苏科版八年级数学上6.4用一次函数解决问题（基础题，附答案解析）

6.4用一次函数解决问题（基础题）
一、选择题
1.蚊香长度y（厘米）与燃烧时间t（小时）之间的函数表达式为y=105-10t．则蚊香燃烧的速度是（　　）
A. 10厘米小时 B. 105厘米小时
C. 厘米小时 D. 不能确定
2.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（　　）
A. 20?kg
B. 25?kg
C. 28?kg
D. 30?kg

3.已知A、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/小时，若用x表示行走的时间（小时），y表示余下的路程（千米），则y关于x的函数解析式是（　　）
A. B.
C. D.
4.一次函数y=-3x+b和y=kx+1的图象如图所示，其交点为（3，4），则不等式kx+1≥-3x+b的解集为（　　）
A.
B.
C.
D.

5.一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示，下列叙述正确的是（? ? ?）
A. 甲乙两地相距1200千米
B. 快车的速度是80千米小时
C. 慢车的速度是60千米小时
D. 快车到达甲地时,慢车距离乙地100千米

6.一次函数y = kx + b（、是常数，）的图象如图所示，当y＞0时，的取值范围是（???? ）
A.
B.
C.
D.



7.在2018年元旦越野赛中，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间t（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的说法有（）。

A. B. C. D.
8.为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第（　　）秒
A. 80 B. 105 C. 120 D. 150
二、填空题
9.元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是______．
10.某商场利用“五一”开展促销活动：一次性购买某品牌服装3件，每件仅售80元，如果超过3件，则超出部分可享受8折优惠，顾客所付款y（元）与所购服装x（x≥3）件之间的函数解析式为______．
11.星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是______千米．


12.甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，匀速行进甲先出 发且先到达B地，他们之间的距离s（km）与甲出发的时间t（h）的关系如图所示，则乙由B地到A地用了______h．
13.函数y=-x的图象与函数y=x+1的图象的交点在第______象限．
14.若直线y=kx+b与直线y=2x-3平行，且与两坐标轴围成的面积为1，则这条直线的解析式是______．
15.学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则乙到达目的地时，甲离目的地还有_____米．

16.某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程x（千米）计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费y1元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y2元，y1，y2与x之间的函数关系如图所示．当月用车路程为2300千米时，选________汽车租赁公司比较合算．

三、解答题
17.我县某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，这两种商品的进价、售价如表所示：
进价（元/件） 售价（元/件）
甲种商品 15 20
乙种商品 25 35

设其中甲种商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）该商场计划最多投入1500元用于购进这两种商品共80件，则至少要购进多少件甲种商品？若售完这些商品，商场可获得的最大利润是多少元？







18.已知A、B两地相距80km，甲、乙二人沿同一条公路从A地到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车，DB、OC分别表示表示甲、乙二人离开A地距离S（km）与时间t（h）的函数关系，根据题中的图象填空：
（1）乙先出发______ h后，甲才出发；
（2）大约在乙出发______ h后，两人相遇，这时他们离A地______ km；
（3）甲到达B地时，乙离开A地______ km；
（4）甲的速度是______ km/h；乙的速度是______ km/h．



19.如图，甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．分析甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分钟）变化的函数图象，解决下列问题：
（1）求出甲、乙两人所行驶的路程S甲、S乙与t之间的关系式；
（2）甲行驶10分钟后，甲、乙两人相距多少千米？




“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．
（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？
（2）槐荫公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．









21.如图所示，根据图中信息，回答下列问题：
①m=_________，n=_________；
②点P的坐标为___________；
③当时，x的取值范围为__________；
④当时，x的取值范围为__________；







22.已知直线L1的解析式为y=-3x+3，L1与x轴交于点D，直线L2的解析式为y=x+k，且直线L1与直线L2交于点C（2，m），直线L2与x轴交于点A．
（1）求k，m的值；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线L2上是否存在一点P，使△ADP的面积等于△ADC的面积，若存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由．








