苏科版八年级数学上6.4用一次函数解决问题（提高题，附答案解析）

6.4用一次函数解决问题（提高题）
一、选择题
1.如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km）图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法中错误的是（）

A. B点表示快车与慢车出发4小时两车相遇
B. 段表示慢车先加速后减速最后到达甲地
C. 快车的速度为
D. 慢车的速度为

2.若函数y=3x-1与函数y=x-k的图象交点在第四象限，则k的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
3.小明和小亮在操场的同一条笔直的跑道上进行500米匀速 跑步训练，他们从同一地点出发，先到达终点的人原地休息，已知小明先出发2秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离y（米）与小亮出发的时间t（秒）之间的函数关系如图所示，下列四种说法：①小明的速度是4米/秒；②小亮出发100秒时到达了终点；③小明出发125秒时到达了终点；④小亮出发20秒时，小亮在小明前方10米．其中正确的说法为（? ? ? ）
A. B. C. D.

4.如图1，甲、乙两个容器内都装了一定数量的水，现将甲容器中的水匀速注入乙容器中．图2中的线段AB，CD分别表示容器中的水的深度h（厘米）与注入时间t（分钟）之间的函数图象．下列结论错误的是（　　）

A. 注水前乙容器内水的高度是5厘米
B. 甲容器内的水4分钟全部注入乙容器
C. 注水2分钟时,甲、乙两个容器中的水的深度相等
D. 注水1分钟时,甲容器的水比乙容器的水深5厘米
5.已知，两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路分别从，两地出发相向而行，图中，分别表示甲、乙两人离地的路程与时间的函数关系的图象．则下列结论错误的是（??? ）

A. 乙比甲晚出发小时
B. 甲、乙的速度差为
C. 乙出发小时后与甲相遇
D. 甲出发小时或小时两人恰好相距5km
6.甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h（甲车休息前后的速度相同），甲、乙两车行驶的路程y（km）与行驶的时间x（h）的函数图象如图所示．根据图象的信息有如下四个说法：
①甲车行驶40千米开始休息
②乙车行驶3.5小时与甲车相遇
③甲车比乙车晚2.5小时到到B地
④两车相距50km时乙车行驶了小时
其中正确的说法有（　　）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个


7.甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的是（）

A. B. C. D.
8.甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：其中，正确结论的个数是（）
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙速度的一半．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
9.一条直线过点（-2，5），且平行于直线y=-2x，则此函数的解析式为______．
10.甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面100米处，同时出发去距离甲1300米的目的地，其中甲的速度比乙的速度快．设甲、乙之间的距离为y米，乙行驶的时间为x秒，y与x之间的关系如图所示．甲到达目的地时，乙距目的地还有______米．

11.甲乙沿着同一路线以各自的速度匀速从A地到B地，甲出发1分钟后乙随即出发，甲、乙到达B地后均立即按原路原速返回A地，甲、乙之间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的部分图象如图所示．当甲返回到A地时，乙距离B地______米．

12.如图是甲、乙两人从同一地点出发后，路程随时间变化的图象．

（1）甲与乙______时相遇．
（2）甲比乙先走______小时．
（3）9时甲在乙的______（填“前面”、“后面”、“相同位置”）．
（4）路程为150km，甲行驶了______小时，乙行驶了______小时．
13.甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y（单位：m）与行走时x（单位：min）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m）与甲行走时间x（单位；min）的函数图象，则a-b=______．


14.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，各自到达终点后停止行驶。设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函数关系，则两车相遇之后又经过___________小时，两车相距720km．


三、解答题
15.如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从A出发沿A→B→C→D的路线移动，设点P移动的路程为x，△PAD的面积为y．

（1）写出y与x之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象．
（2）求当x=4和x=18时的函数值．
（3）当x取何值时，y=20，并说明此时点P在长方形的哪条边上．







16.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（12，0）、
C（0，9），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．
（1）线段OB的长度为______；
（2）求直线BD所对应的函数表达式；







17.如图1，线段AB=12厘米，动点P从点A出发向点B运动，动点Q从点B出发向点A 运动，两点同时出发，到达各自的终点后停止运动.已知动点Q运动的速度是动点P运动的速度的2倍.设两点之间的距离为s(厘米)，动点P的运动时间为t(秒)，图2表示s与t之间的函数关系.





