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《18.2.3正方形》导学案
教学目标 1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算． 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
重点难点 重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
教学过程
知识回顾 1.你能分别从边、角、对角线、对称性的角度说一说下列图形的性质吗？ 2.根据判定定理，你能从包含关系的角度，你能画图说明上述四边之间的关系吗？
新知讲解 正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边相等，四个角都是直角，因此，正方形既是_____，又是______. 它既有_____的性质，又有_____性质.正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．然后通过折纸说明上述对称性。 结论：正方形是______图形.它有______条对称轴，分别是对边_____的连线以及______所在的直线. 通过上述操作，你能回答为什么折出来的图形就是正方形呢？我们又该怎么来判定一个图形是正方形呢？它又具有哪些特殊的性质呢？下面我们要一起来看看吧： 思考1、正方形有哪些性质呢？ 你能用几何语言表示出上述性质吗？ 思考2：如何判断一个四边形是正方形呢？ 思考3：如何判断一个四边形是正方形呢？ 通过上述两种判定，你能总结出特殊四边之间的判定关系吗？
例题讲解（ppt11-13页） 例1：如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。
求证：∠CEA＝∠ABG 例2：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 已知：如图.四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD交于点O．求证：△ABO, △BCO, △CDO, △DAO是全等的等腰直角三角形. 例3：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
当堂检测 1.判断对错： 1. )四边相等的四边形是正方形 2．)四角相等的四边形是正方形 3．)对角线垂直的平行四边形是正方形 4．)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 5．)四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形2.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE＝BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM＋PN＝（ ） A．1 B． C． D．1＋3.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P点坐标为 ．4.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合部分的面积是________5.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PM⊥BC于M， PN⊥DC于N. 试说明：AP=MN6.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形. （1）当∠BAC等于_________时，四边形ADFE是矩形； （2）当∠BAC等于_________时，平行四边形ADFE不存在； （3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.
小结反思 通过本节课的学习你收获了什么？
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《18.2.3正方形》导学案
教学目标 1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算． 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
重点难点 重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
教学过程
知识回顾 1.你能分别从边、角、对角线、对称性的角度说一说下列图形的性质吗？（教师展示ppt,让学生从上述角度说一说平行四边形、矩形、菱形分别具有的性质） 2.根据判定定理，你能从包含关系的角度，你能画图说明上述四边之间的关系吗？ （教师展示ppt着重强调、然后展示说明中间的圈了的部分会是什么图形）然后引入课题
新知讲解 正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边相等，四个角都是直角，因此，正方形既是矩形，又是菱形. 它既有矩形的性质，又有菱形性质.正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．然后通过折纸说明上述对称性。 结论：正方形是轴对称图形.它有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线. 通过上述操作，你能回答为什么折出来的图形就是正方形呢？我们又该怎么来判定一个图形是正方形呢？它又具有哪些特殊的性质呢？下面我们要一起来看看吧： 思考1、正方形有哪些性质呢？正方形的对边平行且四边相等. 正方形的四个角都是直角. 正方形的对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角. 轴对称图形 正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质 你能用几何语言表示出上述性质吗？（学生各自书写，可展示部分学生的结果，最后教师在逐一展示ppt6页） 思考2：如何判断一个四边形是正方形呢？（播放视频01、PPT7页） 矩形+一组邻边相等即：先证它是一个矩形，再证它是菱形. 思考3：如何判断一个四边形是正方形呢？（播放视频02、PPT7页） 菱形+有一个角是直角 即：先证它是一个菱形，再证它是矩形.通过上述两种判定，你能总结出特殊四边之间的判定关系吗？（学生自己交流总结，最后教师展示ppt9-10页）
例题讲解（ppt11-13页） 例1：如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。
求证：∠CEA＝∠ABG 证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∴∠EAC＝∠BAG
∴△AEC≌△ABG (SAS) ∴∠CEA＝∠ABG 例2：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 已知：如图.四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD交于点O．求证：△ABO, △BCO, △CDO, △DAO是全等的等腰直角三角形. 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD, AC⊥BD ,AO=BO=CO=DO, ∴△ABO, △BCO, △CDO, △DAO是等腰直角三角形,并且△ABO ≌△BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. 例3：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形． 证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F ∴四边形CEDF有三个直角，它是矩形 又∵CD平分∠ACB ∴ DE=DF ∴四边形CEDF是正方形
