??????=∠??????，而????//????，于是∠??????=∠??????，等量代换∠??????=∠??????，那么????=????，同理????=????，等量代换有????=????；(2)由于O是CD中点，故????=????，而????=????，那么易证四边形DECF是平行四边形，又CE、CF是∠??????、∠??????的角平分线，∠??????+∠??????=180°那么易得∠??????=90°，从而可证四边形DECF是矩形．19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴????//????，????//????，????=????，∴∠??????=∠??????，∵????是∠??????的平分线，∴∠??????=∠??????，∴∠??????=∠??????，∴????=????，∴????=????；(2)解：∵????=????，∠??????=60°，∴△??????是等边三角形，∴????=????=4，∵????⊥????，∴????=????=2，∴????=
??
??
2
???
??
2
=
4
2
?
2
2
=2
3
，∵????//????，∴∠??=∠??????，∠??????=∠??，在△??????和△??????中，
∠??=∠??????
?
∠??????=∠??
?
????=????
?
，∴△??????≌△??????(??????)，∴△??????的面积=△??????的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△??????的面积=
1
2
?????????=
1
2
×4×2
3
=4
3
．
【解析】(1)由平行四边形的性质和角平分线得出∠??????=∠??????，即可得出????=????；(2)先证明△??????是等边三角形，得出????=????=4，????=????=2，由勾股定理求出BF，由AAS证明△??????≌△??????，得出△??????的面积=△??????的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△??????的面积=
1
2
?????????，即可得出结果．此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题(2)的关键．20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠??=∠??=90°，????=????，∵??是AD的中点，∴????=????，在△??????和△??????中，
????=????
?
∠??=∠??
?
????=????
?
，∴△??????≌△??????(??????)，∴????=????；(2)解：四边形MENF是菱形；理由如下：∵??、N、F分别是线段BM、BC、CM的中点，∴????是△??????的中位线，∴????=
1
2
????=????，????//????，∴四边形MENF是平行四边形，同理：NF是△??????的中位线，∴????=
1
2
????，∵????=????，∴????=????，∴四边形MENF是菱形；(3)2：1
【解析】(1)见答案；(2)见答案；(3)解：当AD：????=2：1时，四边形MENF是正方形；理由如下：∵????：????=2：1，M是AD的中点，∴????=????，∴△??????是等腰直角三角形，∴∠??????=45°，同理：∠??????=45°，∴∠??????=180°?45°?45°=90°，由(2)得：四边形MENF是菱形，∴四边形MENF是正方形；故答案为：2：1．(1)由正方形的性质得出∠??=∠??=90°，????=????，由SAS证明△??????≌△??????，得出对应边相等即可；(2)证明EN是△??????的中位线，得出????=
1
2
????=????，????//????，证出四边形MENF是平行四边形，同理：NF是△??????的中位线，得出????=
1
2
????，证出????=????，即可得出结论；(3)证明△??????是等腰直角三角形，得出∠??????=45°，同理∠??????=45°，得出∠??????=90°，即可得出结论．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．21.【答案】(1)证明：如图1，∵??，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴????=????，在????△??????和????△??????中，
????=????
∠??????=∠??????
????=????
∴????△??????≌????△??????(??????)，∠??????=∠??????，又∵∠??????+∠??????=90°，∴∠??????+∠??????=90°，∴∠??????=90°，∴????⊥????． (2)解：如图2，根据题意得，????=????，∠??????=∠??????，∠??????=90° ∵????//????，∴∠??????=∠??????，∴∠??????=∠??????，∴????=????，令????=??(??>0)，则????=2?? 在????△??????中，设????=??，∴
??
2
=(?????
)
2
+4
??
2
，∴??=
5??
2
，∴sin∠??????=
????
????
=
2??
5??
2
=
4
5
． (3)解：∵正方形ABCD的面积为4，∴边长为2，∵∠??????=∠??????，????⊥????，∴????=????=2，∵∠??????=90°，∴????//????，∴
??
△??????
??
△??????
=(
????
????
)
2
，∴
??
△??????
1
=(
2
5
)
2
，∴
??
△??????
=
4
5
，∴
??
四边形????????
=
??
△??????
?
??
△??????
=1?
4
5
=
1
5
，∴四边形GHMN的面积是
1
5
．
【解析】(1)运用????△??????≌????△??????，再利用角的关系求得∠??????=90°求证；(2)△??????沿BF对折，得到△??????，利用角的关系求出????=????，解出BP，QB求解；(3)先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得
??
△??????
=
4
5
，再利用
??
四边形????????
=
??
△??????
?
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求解．本题主要考查了四边形的综合题，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．