(1)求动点P、Q运动的速度;
(2)图2中，a=_____，b=_____，c=____?；
(3)当a≤t≤c时，求s与t之间的函数关系式(即线段MN对应的函数关系式) ．







18.如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC-S△BOC的值；
（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．








答案和解析
1.【答案】B

【解析】解：A、B点表示快车与慢车出发4小时两车相遇；故本选项正确；
B、B-C-D段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地，慢车继续行驶，慢车共用了12小时到达甲地故本选项错误；
C、快车的速度=-=200（km/h）；故本选项正确；
D、慢车的速度==100（km/h）；故本选项正确；
故选B
根据图象的信息进行解答判断即可．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
2.【答案】B

【解析】解：解方程组得：，
即两函数的交点坐标是（，），
∵函数y=3x-1与函数y=x-k的图象交点在第四象限，
∴，
解得：k＜1，
故选：B．
先解方程组，求出方程组的解，得出两函数交点的坐标，根据点所在的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
本题考查了两直线相交于平行，解不等式组等知识点，能得出关于k的不等式组是解此题的关键．
3.【答案】A

【解析】【分析】
本题考查了一次函数的应用，求出两人的速度是解题的关键，学会读懂题目信息，搞清楚路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型．先求出两人的速度，以及图象中的b、c的值，由此即可判断①②③正确，④错误．
【解答】
解：根据题意，t=0时，小明出发2秒行驶的路程为8米，
所以，小明的速度=8÷2=4米/秒，故①正确，
∵先到终点的人原地休息，
∴100秒时，小亮先到达终点，故②正确，
∴小亮的速度=500÷100=5米/秒，
b=5×100-4×（100+2）=92（米）；
c=100+92÷4=123（秒），
∴小明出发125秒时到达了终点，故③正确，
小亮出发20秒，小亮走了20×5=100米，小明走了22×4=88米，
100-88=12米，
∴小亮在小明前方12米，故④错误．
∴①②③说法正确.
故选A．


4.【答案】D

【解析】解：由图可得，
注水前乙容器内水的高度是5厘米，故选项A正确，
甲容器内的水4分钟全部注入乙容器，故选项B正确，
注水2分钟时，甲容器内水的深度是20×=10厘米，乙容器内水的深度是：5+（15-5）×=10厘米，故此时甲、乙两个容器中的水的深度相等，故选项C正确，
注水1分钟时，甲容器内水的深度是20-20×=15厘米，乙容器内水的深度是：5+（15-5）×=7.5厘米，此时甲容器的水比乙容器的水深15-7.5=7.5厘米，故选项D错误，
故选：D．
根据题意和函数图象，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5.【答案】C

【解析】略
6.【答案】A

【解析】【分析】
本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用有关知识，根据“路程÷时间=速度”由函数图象就可以求出甲的速度，求出a的值和m的值解答①；根据函数图象可得乙车行驶3.5-2=1小时与甲车相遇解答②；再求出甲、乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式解答③；由解析式之间的关系建立方程解答④.
【解答】
解：由题意，得
m=1.5-0.5=1．
120÷（3.5-0.5）=40（km/h），
则a=40．
∴甲车行驶40千米开始休息，
故①正确；
根据函数图象可得乙车行驶3.5-2=1.5小时与甲车相遇，故②错误；
当0≤x≤1时，设甲车y与x之间的函数关系式为y=k1x，由题意，得：
40=k1，
则y=40x
当1＜x≤1.5时，
y=40；
当1.5＜x≤7时，
设甲车y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，由题意，得：
，
解得：，
则y=40x-20．
设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k3x+b3，由题意，得：
，
解得：，
则y=80x-160．
当40x-20-50=80x-160时，
解得：x=．
当40x-20+50=80x-160时，
解得：x=．
-2=，-2=．
所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km，
故④错误；
当1.5＜x≤7时，甲车y与x之间的函数关系式为y=40x-20，
当y=260时，260=40x-20，
解得：x=7，
乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=80x-160，
当y=260时，260=80x-160，
解得：x=5.25，
7-5.25=1.75（小时）
∴甲车比乙车晚1.75小时到到B地，
故③错误；
∴正确的只有①，
故选A．
7.【答案】A

【解析】【分析】
此题考查一次函数的图象及应用.根据函数图象可知，甲、乙两车开始时相距80km，2小时后，乙车追上甲车，可求出乙车的速度，根据图象及两车的运动状态逐一分析即可求解.
【解答】
解：由图象可知，乙出发时，甲，乙两车相距80km，2小时后，乙车追上甲车，
则说明乙车的速度每小时比甲车快40km，则乙车的速度为120km/h，①正确；
由图象知第2到6小时，乙车由相遇点到达B，用时4小时，
每小时比甲车快40km，则此时甲、乙两车的距离为4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙车在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙车返回时，甲、乙两车相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，
则n=6+1+0.4=7.4，④错误.
故正确的是①②③.
故选A.
8.【答案】C

【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义是解题关键．根据题意结合横纵坐标的意义得出辆摩托车的速度进而分别分析得出答案．
【解答】
解：由图象可得：出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确；
甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a千米/小时，
则，
解得：a=80，
∴乙开汽车的速度为80千米/小时，
∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；
∴出发1.5小时，乙比甲多行驶了：1.5×（80-40）=60（千米），故②正确；
乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故③错误；
∴正确的有3个，
故选C．