答案和解析
1.【答案】A

【解析】解：设时间t1时蚊香长度为y1，时间t2时蚊香长度为y2
∴y1=105-10t1，y2=105-10t2
???则：速度=（y1-y2）÷（t1-t2）=[（105-10t1）-（105-10t2）]÷（t1-t2）=-10
∴蚊香燃烧的速度是10厘米/小时
故选：A．
函数中表达式由自变量和因变量两个因素组成，这个是一次函数，图象为一条直线，可以任选符合条件的两点求出蚊香燃烧的速度．
本题考查了函数的解析式和图象的结合．
2.【答案】A

【解析】解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
由题意可知，
解得，
所以函数关系式为y=30x-600，
当y=0时，即30x-600=0，所以x=20．
故选：A．
根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求y=0时，x对应的值即可．
本题考查了一次函数的图象及一次函数的应用，是一道难度中等的题目．正确求出函数解析式是解题的关键．
3.【答案】D

【解析】解：根据题意得：
全程需要的时间为：3÷4=（小时），
∴y=3-4x（0≤x≤）．
故选：D．
根据路程=速度×时间，容易知道y与x的函数关系式．
本题主要考查了一次函数的应用，理清“路程、时间、速度”的关系是解答本题的关键．
4.【答案】A

【解析】解：∵一次函数y=-3x+b和y=kx+1的图象交点为（3，4），
∴当x≥3时，kx+1≥-3x+b，
∴不等式kx+1≥-3x+b的解集为x≥3．
故选：A．
观察图象，直线y=kx+1落在直线y=-3x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5.【答案】C

【解析】【分析】
本题此题主要考查了一次函数的应用有关知识.
A、由图象容易得出答案；
B、设快车速度为x千米/小时，由图象得出方程，解方程即可；
C、由题意得出慢车速度=60（千米/小时）；
D、求出快车到达甲地所用时间，进一步求得慢车行驶的路程，用600减去该路程即可得出答案．
【解答】
解：A、由图象得：甲乙两地相距600千米，故选项错误；
B、由题意得：慢车总用时10小时，
∴慢车速度为=60（千米/小时）；
设快车速度为x千米/小时，
由图象得：60×4+4x=600，解得：x=90，
∴快车速度为90千米/小时，故选项错误；
慢车速度为60千米/小时；
C、慢车速度为60千米/小时，故选项正确；
D、=（小时），60×=400（千米），
600-400=200（千米），
故快车到达甲地时，慢车距离乙地200千米，故选项错误．
故选C.
6.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数的图象，观察函数图象找出k＜0是解题的关键.
观察函数图象可知，k＜0且当x=2时y=0，进而可得出当x＜2时y＞0，此题得解.
【解答】
解：观察函数图象可知：k＜0，且当x=2时y=0，
∴当x＜2时，y＞0.
故选D.
7.【答案】C

【解析】【分析】
由图象可知起跑后1小时内，甲在乙的前面；在跑了1小时时，乙追上甲，此时都跑了10千米；乙比甲先到达终点；求得乙跑的直线的解析式，即可求得两人跑的距离，则可求得答案．此题考查了函数图形的意义.解题的关键是根据题意理解各段函数图象的实际意义，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程.
【解答】
解：根据图象得：
起跑后1小时内，甲在乙的前面；故①正确；
在跑了1小时时，乙追上甲，此时都跑了10千米，故②正确；
乙比甲先到达终点，故③错误；
设乙跑的直线解析式为：y=kx，
将点（1，10）代入得：k=10，
∴解析式为：y=10x，
∴当x=2时，y=20，
∴两人都跑了20千米，故④正确.
所以①②④三项正确.
故选C.

8.【答案】C

【解析】解：设直线OA的解析式为y=kx，
代入A（200，800）得800=200k，
解得k=4，
故直线OA的解析式为y=4x，
设BC的解析式为y1=k1x+b，由题意，得，
解得：，
∴BC的解析式为y1=2x+240，
当y=y1时，4x=2x+240，
解得：x=120．
则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒．
故选：C．
分别求出OA、BC的解析式，然后联立方程，解方程就可以求出第一次相遇时间．
本题考查了一次函数的运用，一次函数的图象的意义的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时认真分析求出一次函数图象的数据意义是关键．
9.【答案】（32，4800）

【解析】解：令150t=240（t-12），
解得，t=32，
则150t=150×32=4800，
∴点P的坐标为（32，4800），
故答案为：（32，4800）．
根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】y=64x+48（x≥3）

