【2020赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练专题
06 图形变换问题
图形变换问题主要包括图形的轴对称、图形的平移及图形的旋转，在涉及图形变化的考题中，解决问题的方法较多，关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据图形变换的特点发现变化的规律很重要，近几年来各地中考试题中，有较多问题需要利用图形变换进行思考和求解．这类问题考查学生的思维灵活性及深刻性，具有很好的选拔与区分功能，成为近年来各地中考试题的热点问题．21教育网
常见类型有：（1）平移变换问题；（2）轴对称变换问题；（3）旋转变换问题。
（1）平移变换问题：分几何图形平移变换和函数图像平移变换。平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置．在图形的变化过程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化． 21·cn·jy·com
（2）轴对称变换问题：分几何图形轴对称变换和函数图像轴对称变换。轴对称变换通常有两种情况：一是题目的背景图形是轴对称图形，二是题目的背景不是轴对称图形时，要善于发现和运用其中的轴对称的性质，如把轴对称和等腰三角形结合起来，找出轴对称特征并探索出规律，达到解决问题的目的．2·1·c·n·j·y
（3）旋转变换问题：旋转是图形的一种重要变换分。几何图形旋转变换和函数图像旋转变换．在实际解题中，若我们能恰当地运用图形的旋转变换，往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果．图形的旋转变换，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐，使这种观察更具眼力．
考向一 几何图形平移变换
例1．（2019年江苏省连云港市）如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．
（1）求证：△OEC为等腰三角形，
（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．
【考点】等腰三角形的判定与性质，矩形的判定，平移的性质
【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，根据平移得出AB∥DE，求出∠B＝∠DEC，再求出∠ACB＝∠DEC即可，
（2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四边形AECD是矩形即可．
【解题过程】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵△ABC平移得到△DEF，
∴AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠DEC，
∴OE＝OC，
即△OEC为等腰三角形，
（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，
理由是：∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，BE＝EC，
∵△ABC平移得到△DEF，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴AD∥EC，AD＝EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴四边形AECD是矩形．
【名师点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
考向二 函数图像平移变换
例2.（2019年广东省广州市）已知抛物线G：有最低点。
（1）求二次函数的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1。经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图像交于点P，结合图像，求点P的纵坐标的取值范围.
【考点】二次函数图象与几何变换,二次函数的最值
【思路点拨】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，-m-3），即x=m+1，y=-m-3，x+y=-2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．
（3）求出抛物线恒过点B（2，-4），函数H图象恒过点A（2，-3），由图象可知两图象交点P应在点A．B之间，即点P纵坐标在A．B纵坐标之间．
【解题过程】（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，
∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.
（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,
∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3,
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3）,
∴x=m+1，y=-m-3,
∴x+y=m+1-m-3=-2.
即x+y=-2，变形得y=-x-2.
∵m＞0，m=x-1.
∴x-1＞0,
∴x＞1,
∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x＞1）.
（3）如图，函数H：y=-x-2（x＞1）图象为射线,
x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4,
∴函数H的图象恒过点B（2，-4）,
∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,
x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3.
∴抛物线G恒过点A（2，-3）,
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA,
∴点P纵坐标的取值范围为-4＜yP＜-3.
【名师点睛】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系，熟练掌握是解题的关键.
