22.5（1）等腰梯形的性质教案
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文档简介
第二十二章《梯形》部分的分析
一、教材结构与内容分析
本节内容在全书及章节的地位及其作用：本节课的内容是上教版第二十二章《四边形》中22.5《等腰梯形》的第一课时。
通过八年级第一学期的几何学习，初步学会了演绎证明，获得了演绎推理的基础性训练，基本完善了有关平行线和三角形的几何知识基础。第二十二章以四边形为研究对象，学生在前一阶段已经历了一般及特殊平行四边形的学习过程，重点研究有关四边形的定义、性质和判定定理，所以学生已基本形成自主类比探究的能力。之前，学生已学习了几种特殊的平行四边形,这为过渡到梯形（包括等腰梯形）的学习起着铺垫作用。等腰梯形是一类特殊的四边形，通过学习让学生学会把等腰梯形转化为熟悉的平行四边形和三角形，体验建模的数学思想。因此学好本节内容对今后的数学学习至关重要。
数学思想方法分析：作为数学老师,不仅要传授数学知识,更重要的是传授数学思想、数学意识，因此本节课在教学中渗透数学中图形变换的方法与转化的思想以及掌握建模的数学思想。
二、教学目标
根据上述教材结构与内容分析，根据学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标：
1、基础知识目标：
（1）??? 理解梯形、等腰梯形、直角梯形的概念。
（2）??? 能探索并掌握等腰梯形的特征及识别方法，并能灵活应用。
（3）??? 学会分解梯形为平行四边形与三角形的方法。
2、能力训练目标：
（1）??? 培养学生观察、分析的能力，以及对已有知识归纳、总结的能力。
（2）??? 培养学生逻辑思维能力和对图形的认知能力。
（3）??? 培养学生的表达能力。
3、创新素质目标：
（1）??? 提高学生的合作能力，增强团结意识。
（2）??? 从学生已有的知识和水平出发，激发他们的求知欲，通过合作获得成功的体验。
（3）创设问题情景，增强学生的主体参与意识，感悟、体验归类思想，培养学生观察、分析、概括、判断、创新精神及合作交流的良好习惯，激发学生分析、探求的学习热情。
三、 教学重点、难点
依据新课程标准，确立了如下的教学重点、难点。
教学重点：能说出等腰梯形的特征及识别方法；
会把梯形分解为平行四边形与三角形解决问题。??????
教学难点：
灵活应用等腰梯形的特征及识别方法解决问题。
途径：
通过精心设计开展互动讨论，促进知识的形成。
通过动手操作和多媒体演示分散难点、突破难点。?? ????
四、教学对象分析
这个班是全民工子女，两级分化较严重，个别几个学生有些学习能力，其余知识、能力都素质较低，教学中要更多调动学生的学习积极性，完成基本教学要求。 针对这种情况，课堂上积极营造愉悦的氛围，启发、引导学生积极参与教学活动，促进学生的主体意识。
五、教法分析
数学教学重要的是培养人的思维，发展人的思维。在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。因此教师的角色定位为课堂的参与者、组织者、合作者、指导者，学生是课堂主体，在课堂中获取知识、方法和思维过程。基于本节课的特点,探究性质时应着重采用直观猜测后推理证明，在构建数学模型时采用“尝试教学法”逐步设疑引导学生观察比较，再让学生动手操作积极参与讨论，启发学生发现问题、思考问题，培养学生逻辑思维能力。利用多媒体手段辅助教学，启迪学生思维，帮助学生突破难点，提高他们学习兴趣和学习的积极性。有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆。为了充分体现《新课标》的要求，本节课采用“做、思、问、辩、议”的学习法。在教学过程中，注重引导学生在课堂活动过程中感悟知识的生成、发展与变化。学会用类比的方法发现做辅助线的规律。采用启发、诱导的方法来指导学生“会学”，引导学生反思、小结的思想方法。指导学生“善学”，增强学习的乐趣和信心。
六、学法分析：
重视学法的指导，把教法融于学法中，在学法中体现教法。通过本节课的教学，使学生掌握一些基本的学习方法：
1、学会利用旧知转化为新知，解决新问题的能力。
2、学会利用知识的迁移规律，把知识转化成相应的技能，培养学生的自学能力和探索精神。
3、让学生通过动手操作,对课件的直观演示进行观察、比较、推理，得出结论，从而提高学生自主发现问题，分析问题，解决问题的能力。
4、注重培养学生阅读理解能力与互助协作能力，在教学过程中主要以学生“探究自学”、“小组讨论”、“互动学习”的学习方式进行。
22.5（1）等腰梯形的性质
教学目标
1．经历探索等腰梯形性质的过程，掌握等腰梯形的性质定理、并能应用进行计算和证明；
2．会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等基本几何图形来解决问题；
3．通过探索等腰梯形性质，提高类比、归纳能力，感受类比、分类讨论和转化等数学思想和方法在解决问题中的作用。
教学重点及难点
掌握等腰梯形的性质定理、并能运用进行计算和证明；
会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等基本几何图形来解决问题。
教学流程设计
操作探索引入(探讨新知（讲练结合）(
自主小结（含自主训练）(分层作业（含课后拓展）
教学过程设计
一、操作探索引入
1.操作：
长方形和等腰三角形都平放交叠在一起，重叠部分是什么形，为什么？
（充分利用3个等腰三角形以及等腰梯形定义）
注意：要养成猜想后推理证明的习惯。
2.在图片中你找到等腰梯形了吗？
猜想等腰梯形有什么性质？
提示:从角考虑。
（板书课题：22.5（1）等腰梯形的性质）
二、探讨新知
1、猜想：等腰梯形在同一底上的两个内角相等.
