苏科版八年级数学上册 第2章 有理数培优训练（含解析）

有理数培优训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
下列具有相反意义的量的是（　　）
A. 前进与后退 B. 身高增加2厘米与体重减少2千克
C. 胜3局与负2局 D. 气温升高与气温为
已知a、b表示两个非零的有理数，则+的值不可能是（　　）
A. 2 B. C. 1 D. 0
数x、y在数轴上对应点如图所示，则化简|x+y|-|y-x|的结果是（　　）
A. 0 B. 2x C. 2y D.
若|a|=19，|b|=97，且|a+b|≠a+b，那么a-b的值是（　　）
A. 或116 B. 78或116 C. 或 D. 78或
下列说法：①平方等于64的数是8；②若a、b互为相反数，则=-1：③若|-a|=a，则(-a)3的值为负数；④若ab≠0，则+的取值在0，1，2，-2这四个数中，不可取的值是0．其中正确的个数为()
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始，逐页依顺序在每一页上写一个数．小昱在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加2；阿帆在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加7．若小昱在某页写的数为101，则阿帆在该页写的数为何？（　　）
A. 350 B. 351 C. 356 D. 358
有理数在数轴上的位置如图所示，则在式子中，值最大的是（ ? ? ? ）

A. B. C. D.
现定义一种新运算“*”，规定a*b=ab+a-b，如1*3=1×3+1-3，则（-2*5）*6等于（　　）
A. 120 B. 125 C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是______ ．

若“!”是一种数学运算符号，并且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，…则÷99的值为______ ．
求1+2+22+23+…+22013的值，可令S=1+2+22+23+…+22013，则2S=2+22+23+…+22014，因此2S-S=22014-1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52014=______．
若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是=-1，-1的差倒数为，现已知x1=-，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则?x2017=______．
有三个互不相等的整数a、b、c，如果abc=9，那么a+b+c= ______ ．
如图，若开始输入的x的值为正整数，最后输出的结果为144，则满足条件的x的值为______．

若=-1，则x的取值范围是______ ．
如图，数轴上相邻刻度之间的距离是，若BC=，A点在数轴上对应的数值是-，则B点在数轴上对应的数值是______．

三、计算题（本大题共1小题，共16.0分）
计算：
（1）--21+3-2
（2）-81÷2×÷（-15）
（3）+23×+（-57）×+（-26）×
（4）-14-[-2+（1-0.2÷）×（-3）]．







四、解答题（本大题共4小题，共36.0分）
先阅读，再解题：
因为，，，…
所以===
参照上述解法计算：．







如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．



（1）当0＜t＜5，用含t的式子填空：BP＝____________________，AQ＝__________；
（2）当t＝2时，求PQ的值；
（3）当时，求t的值．







已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-6）2+|a+b|=0，请回答问题
（1）请直接写出a、b、c的值．a= ______ ，b= ______ ，c= ______
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（请写出化简过程）

（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n＞0）个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．







阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，
所以当x＞0时，==1；当x＜0时，==-1．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：
（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，+= ______ ；
（2）已知a，b是有理数，当abc≠0时，++= ______ ；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc＜0，则++= ______ ．








答案和解析
1.【答案】C

【解析】【分析】
本题解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
【解答】
解：A、前进与后退，具有相反意义，但没有量．故错误；
B、身高增加2厘米与体重减少2千克不具有相反意义，故错误；
C、正确；
D、升高与降低是具有相反意义，气温为-3℃只表示某一时刻的温度，故错误．
故选C．
2.【答案】C

【解析】解：∵a、b表示两个非零的有理数，
∴=±1，=±1，
∴+=2或-2或0．
故选：C．
根据绝对值的意义得到=±1，=±1，则+可能为2或-2或0．
本题考查了绝对值的性质，解题时注意：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a．
3.【答案】C

【解析】【分析】
本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．先根据x、y在数轴上的位置判断出x、y的符号及绝对值的大小，再去括号，合并同类项即可．
【解答】
?解：∵由图可知，y＜0＜x，x＞|y|，
∴原式=x+y-（x-y）
=x+y-x+y
=2y．
故选C．
4.【答案】B

【解析】解：∵|a|=19，|b|=97
∴a=±19，b=±97
又∵|a+b|≠a+b，则a+b＜0
∴a=19，b=-97或a=-19，b=-97
当a=19，b=-97时，a-b=19-（-97）=116；
当a=-19，b=-97时，a-b=-19+97=78．
故选B．
根据|a|=19，|b|=97，且|a+b|≠a+b，求得a、b的值，然后计算a-b的值即可．
本题主要考查了绝对值的性质，若x≠0，且|x|=a，则x=±a，根据任何数的绝对值一定是非负数，正确确定a，b的值，是解决本题的关键．
5.【答案】A