考向三 几何图形轴对称变换
例2．（2019年江苏省常州市）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．
（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是 ，
（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．
【考点】平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题）
【思路点拨】（1）根据AD＝C'B，ED＝EB，即可得到AE＝C'E，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'＝∠EC'A＝∠EBD＝∠EDB，进而得出AC'∥BD，
（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB＝∠EBD，进而得出BE＝DE．
【解题过程】（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，
故答案为：AC′∥BD，
（2）EB与ED相等．
由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝DE．
【名师点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
考向四 函数图像轴对称变换
例4．（2019年四川省遂宁市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A．点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的三种形式，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【思路点拨】点C（0，3），反比例函数y＝经过点B，则点B（4，3），由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，故点G（，0），将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可求解．
【解题过程】点C（0，3），反比例函数y＝经过点B，则点B（4，3），
则OC＝3，OA＝4，
∴AC＝5，
设OG＝PG＝x，则GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2，
由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，
解得：x＝，故点G（，0），
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故答案为：y＝x2﹣x+3．
【名师点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形基本性质、反比例函数基本性质与应用，其中用勾股定理求OG的长度，是本题解题的关键．
考向五 几何图形旋转变换
例5.（2019年广西贺州市）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为 ．
【考点】正方形的性质，旋转的性质
【思路点拨】作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM＝4，利用勾股定理计算出AE═2，再根据旋转的性质得到AG＝AE＝2，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着证明FA平分∠GAD得到FN＝FM＝4，然后利用面积法计算出GF，从而计算CG﹣GF就可得到CF的长．
【解题过程】作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM＝4，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，
∴DE＝2，
∴AE＝＝2，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，
∴AG＝AE＝2，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，
而∠ABC＝90°，
∴点G在CB的延长线上，
∵AF平分∠BAE交BC于点F，
∴∠1＝∠2，
∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即FA平分∠GAD，
∴FN＝FM＝4，
∵AB?GF＝FN?AG，
∴GF＝＝2，
∴CF＝CG﹣GF＝4+2﹣2＝6﹣2．
故答案为6﹣2．
【名师点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
考向六 函数图像旋转变换
例6.（2019年黑龙江省齐齐哈尔、黑河市）如图，矩形的顶点、分别在轴，轴上，顶点在第二象限，点的坐标为．将线段绕点逆时针旋转至线段，若反比例函数的图象经过、两点，则值为_______．
【考点】旋转性质，反比例函数的性质
【思路点拨】过点作轴于点，由点的坐标为知，由旋转性质知
、，据此求得，，即，代入解析式解之可得．
【解题过程】过点作轴于点，
点的坐标为，
，
，
由旋转性质知、，
°，
，，
即，
反比例函数的图象经过点，
，
解得：（舍）或，
故答案为：．
【名师点睛】本题主要考查反比例函数的性质，这道题难度比较大，考查的知识点较全面，必须熟练掌握.
选择题
（2019年黑龙江省哈尔滨市）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A．； B．；
C．； D．.
（2019年湖南省邵阳市）一次函数y1＝k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x+b2．下列说法中错误的是（ ）
A．k1＝k2 B．b1＜b2
C．b1＞b2 D．当x＝5时，y1＞y2
（2019年广西贵港市）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为△ABC（图中阴影部分），若∠ACB＝45°，则重叠部分的面积为（ ）
A．2cm2 B．2cm2 C．4cm2 D．4cm2
（2019年河北省）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．
甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去，结果取n＝13．
乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去，结果取n＝14．
丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去，结果取n＝13．
下列正确的是（ ）
A．甲的思路错，他的n值对
B．乙的思路和他的n值都对
C．甲和丙的n值都对
D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对
（2019年湖北省十堰市）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（ ）
A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8
（2019年湖南省张家界市）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（ ）
A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）
、填空题
（2019年四川省成都市）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．
（2019年湖南省常德市）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是 ．
（2019年江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A．B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
（2019年安徽省）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别于函数y=x-a+1和y+x2-2ax的图像相交于P，Q两点.若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_______
（2019年浙江省衢州市）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，?ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y＝（k≠0）图象经过点C，且S△BEF＝1，则k的值为 ．
（2019年广西桂林市）如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为 ．
解答题
（2019年安徽省）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB.
（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD.
（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点.（作出一个菱形即可）
（2019年江苏省苏州市）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
(1)求证：；
(2)若，，求的度数.
（2019年浙江省宁波市）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
（2019年贵州省贵阳市 ）如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数的图象相切于点C．
（1）切点C的坐标是 ；
（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝﹣2x+8的图象向左平移m（m＞0）个单位后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数的图象上时，求k的值．
（2019年贵州省贵阳市 ）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
（2019年广东省广州市）已知抛物线G：有最低点。
（1）求二次函数的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1。经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图像交于点P，结合图像，求点P的纵坐标的取值范围.