9.【答案】y=-2x+1

【解析】解：∵直线y=kx+b与直线y=-2x平行，
∴k=-2，
∵直线过点（-2，5），
∴-2×（-2）+b=5，
解得b=1．
故一次函数的解析式为y=-2x+1．
故答案为：y=-2x+1
根据平行直线的解析式的k值相等求出k=-2，然后把经过的点代入求出b的值，即可得．
本题考查了待定系数法求直线解析式，两直线平行和相交的问题，两平行直线的解析式的k值相等以及两直线相交的交点坐标一定适合两函数的解析式是解答此题的关键．
10.【答案】

【解析】解：∵300秒时，乙到达目的地，
∵乙的速度为：=4（米/秒）．
设甲的速度为x米/秒，
∵50秒时，甲追上乙，
∴50x-50×4=100，解得x=6，
∴甲走完全程所需的时间为：=（秒），
∴甲到达目的地时，乙距目的地还有：1300-100-×4=（米）．
故答案为．
根据300秒时，乙到达目的地求出乙的速度，根据50秒时，甲追上乙求出甲的速度，再求出甲走完全程所需的时间，得出这段时间乙行驶的路程，进而求解即可．
本题考查了一次函数的应用，函数的图象，行程问题中：路程、时间和速度的关系，正确读出图形中甲、乙相遇及到达目的地的时间是本题的关键；重点理解图象中x与y所表示的含义，也是本题的难点．
11.【答案】70

【解析】解：由题意可得，
甲的速度为60÷1=60米/分，
则乙的速度为：100÷（7-6）-60=40米/分，
设A、B两地距离为S米，
2S=60×7+40×（7-1），
解得，S=330，
甲返回A地用时为：330×2÷60=11（分），
则乙11分钟行驶的路程为40×（11-1）=400（米），400-330=70（米），
即当甲返回到A地时，乙距离B地70米，
故答案为：70．
根据题意和函数图象可以分别求得甲乙的速度，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
12.【答案】?（1）6；
（2）3；
（3）后面；
（4）9，4.5.

【解析】【分析】
本题考查了函数图象：利用函数图象反映两变量之间的变化规律，通过该规律解决有关的实际问题．
（1）根据图象可知；
（2）由图象易知；
（3）由图象易知；
（4）观察图象得到路程为150km，甲行驶9小时；乙行驶了7.5-3=4.5（小时）．
【解答】
解：（1）由图象可知，甲、乙两人图象的交点即为相遇点，
∴相遇的时间为6时
故答案为6；
（2）由图象可知，甲从0时出发，而乙从3时出发，故甲比乙先走3时，
故答案为3；
（3）由图象可知，9时甲在150千米处，而乙超过了150千米，故9时甲在乙的后面，
故答案为后面；
（4）路程为150km，甲行驶9小时；
乙的速度为：，
所以乙行驶到150千米时，时间为：150÷=4.5（时）．
故答案为9，4.5.
13.【答案】

【解析】解：从图1，可见甲的速度为=60，
从图2可以看出，当x=时，二人相遇，即：（60+V已）×=120，解得：已的速度V已=80，
∵已的速度快，从图2看出已用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，
a-b==，
故答案为．
从图1，可见甲的速度为=60，从图2可以看出，当x=时，二人相遇，即：（60+V已）×=120，解得：已的速度V已=80，已的速度快，从图2看出已用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正确利用待定系数法求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程=时间×速度．
14.【答案】

【解析】【分析】
本题考查了一次函数与路程相关的实际应用，将图像信息转换成所需要的信息是解题的关键.首先求出快车和慢车的速度根据图形信息确定小时两车相遇，第5小时快车到达终点停止运动，此时两车相距450千米，因此只要慢车再走270千米，两车相距720km，求出慢车所用的时间与相遇的时间相减即可解答.
【解答】
解：由图可知A（0,900），B（，0），
∴直线AB解析式为：y=-270x+900.
由题意可知AB与BC的速度不变，
∴设BC段的函数解析式为：y=270x+b，
代入B（，0），得b=-900.
∴直线BC解析式为：y=270x-900.
∴C（5，450），
∴慢车的速度为450÷5=90km/h，
快车的速度为km/h.
∴第5小时，快车到达终点停止运动，此时两车相距450km，
∴720÷90=8，即第8小时两车相距720km，
∴，则两车相遇之后又经过小时，两车相距720km.
故答案为.
15.【答案】解：（1）当点P在线段AB上，即0≤x≤6时，AP=x，AD=8，
根据三角形的面积公式可得：y=?AD?AP=×8x=4x，
当点P在线段BC上运动，即6≤x≤14时，面积不变，为y=×8×6=24；
当点P在线段CD上运动，即14≤x≤20时，DP=6+8+6-x=20-x，AD=8，
根据三角形的面积公式可得：y=?AD?DP=×8×（20-x）=80-4x，
∴y与x之间的函数关系式为y=，画出函数图象如图；