【解析】解：①平方等于64的数是±8，故错误；
②没考虑等于0的情况，故错误；
③|-a|=a说明a为非正数，可以为0，所以(-a)3的值不一定为负数，故错误；
④当a和b之间有一个大于0一个小于0时，则+=0，故错误．
综上可得没有一个说法正确．
故选A．
6.【答案】B

【解析】解：小昱所写的数为 1，3，5，7，…，101，…；阿帆所写的数为 1，8，15，22，…，
设小昱所写的第n个数为101，
根据题意得：101=1+（n-1）×2，
整理得：2（n-1）=100，即n-1=50，
解得：n=51，
则阿帆所写的第51个数为1+（51-1）×7=1+50×7=1+350=351．
故选：B．
根据题意确定出小昱和阿帆所写的数字，设小昱所写的第n个数为101，根据规律确定出n的值，即可确定出阿帆在该页写的数．
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
7.【答案】D

【解析】【分析】
本题考查了数轴，有理数数的大小比较，根据数轴判断出a、b，c的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键.根据数轴可得-1【解答】
解：由数轴可得，-1∴0∴最大的数为.
故选D.
8.【答案】D

【解析】解：∵a*b=ab+a-b，
∴（-2*5）*6=（-2×5-2-5）*6=-17*6=-17×6+（-17）-6=-125．
故选：D．
根据运算的规定首先求出（-2*5），然后再求出-17*6即可．
本题主要考查了有理数的混合运算，正确理解题意，能掌握新定义是解题关键．
9.【答案】13

【解析】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1-3=-2；
第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为-2+6=4；
第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4-9=-5；
第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为-5+12=7；
第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7-15=-8；
…；
则A7表示的数为-8-3=-11，A9表示的数为-11-3=-14，A11表示的数为-14-3=-17，A13表示的数为-17-3=-20，
A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，
所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．
故答案为：13．
序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为-17-3=-20，A12表示的数为16+3=19，则可判断点An与原点的距离不小于20时，n的最小值是13．
本题考查了规律型，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键．
10.【答案】100

【解析】解：÷99
=×
=100．
故答案为：100．
根据“!”的运算方法列出算式，再根据有理数的乘法和有理数的除法运算法则进行计算即可得解．
本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，读懂题目信息，理解新定义的运算方法是解题的关键．
11.【答案】

【解析】解：设S=1+5+52+53+…+52014，
则5S=5+52+53+…+52015，
5S-S=（5+52+53+…+52015）-（1+5+52+53+…+52014）=52015-1，
所以，S=．
故答案为：．
根据题目信息，设S=1+5+52+53+…+52014，表示出5S=5+52+53+…+52015，然后相减求出S即可．
本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解等比数列的求和方法是解题的关键．
12.【答案】-

【解析】解：由题意可得，
x1=-，
x2=，
x3=，
x4=，
2017÷3=672…1，
∴x2017=，
故答案为：．
根据题目中的数据可以分别求得前面几个数据值，从而可以发现其中的规律，从而可以解答本题．
本题考查数字的变化类，解题的关键是发现数字之间的变化规律．
13.【答案】-1或9

【解析】解：9=（-1）×（-9）=1×9=3×3=（-3）×（-3），
∵a、b、c、d是互不相等的整数，且abc=9，
∴a、b、c三个数为-1、3、-3，或1、-1、9，
那么a+b+c=1或-9，
故答案为：-1或9．
把9分解质因数，然后判断出a、b、c三个数，再求和即可．
本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，根据9的质因数判断出a、b、c、d四个数的值是解题的关键．
14.【答案】29或6

【解析】解：第一个数就是直接输出其结果的：5x-1=144，
解得：x=29，
第二个数是（5x-1）×5-1=144
解得：x=6；
第三个数是：5[5（5x-1）-1]-1=144，
解得：x=1.4（不合题意舍去），
第四个数是5{5[5（5x-1）-1]-1}-1=144，
解得：x=（不合题意舍去）
∴满足条件所有x的值是29或6．
故答案为：29或6．
利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出144，可得方程5x-1=144，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．
此题考查了方程与不等式的应用，注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．
15.【答案】x＜1

【解析】解：由题意得
x-1≤0且x-1≠0
即x≤1，且x≠1
所以x＜1．
故答案为x＜1．
由绝对值的定义和分式有意义的条件入手求解．
解决本题的关键是注意分式的分母不能为0．即x-1≠0的条件．
16.【答案】0或

