苏科版八年级数学上册 第三章 勾股定理提高训练题（含解析）

勾股定理提高训练题
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
若直角三角形两边长分别是6，8，则它的斜边为（　　）
A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 以上都不正确
将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（　　）
A. 16
B. 32
C.
D. 64



在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC等于（　　）
A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 9或5
如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC=3，AC=4，AD=6．M是BD的中点，则CM的长为（　　）
A.
B. 2
C.
D. 3



如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　）
A. 2 B. C. D.
等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其腰上的高为（　　）
A. 13 B. 8 C. D. 64
如果3，a，5是勾股数，则a的值是（　　）
A. 4 B. C. 4或 D. 4或34
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）

A. B. 4 C. 5 D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为______．
由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为______．





如图，已知，，，，图中阴影部分的面积______．






如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．

如图，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AB=4，CD=12，则AD= ______ ．





一只蜘蛛正处于一个正方体的一个顶点A处，一只苍蝇处于此正方体的另一个顶点B处（如图所示），如果此正方体的棱长恰为10cm，试问蜘蛛想捉到苍蝇的最短路线是______．




如图，已知△ABC三条边AC=20cm，BC=15cm，AB=25cm，CD⊥AB，则CD= ______ cm．




已知平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，BC边上的高AE=3，AF⊥DC于F，则DF的长是____．

三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）
如图，正方形网格中每个正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．
（1）其中一条边为无理数，两条边为有理数；
（2）其中两条边为无理数，一条边为有理数；
（3）三条边都能为无理数吗？若能在图（3）中画出，这些三角形的面积都是______（填有理数或无理数），并计算出你所画三角形的面积．









如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．

问：在离A站多少km处？
判定三角形DEC的形状．







已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）t为______时，△PBO是等边三角形？
（2）P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由．








如图，四边形ABCD中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，CD=3，AD=5．
（1）求证：AC⊥CD；
（2）求四边形ABCD的面积．













答案和解析
1.【答案】C

【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．分直角三角形两直角边长分别是6，8和它的斜边为8两种情况，根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：当直角三角形两直角边长分别是6，8时，由勾股定理得，它的斜边==10，
当8是直角三角形的斜边时，它的斜边为8.
故选C．
2.【答案】D

【解析】解：已知半圆的面积为8π，
所以半圆的直径为：2×=8，
即如图直角三角形的斜边为：8，
设两个正方形的边长分别为：x，y，
则根据勾股定理得：x2+y2=82=64，
即两个正方形面积的和为64．
故选：D．
首先由面积为8π的半圆求出半圆的直径，即直角三角形的斜边，再根据勾股定理求出两直角边的平方和，即是这两个正方形面积的和．
此题考查的知识点是勾股定理，关键是由面积为8π的半圆求出半圆的直径，再根据勾股定理求出这两个正方形面积的和．
3.【答案】C

【解析】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：
BD2=AB2-AD2=152-122=81，
∴BD=9，
在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2-AD2=132-122=25，
∴CD=5，
∴BC的长为BD+DC=9+5=14；
（2）钝角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：
BD2=AB2-AD2=152-122=81，
∴BD=9，
在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：
CD2=AC2-AD2=132-122=25，
∴CD=5，
∴BC的长为BD-CD=9-5=4．
故BC长为14或4．
故选：C．
分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=BD-CD．
本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
4.【答案】C

【解析】解：延长BC 到E 使BE=AD，则四边形ACED是平行四边形，∵BC=3，AD=6，
∴C是BE的中点，
∵M是BD的中点，
∴CM=DE=AB，
∵AC⊥BC，
∴AB===5，
∴CM=，
故选：C．
延长BC 到E使BE=AD，则四边形ACED是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到CM=DE=AB，根据跟勾股定理得到AB===5，于是得到结论．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5.【答案】C

【解析】解：连接AP，
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得：×4×3=×5×AP，
∴AP=2.4，
即EF=2.4，故ABD错误，C正确.
故选C．
根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可.
?本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中.
6.【答案】C

【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握等腰三角形的性质，运用勾股定理和三角形的面积的计算方法是解决问题的关键.
作AD⊥BC于D，由等腰三角形的三线合一性质得出BD=CD=BC=6，∠ADB=90°，由勾股定理求出AD，由三角形面积的计算方法，求出BE的长即可.
【解答】
解：如图所示：
BE是等腰三角形的腰AC上的高，作AD⊥BC于D；
∵AB=AC，
∴BD=CD=BC=6，∠ADB=90°，
∴AD===8，
∴△ABC的面积=×AC×BE=×BC×AD，
∴AC×BE=BC×AD，
即10×BE=12×8，
解得：BE=9.6.
故选C.
7.【答案】A

【解析】解：∵3，a，5是勾股数，
∴a=4，
故选：A．
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，依此得到a．
此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
8.【答案】D

【解析】【分析】
本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找出点P、Q的位置是解题的关键．
过点C作AD的对称点，交AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ=EQ取最小值，根据勾股定理可求出AB的长度，再根据面积法求出CG，由面积相等，即可得出EQ=CG，进而可得出EQ的长度，此题得解．
【解答】
解：作点C关于AD的对称点交AB于E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ=EQ取最小值，如图所示．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10．
∵C、E关于AD对称，
∴PC=PE，AE=AC=6．
∵EQ⊥AC，∠ACB=90°，EQ=CG =.
故选D．