【2020赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练专题
06 图形变换问题
图形变换问题主要包括图形的轴对称、图形的平移及图形的旋转，在涉及图形变化的考题中，解决问题的方法较多，关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据图形变换的特点发现变化的规律很重要，近几年来各地中考试题中，有较多问题需要利用图形变换进行思考和求解．这类问题考查学生的思维灵活性及深刻性，具有很好的选拔与区分功能，成为近年来各地中考试题的热点问题．21教育网
常见类型有：（1）平移变换问题；（2）轴对称变换问题；（3）旋转变换问题。
（1）平移变换问题：分几何图形平移变换和函数图像平移变换。平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置．在图形的变化过程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化． 21·cn·jy·com
（2）轴对称变换问题：分几何图形轴对称变换和函数图像轴对称变换。轴对称变换通常有两种情况：一是题目的背景图形是轴对称图形，二是题目的背景不是轴对称图形时，要善于发现和运用其中的轴对称的性质，如把轴对称和等腰三角形结合起来，找出轴对称特征并探索出规律，达到解决问题的目的．2·1·c·n·j·y
（3）旋转变换问题：旋转是图形的一种重要变换分。几何图形旋转变换和函数图像旋转变换．在实际解题中，若我们能恰当地运用图形的旋转变换，往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果．图形的旋转变换，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐，使这种观察更具眼力．
考向一 几何图形平移变换
例1．（2019年江苏省连云港市）如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．
（1）求证：△OEC为等腰三角形，
（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．
【考点】等腰三角形的判定与性质，矩形的判定，平移的性质
【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，根据平移得出AB∥DE，求出∠B＝∠DEC，再求出∠ACB＝∠DEC即可，
（2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四边形AECD是矩形即可．
【解题过程】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵△ABC平移得到△DEF，
∴AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠DEC，
∴OE＝OC，
即△OEC为等腰三角形，
（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，
理由是：∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，BE＝EC，
∵△ABC平移得到△DEF，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴AD∥EC，AD＝EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴四边形AECD是矩形．
【名师点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
考向二 函数图像平移变换
例2.（2019年广东省广州市）已知抛物线G：有最低点。
（1）求二次函数的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1。经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图像交于点P，结合图像，求点P的纵坐标的取值范围.
【考点】二次函数图象与几何变换,二次函数的最值
【思路点拨】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，-m-3），即x=m+1，y=-m-3，x+y=-2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．
（3）求出抛物线恒过点B（2，-4），函数H图象恒过点A（2，-3），由图象可知两图象交点P应在点A．B之间，即点P纵坐标在A．B纵坐标之间．
【解题过程】（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，
∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.
（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,
∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3,
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3）,
∴x=m+1，y=-m-3,
∴x+y=m+1-m-3=-2.
即x+y=-2，变形得y=-x-2.
∵m＞0，m=x-1.
∴x-1＞0,
∴x＞1,
∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x＞1）.
（3）如图，函数H：y=-x-2（x＞1）图象为射线,
x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4,
∴函数H的图象恒过点B（2，-4）,
∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,
x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3.
∴抛物线G恒过点A（2，-3）,
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA,
∴点P纵坐标的取值范围为-4＜yP＜-3.
【名师点睛】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系，熟练掌握是解题的关键.