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC
求证：∠B=∠C（或∠A=∠D）
2.分析探索、寻求证明：
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC
求证：∠B=∠C
启发与思考：
能否用等边对等角？
不能，三角形时才有。
注意不是三角形，怎么办？
尝试转化图形。
添线什么辅助线？
分割梯形的常见方法的尝试。
这个问题是教学中的难点和关键，为突破这个教学难点，教学中必须注意引导学生联系问题一中所提到的方案，即添加辅助线后能将梯形问题转化为问题一中所涉及的已知（熟悉的）图形，或者是转化后能将分散的、没有联系的条件聚拢到一起，建立直接联系.并利用已知图形的性质及已知条件进行证明。
(1) 过梯形的顶点作腰的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形.如图所示:
A D
B E C
证明：过点D作DE // AB交BC于E，记∠DEC=∠1
∵ AD // BC ∴ AB = DE
∵ AB = DC ∴ DE = DC ∴∠1 =∠C
∵ DE // AB ∴ ∠1 = ∠B ∴ ∠B = ∠C
∠A = ∠CDA还要从新证起吗？
(2) 过上底的端点作下底的垂线，将梯形转化成为一个矩形和两个直角三角形.如图所示：
A D
B E F C
证明：过点A，D分别作AE ⊥BC于E，DF ⊥BC于 F
∵ AE//DF，AD//BC ∴ AE=DF
∵ AB=DC ∴ Rt △ABE≌Rt △ DCF (H.L)
∴ ∠ B= ∠ C
（3）请回家完成方法三（详见ppt）
若还有新方法也请自行完成
教学中一定要注意添加辅助线是关键，要注意学生的思维过程，引导学生克服思维障碍.
（引出辅助线后，证明比较简单，学生一起完成。）
上述证明中的辅助线是如何将问题转化的？(引导学生总结.)
第一种添加辅助线的方法：
1）可理解为将梯形转化为平行四边形和等腰三角形来研究.
2）可理解为将梯形的一腰平移，使这个腰与另一个腰产生直接联系（构成等腰三角形）.
第二种添加辅助线的方法：
可理解为构造两个全等三角形，从而使问题得证.
（让学生想一想，还可以用什么样的方法作辅助线来解决梯形问题，多找几名学生回答，然后教师总结，可借助多媒体演示见图）
“作高”
使两腰在两个直角三角形中．
“平移对角线”
使两条对角线在同一个三角形中．
“延腰”
构造具有公共角的两个等腰三角形．
综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．
3.例题引入：现已知等腰梯形，求证上方是等腰三角形。
例题1:已知：梯形ABCD中，AD//BC，腰BA和CD的延长线交于点E.
求证： △EAD是等腰三角形.
方法探讨：
交流：方法一:等角对等边;
方法二:大边减小边.
证明: 记∠EAD= ∠1，∠EDA= ∠2
∵四边形ABCD是等腰梯形， AD//BC ，
∴ ∠B= ∠C （等腰梯形在同一底上的两个内角相等）
∵ AD//BC ∴ ∠1= ∠B ，∠2= ∠C ，
∴ ∠1= ∠2 ∴ △EAD是等腰三角形.