【解析】解：--+×5
=-+1
=，
∵BC=，
∴点B表示的有理数是0或．
故答案为：0或．
首先根据图示，可得点A和点C之间有5个刻度，求出点C表示的数是多少；然后根据BC=，求出点B表示的有理数是多少即可．
此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握．
17.【答案】解：（1）--21+3-2
=（-+3）+（-2-21）
=3-24
=-21

（2）-81÷2×÷（-15）
=-36×÷（-15）
=-16÷（-15）
=1

（3）+23×+（-57）×+（-26）×
=（23-57-26）×
=（-60）×
═-15

（4）-14-[-2+（1-0.2÷）×（-3）]
═-1-[-2-2]
=-1+4
=3

【解析】（1）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可．
（2）（4）根据有理数的混合运算的运算方法，求出每个算式的值各是多少即可．
（3）应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
18.【答案】解：原式=（1-+-+-+…+-）=（1-）=×=．

【解析】根据题中给出的材料可知利用通分的逆运算把分式拆成两个分数的加法或减法的形式，可使计算简便．
解此类题目的关键是熟悉分数的通分方法，利用通分的逆运算把分式拆成两个分数的加法或减法的形式，可使计算简便．
19.【答案】解：（1）∵当0＜t＜5时，
P点对应的有理数为10+t＜15，
Q点对应的有理数为2t＜10，
∴BP=OB-OP=OB-(OA+AP)=15-（10+t）=5-t，AQ=OA-AQ=10-2t；
?故答案为5-t，10-2t；
（2）当t=2时，P点对应的有理数为10+2=12，
Q点对应的有理数为2×2=4，
所以PQ=12-4=8；
（3）∵t秒时，P点对应的有理数为10+t，
Q点对应的有理数为2t，
∴PQ=|2t-（10+t）|=|t-10|，
∵PQ=，
∴|t-10|=2.5，
??解得t=12.5或7.5．

【解析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，（3）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．
（1）先求出当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，再根据两点间的距离公式即可求出BP，AQ的长；
（2）先求出当t=2时，P点对应的有理数为10+2=12，Q点对应的有理数为2×2=4，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；
（3）由于t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，根据两点间的距离公式得出PQ=|2t-（10+t）|=|t-10|，根据PQ=列出方程，解方程即可．
20.【答案】（1）-1；1；6

（2）由题意-1＜x＜1，
∴|x+1|-|x-1|-2|x+5|=x+1+1-x-2（x+5）
=2-2x-10=-2x-8．

（3）由题意BC=5+5nt-2nt=5+3nt，AB=nt+2+2nt=2+3nt，
∴BC-AB=（5+3nt）-（2+3nt）=3，
∴BC-AB的值不变，BC-AB=3．

【解析】【分析】
本题考查非负数的性质、绝对值、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长，属于中考常考题型．
（1）根据最小的正整数是1，推出b=1，再利用非负数的性质求出a、c即可．
（2）首先确定x的范围，再化简绝对值即可．
（3）BC-AB的值不变．根据题意用n，t表示出BC、AB即可解决问题．
【解答】
解：（1）∵b是最小的正整数，
∴b=1，
∵（c-6）2+|a+b|=0，（c-6）2≥0，|a+b|≥0，
∴c=6，a=-1，b=1，
故答案为-1，1，6．

（2）由题意-1＜x＜1，
∴x+1＞0，x-1＜0，x+5＞0
∴|x+1|-|x-1|-2|x+5|=x+1+1-x-2x-10=-2x-8．

（3）由题意BC=5+5nt-2nt=5+3nt，AB=nt+2+2nt=2+3nt，
∴BC-AB=（5+3nt）-（2+3nt）=3，
∴BC-AB的值不变，BC-AB=3．
21.【答案】（1）±2或0；
（2）±1或±3；
（3）-1.

【解析】解：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，
①a＜0，b＜0，+=-1-1=-2，
②a＞0，b＞0，+=1+1=2，
③a、b异号，+=0，
故答案为：±2或0；
（2）已知a，b是有理数，当abc≠0时，
①a＜0，b＜0，c＜0，++=-1-1-1=-3，
②a＞0，b＞0，c＞0，++=1+1+1=3，
③a、b、c两负一正，++=-1-1+1=-1，
④a、b、c两正一负，++=-1+1+1=1，
故答案为：±1或±3；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc＜0，
则b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，
则++═---=1-1-1=-1，
故答案为：-1．
【分析】（1）分3种情况讨论即可求解；
（2）分4种情况讨论即可求解；
（3）根据已知得到b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，进一步计算即可求解．
此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

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