考向三 几何图形轴对称变换
例2．（2019年江苏省常州市）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．
（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是 ，
（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．
【考点】平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题）
【思路点拨】（1）根据AD＝C'B，ED＝EB，即可得到AE＝C'E，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'＝∠EC'A＝∠EBD＝∠EDB，进而得出AC'∥BD，
（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB＝∠EBD，进而得出BE＝DE．
【解题过程】（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，
故答案为：AC′∥BD，
（2）EB与ED相等．
由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝DE．
【名师点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
考向四 函数图像轴对称变换
例4．（2019年四川省遂宁市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A．点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的三种形式，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【思路点拨】点C（0，3），反比例函数y＝经过点B，则点B（4，3），由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，故点G（，0），将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可求解．
【解题过程】点C（0，3），反比例函数y＝经过点B，则点B（4，3），
则OC＝3，OA＝4，
∴AC＝5，
设OG＝PG＝x，则GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2，
由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，
解得：x＝，故点G（，0），
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故答案为：y＝x2﹣x+3．
【名师点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形基本性质、反比例函数基本性质与应用，其中用勾股定理求OG的长度，是本题解题的关键．
考向五 几何图形旋转变换
例5.（2019年广西贺州市）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为 ．
【考点】正方形的性质，旋转的性质
【思路点拨】作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM＝4，利用勾股定理计算出AE═2，再根据旋转的性质得到AG＝AE＝2，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着证明FA平分∠GAD得到FN＝FM＝4，然后利用面积法计算出GF，从而计算CG﹣GF就可得到CF的长．
【解题过程】作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM＝4，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，
∴DE＝2，
∴AE＝＝2，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，
∴AG＝AE＝2，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，
而∠ABC＝90°，
∴点G在CB的延长线上，
∵AF平分∠BAE交BC于点F，
∴∠1＝∠2，
∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即FA平分∠GAD，
∴FN＝FM＝4，
∵AB?GF＝FN?AG，
∴GF＝＝2，
∴CF＝CG﹣GF＝4+2﹣2＝6﹣2．
故答案为6﹣2．
【名师点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
考向六 函数图像旋转变换
例6.（2019年黑龙江省齐齐哈尔、黑河市）如图，矩形的顶点、分别在轴，轴上，顶点在第二象限，点的坐标为．将线段绕点逆时针旋转至线段，若反比例函数的图象经过、两点，则值为_______．
【考点】旋转性质，反比例函数的性质
【思路点拨】过点作轴于点，由点的坐标为知，由旋转性质知
、，据此求得，，即，代入解析式解之可得．
【解题过程】过点作轴于点，
点的坐标为，
，
，
由旋转性质知、，
°，
，，
即，
反比例函数的图象经过点，
，
解得：（舍）或，
故答案为：．
【名师点睛】本题主要考查反比例函数的性质，这道题难度比较大，考查的知识点较全面，必须熟练掌握.
选择题
（2019年黑龙江省哈尔滨市）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A．； B．；
C．； D．.
【考点】二次函数与坐标变换
【思路点拨】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【解题过程】将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选：B．
【名师点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
（2019年湖南省邵阳市）一次函数y1＝k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x+b2．下列说法中错误的是（ ）
A．k1＝k2 B．b1＜b2
C．b1＞b2 D．当x＝5时，y1＞y2
【考点】一次函数的图象，一次函数的性质，一次函数图象与几何变换
【思路点拨】根据两函数图象平行k相同，以及向下平移减即可判断．
【解题过程】∵将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，
∴直线l1∥直线l2，
∴k1＝k2，
∵直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，
∴b1＞b2，
∴当x＝5时，y1＞y2，
故选：B．
【名师点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减，纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
（2019年广西贵港市）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为△ABC（图中阴影部分），若∠ACB＝45°，则重叠部分的面积为（ ）
A．2cm2 B．2cm2 C．4cm2 D．4cm2
【考点】翻折变换（折叠问题），勾股定理的应用
【思路点拨】过B作BD⊥AC于D，则∠BDC＝90°，依据勾股定理即可得出BC的长，进而得到重叠部分的面积．
【解题过程】如图，过B作BD⊥AC于D，则∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝2cm，
∴Rt△BCD中，BC＝＝2（cm），
∴重叠部分的面积为×2×2＝2（cm），
故选：A．
【名师点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
（2019年河北省）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．
甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去，结果取n＝13．
乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去，结果取n＝14．
丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去，结果取n＝13．
下列正确的是（ ）
A．甲的思路错，他的n值对
B．乙的思路和他的n值都对
C．甲和丙的n值都对
D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对
【考点】矩形的性质，正方形的性质，平移的性质，旋转的性质
【思路点拨】平行四边形的性质矩形都具有，②角：矩形的四个角都是直角，③边：邻边垂直，④对角线：矩形的对角线相等，⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点．
【解题过程】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14，
乙的思路与计算都正确，
丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长，
故选：B．
【名师点睛】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．
（2019年湖北省十堰市）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（ ）
A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理
【思路点拨】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．
【解题过程】过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：