4.归纳提升
5.巩固练习1
如图，在等腰梯形ABCD中，
AD∥BC ，AD=AB，BD⊥DC，
求∠C的度数。
6. 进一步猜想及证明
除了“等腰梯形在同一底上的两个内角相等”还有什么性质？
提示:从对角线考虑。
猜想：等腰梯形的两条对角线相等。
已知：（学生口述）
求证：（学生口述）
思路：转化方向——全等三角形．
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ,AB=DC
求证：AC=BD
证明： ∵ AD∥BC ,AB=DC ，
∴∠ABC=∠DCB（等腰梯形在同一底上的两个内角相等）
∴ 在△ABC与△DCB中
∴ AB=CD
∠ABC=∠DCB
BC=CB
∴ △ABC≌△DCB.
∴AC=BD
7.巩固练习2
对角线为4且互相垂直的等腰梯形面积__________。
8.自主探索：等腰梯形是轴对称图形吗？如何说理？
方法的迁移_______________
_________________________
_________________________
_________________________
对称性：
等腰梯形是轴对称图形.对称轴是上底（下底）的垂直平分线.
自主小结(含自主练习)：
如图，四边形ABCD是等腰梯形，腰AB=DC，AC、BD是它的对角线，它是轴对称图形吗？对称轴在哪里？你能发现哪些相等的线段和相等的角？
等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点的连线所在的直线是它的对称轴。
试一试：
下列说法中正确的个数是（ ）
（１）一组对边平行的四边形是梯形．
（２）等腰梯形的对角线相等．
（３）等腰梯形的两个内角相等．
（４）等腰梯形有一条对称轴．
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
等腰梯形性质运用练习:
①等腰梯形的一底角为 150°，腰长为10，下底长为50，则上底长为_______。
②链接生活(课后拓展)
花园地上铺着彩色的正方形地砖．除了用正方形的地砖铺之外，还可以用其他形状的地砖铺吗？用等腰梯形的地砖如何铺？画出你的设计．
提示：用两腰和上底相等且内角分别为60°和120°的等腰梯形来设计，如图）
分层作业：
分层布置（A必做、B选做）
A ：1、练习册：习题22.5（1）
2、预习 22.5（2）
3、完成方法三（证明性质1）
B： 1、画等腰梯形中常用的辅助线。
2、完成课后拓展题（铺地砖）
教学反思:
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一、教材结构与内容分析
本节内容在全书及章节的地位及其作用：本节课的内容是上教版第二十二章《四边形》中22.5《等腰梯形》的第一课时。
通过八年级第一学期的几何学习，初步学会了演绎证明，获得了演绎推理的基础性训练，基本完善了有关平行线和三角形的几何知识基础。第二十二章以四边形为研究对象，学生在前一阶段已经历了一般及特殊平行四边形的学习过程，重点研究有关四边形的定义、性质和判定定理，所以学生已基本形成自主类比探究的能力。之前，学生已学习了几种特殊的平行四边形,这为过渡到梯形（包括等腰梯形）的学习起着铺垫作用。等腰梯形是一类特殊的四边形，通过学习让学生学会把等腰梯形转化为熟悉的平行四边形和三角形，体验建模的数学思想。因此学好本节内容对今后的数学学习至关重要。
数学思想方法分析：作为数学老师,不仅要传授数学知识,更重要的是传授数学思想、数学意识，因此本节课在教学中渗透数学中图形变换的方法与转化的思想以及掌握建模的数学思想。
二、教学目标
根据上述教材结构与内容分析，根据学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标：
1、基础知识目标：
（1）??? 理解梯形、等腰梯形、直角梯形的概念。
（2）??? 能探索并掌握等腰梯形的特征及识别方法，并能灵活应用。
（3）??? 学会分解梯形为平行四边形与三角形的方法。
2、能力训练目标：
（1）??? 培养学生观察、分析的能力，以及对已有知识归纳、总结的能力。
（2）??? 培养学生逻辑思维能力和对图形的认知能力。
（3）??? 培养学生的表达能力。
3、创新素质目标：
（1）??? 提高学生的合作能力，增强团结意识。
（2）??? 从学生已有的知识和水平出发，激发他们的求知欲，通过合作获得成功的体验。
（3）创设问题情景，增强学生的主体参与意识，感悟、体验归类思想，培养学生观察、分析、概括、判断、创新精神及合作交流的良好习惯，激发学生分析、探求的学习热情。
三、 教学重点、难点
依据新课程标准，确立了如下的教学重点、难点。
教学重点：能说出等腰梯形的特征及识别方法；
会把梯形分解为平行四边形与三角形解决问题。??????
