第10章分式单元检测（ A）
本卷满分100分，时间40分钟
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.化简的结果是（ ）
A. m B. C. D.
3.已知关于x的方程有增根，则k=（ ）
A. B. 1 C. D. 除以外的数
4.化简的结果为（ ）
A. B. C. a D. 1
5.关于x分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D.
6.在，，，中，分式共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7.若分式的值为0，则x的取值应满足是（ ）
A. B. C. D.
8.下列四个分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
9.分式与的最简公分母是（ ）
A. ab B. 3ab C. D.
10.把分式中的x，y都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A. 扩大到原来的10倍 B. 不变
C. 缩小到原来 D. 扩大到原来的100倍
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.如果分式的值为0，则x的值应为______．
12.已知，则______．
13.化简：______．
14.函数中，自变量x的取值范围是______．
15.约分：______．
16.分式，的最简公分母是______ ．
17.某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是______ ．
18.，则______．
19.已知，则的值为______．
20.关于x的方程有增根，则增根是______ ，k的值为______ ．
三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）
21.计算：．
22.先化简，再求值：，其中．
四、解答题（本大题共2小题，共20.0分）
23.2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
24.为迎接“五一劳动节”的到来，历下区某志愿者服务团队计划制作360件手工艺品，献给社区中有代表性的劳动者们，由于制作工具上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工，结果提前10天完成任务，求原计划每天制作多少件手工品？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．根据分式有意义的条件即可求出x的范围；
【解答】
解：由代数式有意义可知：，
，
故选D．
2.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】
解：原式
．
故选A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解答】
解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
故选C．
4.【答案】B
【解析】解：原式
故选：B．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
5.【答案】C
【解析】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为正数，得到，且，
解得：且．
故选：C．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，由解为正数求出m的范围即可．
此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
根据分式的定义进行选择即可．
【解答】
解：分式有，两个，
故选A．
7.【答案】A
【解析】解：分式的值为0，
，
解得：．
故选：A．
直接利用分式的值为0，则分子为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握性质是解题关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查最简分式的概念，涉及因式分解，分式的基本性质，本题属于基础题型．分子分母没有公因式即可为最简分式．
【解答】
解：A．，最简分式；
B.原式，故B不是最简分式；
C.原式，故C不是最简分式；
D.原式，故D不是最简分式．
故选A．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了最简公分母，掌握最简公分母的求法是解题的关键．先找系数的最小公倍数3，再找相同字母字母的最高次幂．
【解答】
解：分式与的最简公分母是．
故选C．
10.【答案】B
【解析】解：分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，
得，
故分式的值不变．
故选B．
依题意分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，，
解得：，
故答案为：．
根据分式的值为零的条件可以得到：，，求出x的值．
此题主要考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为这两个条件缺一不可．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了分式的化简求值．根据已知条件，可设，则，然后把它们代入所求式子，即可求出的值．
【解答】
解：，
设时，，
则．
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分式的约分，分式进行约分时，应先把分子、分母中的多项式进行分解因式，正确分解因式是掌握约分的关键．把分式进行化简就是对分式进行约分，首先要对分子、分母进行分解因式，然后约去分子分母的公因式．
【解答】
解：．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可求出自变量x的取值范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了约分的定义及约分的方法约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分注意：分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式；当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面；约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式，将分子与分母的公因式约去首先找出公因式5abc，再根据分式的约分计算即可．
【解答】
解：．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了最简公分母，关键是把各个分式中分母因式分解先把分母分解因式，再根据最简公分母的定义进行填空即可．
【解答】
解：，，
分式，的最简公分母是，
故答案为．
17.【答案】
【解析】解：小李每小时分拣x个物件，则小王每小时分拣个物件．
根据题意得：．
故答案为：．
先求得小王每小时分拣的件数，然后根据小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同列方程即可．
本题主要考查的是分式方程的应用，根据找出题目的相等关系是解题的关键．
18.【答案】7
【解析】【分析】
此题主要考查了分式的混合运算，完全平方公式，代数式求值，运用了整体代入法的有关知识，正确应用完全平方公式是解题关键．
直接利用完全平方公式将已知变形，进而求出答案．
【解答】
解：，
，
，
．
故答案为：7．
19.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了分式的化简求值，利用通分将原式变形为是解题的关键．
原式通分后可得出，代入即可求出结论．
【解答】
解：原式，
又，
原式．
故答案为：3．
20.【答案】；3
【解析】【分析】
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．
【解答】
解：方程两边都乘，得
原方程增根为，
把代入整式方程，得，
故答案为；3．
21.【答案】解：原式
．
【解析】先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
22.【答案】解：原式，
当时，原式．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23.【答案】解：设甲种树苗每棵x元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：甲种树苗每棵40元；
设购买乙中树苗y棵，根据题意得：
，
解得：，
是正整数，
最小取34，
答：至少要购买乙种树苗34棵．
【解析】根据题意列出分式方程求解即可；
根据题意列出不等式求解即可．
本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．
24.【答案】解：设原计划每天制作x件手工品，
可得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：原计划每天制作12件手工品．
【解析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．关键描述语为：“提前10天完成任务”；等量关系为：原计划天数实际生产天数根据题意列方程解答即可．