则△BDE≌△FDE，
∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°
易证△ADF∽△GFE
∴，
∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），
∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，
∵D、E在反比例函数y＝的图象上，
∴E（，4）、D（﹣8，）
∴OG＝EC＝，AD＝﹣，
∴BD＝4+，BE＝8+
∴，
∴AF＝，
在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2
即：（﹣）2+22＝（4+）2
解得：k＝﹣12
故选：C．
【名师点睛】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD与BE的比是1：2是解题的关键．
（2019年湖南省张家界市）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（ ）
A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）
【考点】规律型：点的坐标,坐标与图形变化﹣旋转，旋转的性质
【思路点拨】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解题过程】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A（0，1），
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，
发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，
∴点A2019的坐标为（，﹣）
故选：A．
【名师点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
、填空题
（2019年四川省成都市）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．
【考点】等边三角形的判定与性质，菱形的性质，轴对称﹣最短路线问题，平移的性质
【思路点拨】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，推出四边形A′B′CD是矩形，∠B′A′C＝30°，解直角三角形即可得到结论．
【解题过程】∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，
∴A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，
当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，
∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，AB＝CD，AB∥CD，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′CD是矩形，
∠B′A′C＝30°，
∴B′C＝，A′C＝，
∴A'C+B'C的最小值为，
故答案为：．
【名师点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．
（2019年湖南省常德市）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是 ．
【考点】等腰三角形的性质，旋转的性质
【思路点拨】由旋转的性质可得∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°，即可求∠ABD的度数．
【解题过程】∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，
∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'
∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°
∴∠ABD＝22.5°
故答案为：22.5°
【名师点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
（2019年江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A．B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
【考点】一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质
【思路点拨】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣1），求得OA＝，OB＝1，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝1，EF＝OA＝，求得F（，﹣），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
【解题过程】∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A．B，
∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝1，
∴A（，0），B（0，﹣1），
∴OA＝，OB＝1，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO+∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
∴△ABO≌△AFE（AAS），
∴AE＝OB＝1，EF＝OA＝，
∴F（，﹣），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣1，
故答案为：y＝x﹣1．
【名师点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（2019年安徽省）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别于函数y=x-a+1和y+x2-2ax的图像相交于P，Q两点.若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_______
【考点】一次函数、二次函数与不等式的关系
【思路点拨】首先求出y=x-a+1＜0和y=x2-2ax＜0的解集，然后分情况讨论，联立不等式，即可得到a的取值范围.
【解题过程】∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图像相交于P，Q两点，且都在x轴的下方，
∴令y=x-a+1＜0，解得x＜a-1，
令y=x2-2ax＜0，当a＞0时,解得：0＜x＜2a；当a＜0时，解得：2a＜x＜0，
①当a＞0时，若有解，则，解得：a＞1，
②当a＜0时，若有解，则，解得：a＜-1，
综上所述，实数a的取值范围是a＞1或a＜-1.
【名师点睛】本题考查了一次函数、二次函数与不等式的关系，利用数形结合与分类讨论思想是解题关键.
（2019年浙江省衢州市）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，?ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y＝（k≠0）图象经过点C，且S△BEF＝1，则k的值为 ．
【考点】反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，坐标与图形变化﹣对称，翻折变换（折叠问题）．
【思路点拨】连接OC，BD，根据折叠的性质得到OA＝OE，得到OE＝2OB，求得OA＝2OB，设OB＝BE＝x，则OA＝2x，根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝3x，根据相似三角形的性质得到＝＝，求得S△BDF＝3，S△CDF＝9，于是得到结论．
【解题过程】连接OC，BD，
∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，
∴OA＝OE，
∵点B恰好为OE的中点，
∴OE＝2OB，
∴OA＝2OB，
设OB＝BE＝x，则OA＝2x，
∴AB＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3x，
∵CD∥AB，
∴△CDF∽△BEF，
∴＝＝，
∵S△BEF＝1，
∴S△BDF＝3，S△CDF＝9，
∴S△BCD＝12，
∴S△CDO＝S△BDC＝12，
∴k的值＝2S△CDO＝24．
【名师点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（2019年广西桂林市）如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为 ．
【考点】矩形的性质，轨迹，轴对称的性质
【思路点拨】如图，连接BA1，取BC使得中点O，连接OQ，BD．利用三角形的中位线定理证明OQ＝＝定值，推出点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，已解决可解决问题．
【解题过程】如图，连接BA1，取BC使得中点O，连接OQ，BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴tan∠ABD＝＝，
∴∠ABD＝60°，
∵A1Q＝QC，BO＝OC，
∴OQ＝BA1＝AB＝，
∴点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，
∴点Q的运动路径长＝＝π．
故答案为π．
【名师点睛】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
、解答题
（2019年安徽省）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB.
