(共24张PPT)
数学北师大版
九年级
.2二次函数的图象与性质
第1课时 描点连线
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2
数形结合,直观感受
画二次函数y=x2的图象
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:
x … …
y=x2
<1列表>
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
3用光滑曲线连结各点线
（连线）
y=x2
2描点
观察图象,回答问题
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流。
(5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流。
(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴（x=0)对称,y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.它是图像的最低点
它的开口向上
当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大.
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x … …
y=-x2
做一做
-3
-2
-1
0
1
2
3
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
描点连线
y=-x2
对比y=x2和y=-x2图象
对比y=x2和y=-x2图象它们是不是轴对称
用描点法在同一直角坐标系中画出下面这几个函数的图像：
x … …
… …
x … …
… …
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
2
8
2
0.5
0
0.5
2
8
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
2
-8
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-8
x
-1
-3
-2
2
1
3
-6
-5
-4
-3
-1
-2
6
5
4
1
10
o
2
3
4
5
6
7
8
9
-4
-5
-6
画出图形
y
y=x2
y=-x2
y=-2x2
函数 图像 开口方向 顶点
坐标 对称轴 函数变化 最值
a>0
a<0
二次函数y=ax2的图像和性质
向上
向下
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
当X=0时
y有最小值y最小=0
当X=0时
y有最大
值y最大=0
当x<0时，y随x的增大而增大；
当x>0时，y随x的增大而减小；
y=ax2
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大；
抛物线
合作交流
x
y
o
抛物线
x
y
o
y=ax2
二次函数y=ax2的性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y= -x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0
当x=0时,最大值为0
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
练习1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,
解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）因为 ,所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随着x的增大而增大；
在 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
≠
x
-1
-3
-2
2
1
3
-6
-5
-4
-3
-1
-2
6
5
4
1
o
2
3
4
5
6
7
-4
-5
-6
y
｜a ｜决定抛物线的开口大小
｜a ｜越大，抛物线的开口越小，图象越靠近y轴
｜a ｜越小，抛物线的开口越大，图象越远离y轴
｜a ｜相等，抛物线的开口大小相同
当a>0时：
当a<0时：
本课小结
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
由二次函数y=x2和y=-x2知：
1.填空:
(1)抛物线y=6x2的顶点坐标是_____;
对称轴是______;在___________ 侧,
y随着x的增大而增大;在_________侧,
y随着x的增大而减小;当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ;抛物线y=6x2在x轴的 方(除顶点外).
（0，0）
y轴
对称轴的左
0
对称轴的右
0
上
(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外), 开口向 对称轴是 ，
当x_____时,y随着x的增大而增大；
当x_____时,y随着x的,增大而减小
当x=0时,函数y的值最 ,最 值是_____,当x 0时,y<0.
下
0
<0
>0
下
y轴
大
大
x
-1
-3
-2
2
1
3
-6
-5
-4
-3
-1
-2
6
5
4
1
o
2
3
4
5
6
7
-4
-5
-6
y
2.根据图象判断a1，a2，a3 的大小
0
a3谢谢
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北师大版数学九年级上 二次函数的图象与性质(1)
教学设计
课题 二次函数的图象与性质(1) 单元 第2章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 (一)知识与能力 1.会用描点法画y=ax函数的图象. 2.结合y=ax图象初步理解抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，及y随x的变化情况. 3.为进一步理解其他形式二次函数打好基础. (二)过程与方法 1.学生尝试去发现二次函数的图象特征. 2.在画图象过程中充分引导学生有目的去观察，体会其性质. 3.让学生去发现、归纳、概括. (三)情感、态度与价值观 培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣.
重点 1.通过列表、描点、连线画函数y=ax图象. 2.通过图象初步理解二次函数性质.
难点 结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 复习：y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2 学生认真完成老师所提出的问题. 通过复习引入新课
新知讲解 数形结合,直观感受画二次函数y=x2的图象 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表: 22.描点3用光滑曲线连结各点线 （连线） 观察图象,回答问题 1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流。 (2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？ (5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流。 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 它的开口向上 这条抛物线关于y轴（x=0)对称,y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.它是图像的最低点 学生认真思考、讨论并交流， 学生认真完成问题. 学生认真完成例题及练习题，小组讨论后，班内交流. 学生认真思考、讨论并操作. 这一环节是本节课的主要内容，教师引导学生一步步完成函数图像，让学生边做边总结，很自然的让学生记住本节课的内容。 这一环节是本节课的主要内容，教师引导学生一步步完成函数图像，让学生边做边总结，很自然的让学生记住本节课的内容。
课堂练习 (1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象． (3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？ 你能根据表格中的数据作出猜想吗？ 对比y=x2和y=-x2图象它们是不是轴对称 合作交流：二次函数y=ax2的图像和性质 学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流. 借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高 1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标. 解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2. 2）因为-4≠-2（-1）2 ,所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上. 3）由-6=-2x2 ,得x2=3, 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是 2.填空:(1)抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0）,对称轴是y轴 ,在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小,当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0 ,抛物线y=2x2在x轴的上方(除顶点外). 抛物线y=-x2在x轴的下方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大 ；在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小,当x=0时,函数y的值最大,最大值是0 ,当x≠0时,y<0. 在师的引导下完成问题. 提高学生对知识的应用能力
课堂总结 由二次函数y=x2和y=-x2知： 1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴. 2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展. 3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大 跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识. 帮助学生加强记忆知识.
作业布置 作业布置：1.完成习题，做在书上，2.在下堂课之前备好坐标纸，作图工具，草稿纸，同步练习册. 学生课下独立完成. 检测课上学习效果.
板书设计 二次函数y=x2和y=-x2知： 1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴. 2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展. 3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大 借助板书，让学生知道本节课的重点。
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