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第10章分式单元检测（ B）
本卷满分100分，时间60分钟
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.分式中的x，y同时扩大2倍，则分式的值( ）
A. 不变 B. 是原来的2倍 C. 是原来的4倍 D. 是原来的
2.已知，则的值为( ）
A. B. C. D.
3.若分式的值为零，那么x的值为( ）
A. 或 B.
C. D.
4.把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以( ）
A. 2x B. C. D.
5.已知a，b，c满足，，那么的值是( ）
A. 正数 B. 零
C. 负数 D. 正、负不能确定
6.已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是( ）
A. 且 B. C. 且 D. 且
7.若关于x的方程无解，则m的值是( ）
A. B. 2 C. D. 3
8.一件工作甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙两人一起完成这项工作需要的小时数是( ）
A. B. C. D.
9.已知，则分式的值为( ）
A. 1 B. 5 C. D.
10.若，则的值为( ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.已知，则______．
12.若，则的值为______ ．
13.若分式方程无解，则______．
14.若关于x的方程无解，则m的值为______ ．
15.若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围为? _______? ．
16.若分式的值为零，则x的值是______．
17.若，则分式______．
18.已知实数a，b，c满足，则______．
19.如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是______米．
20.已知三个数满足，则的值为____。
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）
21.某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍．
(1）求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？
(2）若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？
22.阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知、b、c互不相等，求的值．
解：设，则，，，
，．
依照上述方法解答下列问题：
已知：，其中，求的值．
23.某校为美化校园，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为万元，乙队为万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
24.观察下列方程及其解的特征：
的解为，；
的解为，；
的解为，；
解答下列问题：
（1）根据解的特征，猜测方程的解为______，并写出解答过程；
（2）直接写出关于x的分式方程的解为______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以一个不为0的数或式，分式的值不变．
根据分式的基本性质得到x，y同时扩大2倍时，分子扩大4倍，分母扩大2倍，则分式的值是原来的2倍．
【解答】
解：分式中的x，y同时扩大2倍，
分子扩大4倍，分母扩大2倍，
分式的值是原来的2倍．
故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分式的化简求值的题目，解题关键在于得到，再整体代入即可得到答案．
【解答】
解：，
，即，
原式．
故选B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．直接利用分式的值为0，则分子为0，分母不能为0，进而得出答案．
【解答】
解：分式的值为零，
，，
解得：．
故选C．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是解分式方程，最简公分母的确定时将分式方程转化为整式方程的第一步，因此要根据所给分母确定最简公分母．首先找最简公分母，再化成整式方程．
【解答】
解：由，另一个分母为2x，
故可得方程最简公分母为．
故选C．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题利用了公式，以及不等式的有关性质，此题较难．
解题的关键是知道，而在公式里有这一部分，利用相等关系，可求出的值，再在不等式左右同除以abc的值，从而求的值．
【解答】
解：，，
，且a、b、c都不为0，
，
，
又、b、c都不为0，
，
，
又，
，
．
的值是负数．
故选C．
6.【答案】A
【解析】【分析】
先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
【解答】
解：方程两边同时乘以得，，
解得．
为正数，
，解得．
，
，即．
的取值范围是且．
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：方程无解，
是方程的增根，
，
．
故选：D．
方程无解，说明方程有增根，只要把增根代入方程然后解出m的值．
本题主要考查方程的增根问题，计算时要小心，是一道基础题．
8.【答案】A
【解析】解：一件工作甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，
甲的工作效率为，乙的工作效率，
甲、乙两人一起完成这项工作需要的小时数是：．
故选：A．
首先表示出甲的工作效率为，再表示出乙的工作效率，再利用工作量两人的工作效率之和即可．
