沪科版数学八年级下册第19章《四边形》单元试卷及解析

沪科版数学八年级下册第19章《四边形》单元试卷及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是，则原来的正方形铁片的面积是
A.
8cm
B.
64cm
C.
D.
如图，中，对角线AC和BD相交于点O，如果、、，那么m的取值范围是
A.
B.
C.
D.
如图，在矩形ABCD中，，，点P在AB上，于E，于F，则等于
A.
B.
C.
D.
如图，E是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，设有以下论断：
：：，：矩形ABCD；菱形ABCD；下方形ABCD，则下列推论中不正确的是
A.
B.
C.
D.
如图， ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若，则AB的长为
A.
3cm
B.
6cm
C.
9cm
D.
12cm
如图，在 ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点过点O作，交AD于点连接CE，则的周长为
A.
3
B.
5
C.
8
D.
11
如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，，，则AD的长是
A.
B.
C.
5
D.
10
如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，于点E，则AE的长是
A.
B.
C.
D.
如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，与点E，于点F，连接EF，给出的下列结论：；；；
，正确的个数有
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
已知正方形ABCD，以CD为边作等边三角形CDE，则的度数是______
．
如图，在的正方形网格中标出了和则
______
．
如图，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，，则四边形AECF的周长为______
．
意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造正方形，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如上长方形，若按此规律继续作长方形，则序号为的长方形周长是______．
三、解答题（本大题共7小题，共80分）
如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且，，．
请写出图中两对全等的三角形；
求证：四边形BCEF是平行四边形．
如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，求证：．
如图，在菱形ABCD中，，对角线，若过点A作，垂足为E，求AE的长．
已知：如图，在中，，，垂足为点D，AN是外角的平分线，，垂足为点E，
求证：四边形ADCE为矩形；
当满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且．
求证：；
若点G在AD上，且，则成立吗？为什么？
如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
求证：；
若，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
如图，四边形ABCD中，，，且，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去得到四边形。
证明：四边形是矩形；
仔细探索，解决以下问题：填空四边形的面积为________的面积为________；四边形的面积为________用含n的代数式表示；四边形的周长为________。
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．解题过程中要注意根据实际意义进行值的取舍．
可设正方形的边长是xcm，根据“余下的面积是”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是，根据矩形的面积公式即可列出方程求解．
【解答】
解：设正方形的边长是xcm，根据题意得，
解得舍去，，
那么原正方形铁片的面积是
故选D．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，求出OA、OB后得出是解此题的关键．
根据平行四边形的性质求出OA、OB，根据三角形的三边关系定理得到，代入求出即可．
【解答】
解：四边形ABCD是平行四边形，，，
，，
在中，，
，
．
故选A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可．根据已知条件，可得出∽；∽，从而可得出PE，PF的关系式，然后整理即可解答本题．
【解答】
解：设，．
，；
∽，故；
同理可得∽，故
得，
．
故选B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质平行四边形的两组对边分别相等要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以．
【解答】
解：设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为，，则为平行四边形的高，


故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查是矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形根据矩形、菱形、正方形的判定定理对四个选项逐一分析．
【解答】
解：由

