北师大版七年级数学下册1.5平方差公式同步练习解析版

1.5平方差公式
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列各式中，能用平方差公式计算的是( )
A. B. C. D.
2.计算的结果正确的是( )
A. B. C. D.
3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
4.若，则的值为( )
A. 4 B. 3 C. 1 D. 0
5.下列算式能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为( )
A. B. C. D.
7.已知，，则
A. 1 B. C. 3 D.
8.已知，则的值为( )
A. 9 B. 6 C. 3 D.
9.设都是自然数，且，则的值为( )
A. 289 B. 269 C. 243 D. 196
10.若三角形的底边长为，高为，则此三角形的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.计算：_____．
12.计算：______．
13.已知，且，则式子的值是______．
14.若a，b互为相反数，则____________．
15.已知?，那么______．
16.一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加，这个正方形的边长是______cm．
17.若，，则的值为?? ? ? ? ? ? ? ?．
18.若，则的值为________．
19.如果有理数a、b同时满足，那么的值为________．
20.式子? 计算结果的个位数字是__________


三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）
21.计算．





22.观察探索：




（1）根据规律填空：______；
（2）试求的值；
（3）试确定的个位数字．





23.已知下列等式；；；，
（1）请仔细观察，写出第4个式子；
（2）请你找出规律，并写出第n个式子；
（3）利用（2）中发现的规律计算；．




24.大家已经知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图的面积表示．
（1）请写出图（2）所表示的代数恒等式：______；
（2）请写出图（3）所表示的代数恒等式：______；
（3）试画出一个几何图形，使它的面积能表示．





答案和解析
1.【答案】B

【解析】解：A、两项都是相同，不能用平方差公式计算．故本选项错误；
B、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项正确；
C、中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项错误；
D、中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项错误；
故选：B．
根据平方差公式对各选项分别进行判断．
本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
2.【答案】C

【解析】解：．
故选C．
利用平方差公式计算即可．
本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即掌握公式是解题的关键．
3.【答案】A

【解析】【分析】
本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：A、，含y的项符号相同，含x的项符号相同，不能用平方差公式计算，故本选项正确；
B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．故本选项错误．
故选：A．


4.【答案】C

【解析】解：，
．
故选：C．
首先利用平方差公式，求得，继而求得答案．
此题考查了平方差公式的应用．注意利用平方差公式将原式变形是关键．
5.【答案】D

【解析】解：能用平方差公式计算的是，
故选D
利用平方差公式的结构特征判断即可．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6.【答案】B

【解析】【分析】
此题主要考查了多项式乘法，正确利用图形面积关系是解题关键．首先求出大正方形面积，进而利用图形总面积不变得出等式求出答案．
【解答】
解：，拼成的长方形一边长为m，
．
故另一边长为：．
故选：B．
7.【答案】D

【解析】解：，，
原式，
故选：D．
原式利用平方差公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
8.【答案】A

【解析】【分析】
此题考查了代数式求值，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．把原式化简，整体代入，两次利用平方差公式，即可得到结果．
【解答】
解：由，
则原式




，
故选A．

9.【答案】B

【解析】【分析】
设，，，，这样a、b可用m的式子表示，c、d可用n的式子表示，减少字母的个数，减低问题的难度．
【解析】
解：由，可知a必为一个4次方的数，b为5次方的数，
由，可知c为2次方的数，d为3次方的数，
设，，，，
，即，
且17是质数，，是自然数，，
，，
，，
．
故选B．
10.【答案】D

【解析】解：三角形的面积为：，
故选：D．
利用三角形的面积等于底与高乘积的一半列示求解即可．
本题考查了平方差公式，解题的关键是根据三角形的面积公式列出算式并利用平方差公式进行正确的计算．
11.【答案】

【解析】【分析】
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键直接应用平方差公式计算即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为．

12.【答案】1

【解析】解：原式，
故答案为：1．
首先利用平方差公式可得，再化简分母进而可得答案．
此题主要考查了平方差公式，关键是掌握．
13.【答案】4

【解析】解：，
，
，
故答案为：4．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
14.【答案】0

【解析】【分析】
本题主要考查了代数式的值，相反数，平方差公式，掌握相反数的定义及平方差公式是解决本题的关键．
由a，b互为相反数，可得，再利用平方差公式将变形为，将代入求值即可．
【解答】
解：，b互为相反数，
，

．
故答案为0．
15.【答案】

【解析】解：根据平方差公式，
，
由已知可得，，
所以，．
故答案为：．
可先将式子变形为，然后，再根据与9的相等关系，来解答出a的值即可．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．公式：．
16.【答案】5

【解析】解：设这个正方形的边长为a，依题意有
，
，
解得．
本题是平方差公式的应用，设这个正方形的边长为a，根据正方形面积公式有，先用平方差公式化简，再求解．
本题考查了平方差公式，掌握正方形面积公式并熟记公式结构是解题的关键．
17.【答案】12

【解析】【分析】本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式的结构即可解答．对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．
【解答】
解：，，




．
故答案是12．

18.【答案】9

【解析】解：




．
故答案是：9．
把前两项分解因式，然后把代入，化简，然后再利用表示，代入求值即可．
本题考查了平方差公式，正确对所求的式子进行变形是关键．
19.【答案】或

【解析】【分析】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．已知等式整理后，利用平方差公式计算即可求出的值．
【解答】
解：已知等式变形得：，
整理得：，即，
则或，
故答案为或．
20.【答案】6

【解析】【分析】
本题考查了平方差公式的运用．解答此题的突破点是将3转化为，然后利用平方差公式进行计算．先将3转化为，然后重复使用平方差公式计算，得出最简结果，再判断结果的个位数．
【解答】
解：原式


；
，，，，个位数按照2，4，8，6依次循环，
而，
原式的个位数为6．
故答案为6．

21.【答案】解：原式
．

【解析】直接利用平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了平方差公式应用，正确应用公式是解题关键．
22.【答案】解：

，
，，，，，
的个位数2，4，8，6循环，，
的个位数为4，的个位数字为3．

【解析】【分析】
本题考查平方差公式、多项式乘多项式、规律问题等知识，解题的关键是学会或转化的思想思考问题，学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
直径利用规律填空即可；
构造规律模型即可解决问题；
探究规律，利用规律即可解决问题；
【解答】
解：根据规律填空：；
故答案为．
见答案；
见答案．
23.【答案】解：依题意，得第4个算式为：；
根据几个等式的规律可知，第n个式子为：；
由的规律可知，


．

【解析】本题考查了平方差公式的运用．关键是由已知等式发现一般规律，根据一般规律对算式进行计算．
由等式左边两数的底数可知，两底数是相邻的两个自然数，右边为两底数的和，由此得出规律；
等式左边减数的底数与序号相同，由此得出第n个式子；
由，，，，将算式逐一变形，再寻找抵消规律．
24.【答案】
?
以边长为，画长方形，如图所示，

由图可知，．

【解析】解：由图的面积关系可知，；
故答案为：；

由图的面积关系可知，；
故答案为：；

以边长为，画长方形，如图所示，

由图可知，．
图中，大长方形边长为，，图形中包括了两个边长为x的正方形，三个边长为x、y的长方形，一个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式；
图中，大长方形边长为，，图形中包括了两个边长为x的正方形，五个边长为x、y的长方形，二个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式；
根据题意，画出边长为，的长方形，再将图形划分，利用面积关系说明等式．
本题考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景．关键是利用形数结合的方法，由大长方形得出图形的长与宽，计算面积，再看图形中包括的小长方形个数及每个小长方形的面积，得出面积结论．

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