【解析】解：∵x≥3，
∴y=3×80+（x-3）×80×0.8=64x+48（x≥3）．
故答案为：y=64x+48（x≥3）．
因为所购买的件数x≥3，所以顾客所付款y分成两部分，一部分是3×80=240，另一部分是（x-3）×80×0.8，两部分相加即可．
此题主要考查利用一次函数解决实际问题，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
11.【答案】1.5

【解析】解：设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，
∵图象经过（40，2）（60，0），
∴，
解得：，
∴y与t的函数关系式为y=-x+6，
当t=45时，y=-×45+6=1.5，
故答案为：1.5．
首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k|B的方程组，解出k、b的值，进而可得函数解析式，再把t=45代入即可．
此题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式．
12.【答案】10

【解析】解：由图可得，
甲的速度为：36÷6=6（km/h），
则乙的速度为：=3.6（km/h），
则乙由B地到A地用时：36÷3.6=10（h），
故答案为：10．
根据函数图象中的数据可以求得甲的速度和乙的速度，从而可以求得乙由B地到A地所用的时间．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】二

【解析】解：函数y=-x的图象应该在二、四象限，
函数y=x+1的图象在一、二、三象限，
因此他们的交点一定在第二象限．
根据一次函数的函数式来判断直线所在的象限．
本题中考查的是根据一次函数的函数式来判断直线所在的象限．
如果设一次函数为y=kx+b，那么有：
当k＞0，b＞0，这时此函数的图象经过第一、二、三象限．
当k＞0，b＜0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限．
当k＜0，b＞0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限．
当k＜0，b＜0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限．
14.【答案】y=2x±2

【解析】解：∵直线y=kx+b与直线y=2x-3平行，
∴k=2，即y=2x+b
分别令x=0和y=0，得与y，x轴交点分别为（0，b）和（-，0）
∴S=×|b|×|-|=1，∴b=±2
∴y=2x±2
故本题答案为y=2x±2
直线平行，k值相等，分别令x，y为0，得到三角形底与高的绝对值，即可求得直线解析式．
本题主要考查直线平行，以及三角形面积问题，理解直线平行，系数相等是本题解答的关键．
15.【答案】800

【解析】解：根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60=40米/分钟，
∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t=24分钟时甲乙两人相遇，
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，
∴乙的速度为100-40=60米/分钟．
乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40分钟，
∴乙到达目的地时，甲离目的地的距离为：40×（60-40）=800（米）．
故答案为：800
根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度=路程÷时间可得甲的速度；由甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再根据“路程、时间与速度”的关系解答即可．
本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．
16.【答案】乙

【解析】【分析】
此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是理解两个函数图象交点的意义．观察函数图象可知，函数的横坐标表示路程，纵坐标表示收费，根据图象上特殊点的意义即可求出答案．
【解答】
解：由图象可得交点为（2000，2000），那么当月用车路程为2000千米，两家汽车租赁公司租赁费用相同，
当超过2000千米时，相同路程，乙公司收费便宜，
?故选乙汽车租赁公司比较合算．
故答案为乙
17.【答案】解：（1）y=5x+10（80-x）=-5x+800．
（2）设购进甲种商品x件，由题意15x+25（80-x）≤1500，
解得x≥50．
∴至少要购进50件甲种商品．
∵y=-5x+800，
∴k=-5＜0，
∴y随x增大而减小，
∴x=50时，y最大值=550元．
∴售完这些商品，商场可获得的最大利润是550元．

【解析】（1）根据总利润=甲种商品利润+乙种商品利润即可解决问题．
（2）设购进甲种商品x件，列出不等式即可解决问题，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会利用一次函数的性质解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
18.【答案】（1）1
（2）1.5；20
（3）40
（4）40；