得，一组邻边相等的矩形是正方形，故A正确；
B
.由得，四边形ABCD是平行四边形，再由
，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；
C
.由不能判断四边形是正方形，故C错误；
D.由得，四边形是平行四边形，再由，一个角是直角的平行四边形是矩形，故D正确；
故选C．
6.【答案】B
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
点E是BC的中点，，
．
故选B．
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，又由点E是BC的中点，易得OE是的中位线，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意平行四边形的对角线互相平分．
7.【答案】C
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，，
，
，
，
的周长为：．
故选：C．
由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由平行四边形ABCD的，继而可得的周长等于．
此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8.【答案】B
【解析】解：因为在矩形ABCD中，所以，
又因为，所以是等边三角形，所以，
所以，
所以，
所以．
故选B．
本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度．
此题考查的知识点是解直角三角形，解答此题的关键是由矩形的性质和等边三角形的性质首先得出，然后由勾股定理求得AD．
9.【答案】D
【解析】解：四边形ABCD是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
故选：D．
根据菱形的性质得出BO、CO的长，在中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，可得出AE的长度．
此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
10.【答案】C
【解析】解：正确；连接PC，
由正方形的对称性得：，
由矩形的性质得：，
则；
正确；；
错误；；
正确；；
故选：C．
根据正方形的性质与正方形关于对角线对称以及矩形的性质可得所给选项的正误．
综合考查了正方形的性质、矩形的性质；充分利用正方形是轴对称图形可得相关验证．
11.【答案】或
【解析】解：有两种情况：
当E在正方形ABCD内时，如图1
正方形ABCD，
，，
等边，
，，
，
，
；
当E在正方形ABCD外时，如图2
等边三角形CDE，
，
，
．
故答案为：或．
当E在正方形ABCD内时，根据正方形ABCD，得到，，根据等边，得到，，推出，得出，根据三角形的内角和定理求出即可；
当E在正方形ABCD外时，根据等边三角形CDE，推出，求出即可．
本题主要考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：连接AC，BC．
根据勾股定理，，．
，
，．
，，
四边形ADFC是平行四边形，
，
两直线平行，同位角相等，
在中，
直角三角形中的两个锐角互余；
又，
，
，
．
故答案为：．
根据图形，先将角进行转化，再根据勾股定理的逆定理，求得，由等腰三角形的性质，推得．
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理．
13.【答案】22
【解析】解：四边形ABCD是菱形，
，，
，
，，
，
四边形AECF是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形AECF的周长．
故答案为：22．
由菱形的性质得出，，证明四边形AECF是平行四边形，得出，，再由角的互余关系求出，得出，求出CE，即可得出四边形AECF的周长．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行四边形周长的计算；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
14.【答案】110
【解析】解：由图可知，序号为的矩形的宽为1，长为2，
序号为的矩形的宽为2，长为3，，
序号为的矩形的宽为3，长为5，，
序号为的矩形的宽为5，长为8，，
序号为的矩形的宽为8，长为13，，
序号为的矩形的宽为13，长为21，，
序号为的矩形的宽为21，长为34，，
所以，序号为的矩形周长．
故答案为：110．
根据图示规律，依次写出相应序号的矩形的宽与长，便不难发现，下一个矩形的宽是上一个矩形的长，长是上一个矩形的长与宽的和，然后写到序号为的矩形宽与长，再根据矩形的周长公式计算即可得解．
考查了图形的变化类问题，要想得到长方形的周长规律，应先找长方形长、宽的变换规律．分析图形中的长和宽，然后结合图表中长方形的周长即可得出长方形周长的变换规律．
15.【答案】解：≌，≌；
证明：，
，即．
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形BCEF是平行四边形．
【解析】根据SAS可得≌，≌；
由，，，易证得≌DEF，即可得，且，即可判定四边形BCEF是平行四边形；
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．
16.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，
，即，
，
，
≌，
．
【解析】根据正方形的性质及全等三角形的判定得到≌，从而可得到结论．
本题利用了正方形的性质正方形的四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，还利用了全等三角形的判定．
17.【答案】解：四边形ABCD是菱形，
，
，，，
，
，
，
，
，
菱形ABCD的面积是，
，
．
【解析】根据菱形的性质可得，，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式可得答案．
此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．
18.【答案】证明：在中，，，
，
是外角的平分线，
，
，
又，，
，
四边形ADCE为矩形．
当满足时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：，
，
，
，
，
四边形ADCE为矩形，
矩形ADCE是正方形．
当时，四边形ADCE是一个正方形．
【解析】根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知，，所以求证，可以证明四边形ADCE为矩形．
根据正方形的判定，我们可以假设当，由已知可得，，由的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的定义等知识点的综合运用．
19.【答案】证明：在正方形ABCD中，
，
≌．
．
解：成立．
理由是：由得：≌，
，
，即，
又，
．
，
≌．
．
．
【解析】由，四边形ABCD为正方形可证≌，从而证出．
由得，，即又所以可得，故可证得≌，即又因为，所以可证出成立．
本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．
20.【答案】证明：，
，
是AD的中点，AD是BC边上的中线，
，，
在和中
≌，
，
．
四边形ADCF是菱形，
证明：，，
四边形ADCF是平行四边形，
，AD是斜边BC的中线，
，
平行四边形ADCF是菱形．
【解析】根据AAS证≌，推出，即可得出答案；
得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出，根据菱形的判定推出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
21.【答案】证明：点，分别是AB、AD的中点，
是的中位线，
，BD，
同理：，BD，
，BD，
四边形是平行四边形．
，，，
即，
四边形是矩形；
；6；；．
【解析】【分析】
本题利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方求解．
由分别是的中位线，是的中位线知，，BD，故四边形是平行四边形，由，，知，四边形是矩形；
由三角形的中位线的性质知，，，故矩形的面积为12，可以得到故四边形的面积是的面积的一半，为6；由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形的面积为；由相似图形的面积比等于相似比的平方可得到矩形的边长，再求得它的周长．
【解答】
证明见答案；
解：由三角形的中位线的性质知，，，
得：四边形的面积为；
四边形的面积为；
四边形的面积为；
四边形的面积为，
由得矩形的长为4，宽为边长为14，
矩形∽矩形
矩形的面积：矩形的面积矩形的周长：矩形的周长
即：矩形的周长：，
矩形的周长．
故答案为12；6；；．
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