教学难点：
灵活应用等腰梯形的特征及识别方法解决问题。
途径：
通过精心设计开展互动讨论，促进知识的形成。
通过动手操作和多媒体演示分散难点、突破难点。?? ????
四、教学对象分析
这个班是全民工子女，两级分化较严重，个别几个学生有些学习能力，其余知识、能力都素质较低，教学中要更多调动学生的学习积极性，完成基本教学要求。 针对这种情况，课堂上积极营造愉悦的氛围，启发、引导学生积极参与教学活动，促进学生的主体意识。
五、教法分析
数学教学重要的是培养人的思维，发展人的思维。在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。因此教师的角色定位为课堂的参与者、组织者、合作者、指导者，学生是课堂主体，在课堂中获取知识、方法和思维过程。基于本节课的特点,探究性质时应着重采用直观猜测后推理证明，在构建数学模型时采用“尝试教学法”逐步设疑引导学生观察比较，再让学生动手操作积极参与讨论，启发学生发现问题、思考问题，培养学生逻辑思维能力。利用多媒体手段辅助教学，启迪学生思维，帮助学生突破难点，提高他们学习兴趣和学习的积极性。有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆。为了充分体现《新课标》的要求，本节课采用“做、思、问、辩、议”的学习法。在教学过程中，注重引导学生在课堂活动过程中感悟知识的生成、发展与变化。学会用类比的方法发现做辅助线的规律。采用启发、诱导的方法来指导学生“会学”，引导学生反思、小结的思想方法。指导学生“善学”，增强学习的乐趣和信心。
六、学法分析：
重视学法的指导，把教法融于学法中，在学法中体现教法。通过本节课的教学，使学生掌握一些基本的学习方法：
1、学会利用旧知转化为新知，解决新问题的能力。
2、学会利用知识的迁移规律，把知识转化成相应的技能，培养学生的自学能力和探索精神。
3、让学生通过动手操作,对课件的直观演示进行观察、比较、推理，得出结论，从而提高学生自主发现问题，分析问题，解决问题的能力。
4、注重培养学生阅读理解能力与互助协作能力，在教学过程中主要以学生“探究自学”、“小组讨论”、“互动学习”的学习方式进行。
22.5（1）等腰梯形的性质
教学目标
1．经历探索等腰梯形性质的过程，掌握等腰梯形的性质定理、并能应用进行计算和证明；
2．会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等基本几何图形来解决问题；
3．通过探索等腰梯形性质，提高类比、归纳能力，感受类比、分类讨论和转化等数学思想和方法在解决问题中的作用。
教学重点及难点
掌握等腰梯形的性质定理、并能运用进行计算和证明；
会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等基本几何图形来解决问题。
教学流程设计
操作探索引入(探讨新知（讲练结合）(
自主小结（含自主训练）(分层作业（含课后拓展）
教学过程设计
一、操作探索引入
1.操作：
长方形和等腰三角形都平放交叠在一起，重叠部分是什么形，为什么？
（充分利用3个等腰三角形以及等腰梯形定义）
注意：要养成猜想后推理证明的习惯。
2.在图片中你找到等腰梯形了吗？
猜想等腰梯形有什么性质？
提示:从角考虑。
（板书课题：22.5（1）等腰梯形的性质）
二、探讨新知
1、猜想：等腰梯形在同一底上的两个内角相等.
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC
求证：∠B=∠C（或∠A=∠D）
2.分析探索、寻求证明：
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC
求证：∠B=∠C
启发与思考：
能否用等边对等角？
不能，三角形时才有。
注意不是三角形，怎么办？
尝试转化图形。
添线什么辅助线？
分割梯形的常见方法的尝试。
这个问题是教学中的难点和关键，为突破这个教学难点，教学中必须注意引导学生联系问题一中所提到的方案，即添加辅助线后能将梯形问题转化为问题一中所涉及的已知（熟悉的）图形，或者是转化后能将分散的、没有联系的条件聚拢到一起，建立直接联系.并利用已知图形的性质及已知条件进行证明。
(1) 过梯形的顶点作腰的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形.如图所示:
A D
B E C
证明：过点D作DE // AB交BC于E，记∠DEC=∠1
∵ AD // BC ∴ AB = DE
∵ AB = DC ∴ DE = DC ∴∠1 =∠C
∵ DE // AB ∴ ∠1 = ∠B ∴ ∠B = ∠C
∠A = ∠CDA还要从新证起吗？
(2) 过上底的端点作下底的垂线，将梯形转化成为一个矩形和两个直角三角形.如图所示：
A D
B E F C
证明：过点A，D分别作AE ⊥BC于E，DF ⊥BC于 F
∵ AE//DF，AD//BC ∴ AE=DF
∵ AB=DC ∴ Rt △ABE≌Rt △ DCF (H.L)
∴ ∠ B= ∠ C
（3）请回家完成方法三（详见ppt）
若还有新方法也请自行完成
教学中一定要注意添加辅助线是关键，要注意学生的思维过程，引导学生克服思维障碍.