当堂检测 1.判断对错： 1. )四边相等的四边形是正方形 2．)四角相等的四边形是正方形 3．)对角线垂直的平行四边形是正方形 4．)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 5．)四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形答案：×、×、×、√、√2.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE＝BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM＋PN＝（ ）C A．1 B． C． D．1＋3.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P点坐标为 ．答案：（0，4）或（0，0）4.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合部分的面积是________答案：15.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PM⊥BC于M， PN⊥DC于N. 试说明：AP=MN连接PC ∵PM⊥BC ， PN⊥DC ∴∠NCM=90°∴四边形PMCN是矩形 ∴PC=MN 又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形 ∴AP=PC ∴AP=MN 6.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形. （1）当∠BAC等于_________时，四边形ADFE是矩形； （2）当∠BAC等于_________时，平行四边形ADFE不存在； （3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.答案：1500、600、解:（3) AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。 AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形。
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(共23张PPT)
18.2.3正方形
人教版 八年级下
知识回顾
四边形
矩形
平行四边形
菱形
说一说
你能分别从边、角、对角线、对称性的角度说一说夏利图形的性质吗？
知识回顾
通过判定，我们知道四边形的分类有这样的关系：
你知道中间重叠部分会是什么特殊的四边形吗？
新知讲解
正方形的四条边相等，四个角都是直角，因此，正方形既是________，又是________. 它既有_______的性质，又有________性质.
矩形
菱形
矩形
菱形
正方形是轴对称图形.它有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
思考1：正方形有哪些性质呢？
正方形的对边平行且四边相等.
正方形的四个角都是直角.
边
角
对角线
正方形的对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.
对称性
轴对称图形
正方形的性质=
新知讲解
新知讲解
对边平行， 四条边都相等
四 个 角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD
轴对称图形
边
角
对角线
对称性
新知讲解
思考2：如何判断一个四边形是正方形呢？
即：先证它是一个矩形，再证它是菱形.
矩形+一组邻边相等
思考3：如何判断一个四边形是正方形呢？
即：先证它是一个菱形，再证它是矩形.
菱形+有一个角是直角
新知讲解
新知讲解
归纳：
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
新知讲解
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
平行四边形
矩形
四边形
菱形
正
方
形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
新知讲解
例1：如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90° 又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
∴∠CEA＝∠ABG
新知讲解
例2：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：如图.四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD交于点O．求证：△ABO, △BCO, △CDO, △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明： ∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD, AC⊥BD ,AO=BO=CO=DO,
∴△ABO, △BCO, △CDO, △DAO是等腰直角三角形,并且△ABO ≌△BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
新知讲解
例3：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分
∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
证明：∵∠C=90°，
DE⊥BC于E，DF⊥AC于F
∴四边形CEDF有三个直角，
它是矩形
又∵CD平分∠ACB
∴ DE=DF
∴四边形CEDF是正方形
当堂检测
1.判断对错：
1. )四边相等的四边形是正方形
2．)四角相等的四边形是正方形
3．)对角线垂直的平行四边形是正方形
4．)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
5．)四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
√
×
×
×
√
当堂检测
2.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE＝BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM＋PN＝（ ）
C
当堂检测
3.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P点坐标为_____________________．
（0，4）或（0，0）
4.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合部分的面积是________
A D
当堂检测
1
B C
O
P
Q
R
当堂检测
5.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PM⊥BC于M， PN⊥DC于N. 试说明：AP=MN
证明:
连接PC
∵PM⊥BC ， PN⊥DC
四边形ABCD是正方形
∴∠NCM=90°
∴四边形PMCN是矩形
∴PC=MN
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
∴AP=PC
∴AP=MN
当堂检测
6.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形
ACE，四边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 时，四边形ADFE是矩形；
（2）当∠BAC等于 时，平行四边形ADFE不存在；
（3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.
解:（3) AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。
AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形。
150°
60°
课堂总结
今天我们学习了哪些知识？
1.正方形有哪些性质？如何判定呢？
2.正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别？
作业布置
教材59页练习1、2题
谢谢
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