此题主要考查了列代数式，关键是正确理解题意，掌握工作量工作时间工作效率．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是分式的化简求值有关知识，首先对所给的已知条件进行变形，然后再代入进行计算即可解答．
【解答】
解：，
，
，
原式．
故选A．
10.【答案】D
【解析】试题分析：若，得故求解．
，
得．
故选D．
11.【答案】7
【解析】解：已知等式整理得：，
可得，即，
解得：，，
则．
故答案为：7
已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用分式相等的条件求出A与B的值，代入原式计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，以及分式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
先根据题意得出，再由分式的减法法则把原式进行化简，进而可得出结论．
【解答】
解：，
．
故答案为5．
13.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了分式方程无解的条件，理解分式方程的增根产生的原因是关键．首先把方程去分母转化为整式方程，然后把能使方程的分母等于0的x的值代入即可求解．
【解答】
解：方程去分母，得：，
解得：，
把代入，解得：．
故答案是1．
14.【答案】1
【解析】解：原分式方程解得：
因为原分式方程无解，所以方程的解代入分母，
．
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
15.【答案】且?．
【解析】【分析】
此题是分式方程的解，考查了分式方程的解法，及正数的意义，解本题的关键是解分式方程．先去分母，用m表示x，求出m的范围．
【解答】
解：去分母得，，?
，?
分式方程的解为正数，?
且，
解得：且?．
故答案为且?．
16.【答案】
【解析】解：由题意可得且，
解得．
故答案为：．
分式的值为0的条件是：分子为0；分母不为两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
17.【答案】
【解析】【分析】
掌握本题的设法，把多个未知数的问题转化为一个未知数的问题．
可以设，则，，，把这三个式子代入所要求的式子再进行化简就得到式子的值．
【解答】
解：设，则，，，
则分式．
故答案为．
18.【答案】0
【解析】解：设，则有，，．
，
，
故答案为：0．
设，则有，，，然后把它们代入到所求分式，化简后就可解决问题．
本题考查了求分式的值，有一定的技巧性，而解决本题的关键是把看成一个整体，从而把所求分式与条件联系起来．
19.【答案】
【解析】解：根据1米长的电线，称得它的质量为a克，只需根据剩余电线的质量除以a，即可知道剩余电线的长度．故总长度是米．
故答案为：．
这卷电线的总长度截取的1米剩余电线的长度．
注意代数式的正确书写，还要注意后边有单位，故该代数式要带上括号．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
20.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了分式的化简求值，将已知等式及所求式子进行适当的变形是解本题的关键．所求式子分子分母除以xyz变形后，将已知三等式左边变形后代入计算即可求出值．
【解答】
解：，，，
，，，
，
则．
故答案为．
21.【答案】解：设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，为分式方程的解，
．
答：A种品牌套装每套进价为10元，B种品牌套装每套进价为元．
解：设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装套，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
取最小值17．
答：最少购进A品牌工具套装17套．
【解析】设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为元．根据数量总价单价结合用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装套，根据总利润单价利润购进数量结合总利润超过120元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，取其内的最小正整数即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据数量总价单价，列出关于x的分式方程；根据总利润单价利润购进数量，列出关于a的一元一次不等式．
22.【答案】解：设，
则：，
得：，
，
，
原式．
【解析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把代入所求代数式．
本题主要考查分式的基本性质，重点是设“k”法．
23.【答案】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；
设应安排甲队工作y天，根据题意得：
，
解得：，
答：至少应安排甲队工作10天．
【解析】设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；
设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．
此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．
24.【答案】解：，；
方程的解为，．
因为方程可方程变形为，
根据此类方程解的特点，其解为，；
，．
【解析】【分析】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
根据给出方程及解的特点，得到规律；首先把给出方程转化成类似方程，然后写出其解；
把给出的方程化简，利用整体的思想，转化为类似方程的形式并计算它的解．
【解答】
解：见答案；
方程整理得：，
移项，得，
或
解得：，．
故答案为：，．
第2页，共2页
第1页，共1页