（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD.
（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点.（作出一个菱形即可）
【考点】平移的性质,菱形的性质
【思路点拨】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据菱形的性质作图即可.
【解题过程】（1）如图，线段CD即为所求；
（2）如图，菱形CDEF即为所求（菱形CDEF不唯一）.
【名师点睛】本题考查了平移的性质以及菱形的性质，根据题意结合网格特点画出图形是解题关键.
（2019年江苏省苏州市）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
(1)求证：；
(2)若，，求的度数.
【考点】全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质
【思路点拨】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；
（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC
【解题过程】(1)
(2)
【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键
（2019年浙江省宁波市）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【考点】等边三角形的判定与性质，利用轴对称设计图案，利用旋转设计图案
【思路点拨】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案，
（2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
【解题过程】（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形，
（2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
【名师点睛】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键．
（2019年贵州省贵阳市 ）如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数的图象相切于点C．
（1）切点C的坐标是 ；
（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝﹣2x+8的图象向左平移m（m＞0）个单位后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数的图象上时，求k的值．
【考点】一次函数的性质，反比例函数的性质
【思路点拨】（1）将一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程组，求解即可；
（2）先求出点M坐标，再求出点C和点M平移后的对应点的坐标，列出方程可求m和k的值．
【解题过程】（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象相切于点C
∴﹣2x+8＝
∴x＝2，
∴点C坐标为（2，4）
故答案为：（2，4）；
（2）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，
∴点B（4，0）
∵点M为线段BC的中点，
∴点M（3，2）
∴点C和点M平移后的对应点坐标分别为（2﹣m，4），（3﹣m，2）
∴k＝4（2﹣m）＝2（3﹣m）
∴m＝1.
∴k＝4.
【名师点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，一次函数的性质和反比例函数的性质，由点的坐标在函数图象上列等式可解决问题．
（2019年贵州省贵阳市 ）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
【考点】切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质
【思路点拨】（1）由题意可知，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝∠AOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；
（2）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，由∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD=4．
（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
∴
∴∠AOP＝∠COP，
∴∠AOP＝∠AOC，
又∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠AOP＝∠ABC，
∴PO∥BC；
（2）【解题过程】连接PC，
∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO＝∠COP，
∵∠AOP＝∠COP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴OA＝AP，
∵OA＝OP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，
又∵∠OCD＝90°，
∴∠PCD＝30°，
在Rt△PCD中，PD＝PC，
又∵PC＝OP＝AB，
∴PD＝AB，
∴AB＝4PD＝4．
【名师点睛】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
（2019年广东省广州市）已知抛物线G：有最低点。
（1）求二次函数的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1。经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图像交于点P，结合图像，求点P的纵坐标的取值范围.
【考点】二次函数图象与几何变换,二次函数的最值
【思路点拨】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，-m-3），即x=m+1，y=-m-3，x+y=-2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．
（3）求出抛物线恒过点B（2，-4），函数H图象恒过点A（2，-3），由图象可知两图象交点P应在点A．B之间，即点P纵坐标在A．B纵坐标之间．
【解题过程】（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，
∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.
（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,
∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3,
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3）,
∴x=m+1，y=-m-3,
∴x+y=m+1-m-3=-2.
即x+y=-2，变形得y=-x-2.
∵m＞0，m=x-1.
∴x-1＞0,
∴x＞1,
∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x＞1）.
（3）如图，函数H：y=-x-2（x＞1）图象为射线,
x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4,
∴函数H的图象恒过点B（2，-4）,
∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,
x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3.
∴抛物线G恒过点A（2，-3）,
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA,
∴点P纵坐标的取值范围为-4＜yP＜-3.
【名师点睛】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系，熟练掌握是解题的关键.