（引出辅助线后，证明比较简单，学生一起完成。）
上述证明中的辅助线是如何将问题转化的？(引导学生总结.)
第一种添加辅助线的方法：
1）可理解为将梯形转化为平行四边形和等腰三角形来研究.
2）可理解为将梯形的一腰平移，使这个腰与另一个腰产生直接联系（构成等腰三角形）.
第二种添加辅助线的方法：
可理解为构造两个全等三角形，从而使问题得证.
（让学生想一想，还可以用什么样的方法作辅助线来解决梯形问题，多找几名学生回答，然后教师总结，可借助多媒体演示见图）
“作高”
使两腰在两个直角三角形中．
“平移对角线”
使两条对角线在同一个三角形中．
“延腰”
构造具有公共角的两个等腰三角形．
综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．
3.例题引入：现已知等腰梯形，求证上方是等腰三角形。
例题1:已知：梯形ABCD中，AD//BC，腰BA和CD的延长线交于点E.
求证： △EAD是等腰三角形.
方法探讨：
交流：方法一:等角对等边;
方法二:大边减小边.
证明: 记∠EAD= ∠1，∠EDA= ∠2
∵四边形ABCD是等腰梯形， AD//BC ，
∴ ∠B= ∠C （等腰梯形在同一底上的两个内角相等）
∵ AD//BC ∴ ∠1= ∠B ，∠2= ∠C ，
∴ ∠1= ∠2 ∴ △EAD是等腰三角形.
4.归纳提升
5.巩固练习1
如图，在等腰梯形ABCD中，
AD∥BC ，AD=AB，BD⊥DC，
求∠C的度数。
6. 进一步猜想及证明
除了“等腰梯形在同一底上的两个内角相等”还有什么性质？
提示:从对角线考虑。
猜想：等腰梯形的两条对角线相等。
已知：（学生口述）
求证：（学生口述）
思路：转化方向——全等三角形．
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ,AB=DC
求证：AC=BD
证明： ∵ AD∥BC ,AB=DC ，
∴∠ABC=∠DCB（等腰梯形在同一底上的两个内角相等）
∴ 在△ABC与△DCB中
∴ AB=CD
∠ABC=∠DCB
BC=CB
∴ △ABC≌△DCB.
∴AC=BD
7.巩固练习2
对角线为4且互相垂直的等腰梯形面积__________。
8.自主探索：等腰梯形是轴对称图形吗？如何说理？
方法的迁移_______________
_________________________
_________________________
_________________________
对称性：
等腰梯形是轴对称图形.对称轴是上底（下底）的垂直平分线.
自主小结(含自主练习)：
如图，四边形ABCD是等腰梯形，腰AB=DC，AC、BD是它的对角线，它是轴对称图形吗？对称轴在哪里？你能发现哪些相等的线段和相等的角？
等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点的连线所在的直线是它的对称轴。
试一试：
下列说法中正确的个数是（ ）
（１）一组对边平行的四边形是梯形．
（２）等腰梯形的对角线相等．
（３）等腰梯形的两个内角相等．
（４）等腰梯形有一条对称轴．
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
等腰梯形性质运用练习:
①等腰梯形的一底角为 150°，腰长为10，下底长为50，则上底长为_______。
②链接生活(课后拓展)
花园地上铺着彩色的正方形地砖．除了用正方形的地砖铺之外，还可以用其他形状的地砖铺吗？用等腰梯形的地砖如何铺？画出你的设计．
提示：用两腰和上底相等且内角分别为60°和120°的等腰梯形来设计，如图）
分层作业：
分层布置（A必做、B选做）
A ：1、练习册：习题22.5（1）
2、预习 22.5（2）
3、完成方法三（证明性质1）
B： 1、画等腰梯形中常用的辅助线。
2、完成课后拓展题（铺地砖）
教学反思:
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