【解析】【分析】
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
（1）根据函数图象可以得到乙先出发多长时间，甲才出发；
（2）根据函数图象可知，乙出发多长时间，两人相遇，此时他们离A地的距离是多少；
（3）根据图象可以得到甲到达B地时，乙离开A地的距离；
（4）根据函数图象可知甲2h行驶的路程是80km，从而可以求得甲的速度，根据乙3小时行驶的路程是40km，可以求得乙行驶的速度．
【解答】
解：（1）由图象可知，
乙先出发1小时，甲才出发，
故答案为1；
（2）由图象可知，
大约在乙出发1.5h时，两人相遇，此时他们离A地20km，
故答案为1.5，20；
（3）由图象可知，
甲到达B地时，乙离开A地40km，
故答案为：40；
（4）由图象可知，
甲2小时行驶的路程是80km，故甲的速度为：80÷2=40km/h，
乙3小时行驶的路程是40千米，故乙的速度是；40÷3=km/h，
故答案为40，．
19.【答案】解：（1）由图象设甲的解析式为：S甲=kt，代入点（24，12），解得：k=0.5；
所以甲的解析式为：S甲=0.5t；
同理可设乙的解析式为：S乙=mt+b，代入点（6，0），（18，12），
可得：，
解得：，
所以乙的解析式为S乙=t-6；
（2）当t=10时，S甲=0.5×10=5（千米），S乙=10-6=4（千米），
5-4=1（千米），
答：甲行驶10分钟后，甲、乙两人相距1千米．

【解析】（1）分别根据甲、乙的图象计算出各自的速度即可求出S甲、S乙与t之间的关系式；
（2）把t=10代入解析式进而解答即可．
本题考查了一次函数的图象的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时分析清楚函数图象提供的信息是关键．
20.【答案】解：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m-200）元，
根据题意得：=，
解得：m=2000，
经检验，m=2000是分式方程的解，
∴m-200=1800．
答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元．
（2）根据题意得：2000x+1800（50-x）≤98000，
解得：x≤40．
W=（2500-2000）x+（2180-1800）（50-x）-ax=（120-a）x+19000，
∵当70＜a＜80时，120-a＞0，
∴W随x增大而增大，
∴当x=40时，W取最大值，最大值为（120-a）×40+19000=23800-40a，
∴W的最大值是（23800-40a）元．

【解析】（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m-200）元，根据数量=总价÷单价结合用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据购买资金=A型净水器的进价×购进数量+B型净水器的进价×购进数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，由总利润=每台A型净水器的利润×购进数量+每台B型净水器的利润×购进数量-a×购进A型净水器的数量，即可得出W关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于x的函数关系式．
21.【答案】解：①3；1；
②（1，2）；
③x>1；
④-1

【解析】【分析】
本题主要考查一次函数的图象与性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式的联系.两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
①把（0，1））代入y1=x+n可求出n的值，把（3，0）代入y2=-x+m可计算出m的值；
②利用两直线相交的问题，通过解有两解析式所组成的方程组即可得到P点坐标；
③观察函数图象得到，当x大于P点的横坐标时，y1＞y2；
④观察函数图象得到，当x大于-1且小于P点的横坐标时，0【解答】
解：①把（0，1）代入y1=x+n得n=1，
把（3，0）代入y2=-x+m得-3+m=0，解得m=3.
故答案为3；1；
②由题意，得，
解得，
∴点P的坐标为（1，2）.
故答案为（1，2）；
③由图象知，当x>1时，y1>y2，
故答案为x>1；
④当y1＝0时，x+1＝0，
解得x＝-1，
由图象知，当-1故答案为-1
22.【答案】解：（1）∵点C（2，m）在直线L1上，
∴m=-3×2+3=-3
∴点C（2，-3）
∵点C（2，-3）在直线L2上，
∴-3=×2+k
∴k=-6
∴直线L2的解析式为y=x-6，
（2）∵直线L1与x轴交于点D，
∴当y=0时，x=1，
∴D点坐标（1，0）
∵直线L2与x轴交于点A，
∴当y=0时，x=4，
∴A点坐标（4，0）
∴AD=3，
∴S△ADC=×3×AD==
（3）设点P（a，a-6）
∵△ADP的面积等于△ADC的面积，
∴=×3×|a-6|，
∴a=6，a=2（舍去）
∴点P（6，3）

【解析】（1）将点C坐标分别代入直线L1和直线L2的解析式，可求m，和k的值；
（2）根据题意可求点A，点D坐标，再根据三角形面积公式可求△ADC的面积；
（3）设点P（a，a-6），根据△ADP的面积等于△ADC的面积，列出方程，可求a的值，即可求点P坐标．
本题一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数与坐标轴交点坐标的求法．

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