9.【答案】45°

【解析】解：如图，连接AC．

根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=，
∵（）2+（）2=（）2，即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数．
本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．
10.【答案】4-2

【解析】解：∵直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，
∴该直角三角形的另外一条直角边长为，
∴S阴影=22-4××1×=4-2．
故答案是：4-2．
由题意可知阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小直角三角形的面积，代入数值计算即可．
本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
11.【答案】96m2

【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形．先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再根据S阴影=AC×BC-AD×CD即可得出结论．
【解答】
?解：在Rt△ADC中，
∵CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m，
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，
∴AC=10m，（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676．
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
∴S阴影=AC×BC-AD×CD=×10×24-×8×6=96（m2）．
故答案为96m2．
12.【答案】15

【解析】解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，
∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，
∴CE2+AE2=AC2，
∴∠E=90°，
∴∠BAD=90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积=AD?AB=15，
故答案为：15．
延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形即：△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．
13.【答案】13

【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，由勾股定理得：AC==5，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=5，CD=12，由勾股定理得：AD==13，
故答案为：13．
在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD即可．
本题考查了勾股定理，熟知在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解答此题的关键．
14.【答案】10cm

【解析】解：如图所示：AB即为最短路线，
则在Rt△ABC中，AB===10cm，
答：蜘蛛所走的最短路线长度是10cm．
把此正方体的一面展开，然后在平面内根据两点之间，线段最短，即可得出最短的路径．
此题主要考查了平面展开图最短路径问题以及勾股定理，得出爬行路线是解题关键．
15.【答案】12

【解析】解：∵202+152=252，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ACB是直角三角形，
∵S△ACB=AC?BC=AB?CD，
∴AC?BC=AB?CD，
20×15=25?CD，
CD=12．
故答案为：12．
首先利用勾股定理逆定理证明△ACB是直角三角形，再利用三角形的面积公式可得AC?BC=AB?CD，再代入相应数据进行计算即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
16.【答案】2

【解析】【分析】
本题主要考查的是勾股定理，平行四边形的性质的有关知识，根据平行四边形的对边相等，可得CD=AB=6，又因为S?ABCD=BC?AE=CD?AF，所以求得DC边上的高AF的长，进而利用勾股定理解得即可.
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，
∴S?ABCD=BC?AE=CD?AF=4×3=12，
∴AF=2，
∴DC边上的高AF的长是2，
在Rt△ADF中，DF=.
故答案为2?.
17.【答案】（1）
（2）

（3）2

?
如图3，AB==，BC==2，AC==，
∴△ABC就是符合条件的三角形；
S△ABC=S长方形DECF-S△ABD-S△AFC-S△BEC，
=2×3-×1×1-×1×3-×2×2，
=2．

【解析】解：（1）如图1，AC=1，AB=2，BC==；
则△ABC就是符合条件的三角形；
（2）如图2，AF=3，DE=，EF=2，则△DEF就是符合条件的三角形；
（3）见答案.
【分析】
（1）和（2）按要求画出三角形；
（2）按要求画出三角形，利用面积差求△ABC的面积．
本题是作图题，一方面考查了三角形的画法及有理数与无理数的判别，另一方面还考查了勾股定理及三角形面积的求法；本题要熟练掌握勾股定理的运用，用格点作边是有理数，用长方形对角线作边就是无理数．
18.【答案】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB-AE=（25-x），
∵DA=15km，CB=10km，
∴x2+152=（25-x）2+102，
解得：x=10，
∴AE=10km；
（2）△DEC是等腰直角三角形，理由如下：
∵△DAE≌△EBC，
∴∠DEA=∠ECB，∠ADE=∠CEB，
∠DEA+∠D=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEC=90°
∵DE=CE，，
即△DEC是等腰直角三角形．

【解析】（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=10km；
（2）三角形DEC的形状是等腰直角三角形，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，再根据DE=CE，进而可以证明．
此题主要考查了勾股定理的应用和三角形全等的证明，证明线段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解决问题的关键．
19.【答案】（1)12;
?（2）当t为9或时，△PBQ是直角三角形，
理由如下：
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm
∴AB=2BC=18×2=36（cm）
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发
∴BP=AB-AP=36-2t，BQ=t
∵△PBQ是直角三角形
∴BP=2BQ或BQ=2BP
当BP=2BQ时，
36-2t=2t
解得t=9
当BQ=2BP时，
t=2（36-2t）
解得t=
所以，当t为9或时，△PBQ是直角三角形．

【解析】解：（1）要使，△PBO是等边三角形，即可得：PB=BQ，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．
∴AB=36cm，
可得：PB=36-2t，BQ=t，
即36-2t=t，
解得：t=12
故答案为；12
（2）见答案．
（1）根据等边三角形的性质解答即可；
（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理解答．
20.【答案】（1）证明：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=4，
在△ACD中，AC=4，CD=3，AD=5，
∵42+32=52，即AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴AC⊥CD；
（2）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，AC=4，
∴BC==2，
∴Rt△ABC的面积为AB?BC=×2×2=2，
又∵Rt△ACD的面积为AC?CD=×4×3=6，
∴四边形ABCD的面积为：2+6．

【解析】（1）根据直角三角形的性质得到AC=2AB=4，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BC==2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

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