（2）当x=4时，y=4x=4×4=16，
当x=18时，y=80-4x=80-4×18=8；

（3）当y=4x=20，解得x=5，此时点P在线段AB上，
当y=80-4x=20，解得x=15，此时点P在线段CD上．

【解析】（1）分点P在线段AB上运动时、点P在线段BC上运动时和点P在线段CD上运动时三种情况；
（2）分别将x=4和x=18分别代入相应的解析式即可；
（3）令y=20，求得x的值，然后根据x的值的大小确定点P的位置即可．
本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是从实际问题中整理出函数关系式，从而确定函数的图象．
16.【答案】15

【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵OA=12，AB=9，
∴OB===15．
故答案为15．

（2）如图，

设AD=x，则OD=OA-AD=12-x，
根据轴对称的性质，DE=x，BE=AB=9，
又OB=15，
∴OE=OB-BE=15-9=6，
在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，
即62+x2=（12-x）2，解得?x=，
∴OD=OA-AD=12-=，
∴点D（，0），
设直线BD所对应的函数表达式为：y=kx+b（k≠0）
则，解得，
∴直线BD所对应的函数表达式为：y=2x-15．

（3）过点E作EP∥BD交BC于点P，过点P作PQ∥DE交BD于点Q，则四边形DEPQ是平行四边形，再过点E作EF⊥OD于点F，


由?OE?DE=?DO?EF，
得EF==，即点E的纵坐标为，
又点E在直线OB：y=x上，
∴=x，解得x=，
∴E（，），
由于PE∥BD，所以可设直线PE：y=2x+n，
∵E（，），在直线EP上
∴=2×+n，解得?n=-6，
∴直线EP：y=2x-6，
令y=9，则9=2x-6，解得x=，
∴P（，9）．
（1）根据勾股定理即可解决问题；
（2）设AD=x，则OD=OA=AD=12-x，根据轴对称的性质，DE=x，BE=AB=9，又OB=15，可得OE=OB-BE=15-9=6，在Rt△OED中，根据OE2+DE2=OD2，构建方程即可解决问题；
（3）过点E作EP∥BD交BC于点P，过点P作PQ∥DE交BD于点Q，则四边形DEPQ是平行四边形，再过点E作EF⊥OD于点F，想办法求出直线PE的解析式即可解决问题；
本题考查一次函数综合题、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题．
17.【答案】解：（1）设动点P运动的速度为x厘米/秒，则动点Q运动的速度为2x厘米/秒，
根据题意，得2（x+2x）=12，
解得x=2．
答：动点P、Q运动的速度分别是2厘米/秒、4厘米/秒；
?（2）动点Q运动的时间a==3；
经过3秒，动点Q从点B运动到点A，此时动点P运动的路程为2×3=6，
即b==6；
动点P运动的时间c=2a=6；
故答案为3，6，6；
（3）当3≤t≤6时，设s与t之间的函数关系式为s=kt+b，
∵图象过点（3，6），（6，12），
∴，
解得，
∴s与t之间的函数关系式为s=2t（3≤t≤6）．


【解析】本题考查了动点问题的函数图象，路程、速度与时间的关系，待定系数法求一次函数的解析式等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程
（1）设动点P运动的速度为x厘米/秒，则动点Q运动的速度为2x厘米/秒，根据图象可知经过2秒两点之间的距离为0，即经过2秒两点相遇．根据相遇时，两点运动的路程之和=12厘米列出方程，求解即可；
（2）根据图象可知，a的值为动点Q从点B运动到点A的时间，根据时间=路程÷速度列式求出a=3；b的值为动点P运动3秒时的路程，根据路程=速度×时间列式求解；c的值为动点P从点A运动到点B的时间，根据时间=路程÷速度列式求解；
?（3）当3≤t≤6时，设s与t之间的函数关系式为s=kt+b，将（3，6），（6，12）代入，利用待定系数法即可求解．
18.【答案】解：（1）把C（m，4）代入一次函数y=-x+5，可得
4=-m+5，
解得m=2，
∴C（2，4），
设l2的解析式为y=ax，则4=2a，
解得a=2，
∴l2的解析式为y=2x；
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，
y=-x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO=10，BO=5，
∴S△AOC-S△BOC=×10×4-×5×2=20-5=15；

（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，
∴当l3经过点C（2，4）时，k=；
当l2，l3平行时，k=2；
当11，l3平行时，k=-；
故k的值为或2或-．

【解析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO=10，BO=5，进而得出S△AOC-S△BOC的值；
（3）分三种情况：当l3经过点C（2，4）时，k=；当l2，l3平行时，k=2；当11，l3平行时，k=-；故k的值为或2或-．
本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．

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