北师大版七年级数学下册 1.6完全平方公式同步练习解析版

1.6完全平方公式
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.运用乘法公式计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2.若是一个整式完全平方后的结果，则k值为（ ）
A. 3 B. 6 C. D.
3.已知，，则的值为（ ）
A. 22 B. 16 C. 10 D. 4
4.已知，，则xy的值为（ ）
A. B. C. D. 3
5.如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ）
A. B.
C. D.
6.若，，则ab的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
7.已知是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A. B. 1 C. 或1 D. 7或
8.将边长为acm的正方形的边长增加4cm后，所得新正方形的面积比原正方形的面积大（ ）
A. B. C. D.
9.计算等于?（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，则????
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.已知，则______．
12.如果，，那么代数式的值为______ ．
13.若是完全平方式，则______．
14.已知：，，则的值等于______．
15.一个正方形的边长增加了2cm，它的面积就增加，这个正方形的边长是：??????????．
16.若关于x的二次三项式是完全平方式，则a的值是______．
17.已知，那么的值为______________．
18.代数式的最小值是___________．
19.仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出展开式所缺的系数：



______．
20.如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足，，图中阴影部分的面积为______．




三、解答题（本大题共4小题，共32.0分）
21.化简：．







22.下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：
?????????? 第一步
??????????????????????????第二步
(1)小颖的化简过程从第______步开始出现错误；
(2)对此整式进行化简．







23.阅读材料：把形的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题：
(1)填空：______．
(2)若，求的值．
(3)若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．







24.如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同小长方形，然后按图2方式拼成一个大正方形



(1)你认为图2中大正方形的边长为______；小正方形阴影部分的边长为______用含a、b代数式表示
(2)仔细观察图2，利用图2中存在的面积关系，直接写出下列三个代数式：，，4ab之间的等量关系．
(3)利用(2)中得出的结论解决下面的问题：已知，，求代数式的值．








答案和解析
1.【答案】C

【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．根据完全平方公式，即可解答．
【解答】
解：，
故选C．
2.【答案】C

【解析】解：是完全平方式，
，
解得．
故选：C．
根据首末两项是x和3y的平方，那么中间项为加上或减去x和3y的乘积的2倍，进而得出答案．
本题主要考查了完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解是解题关键．
3.【答案】C

【解析】解：，，



．
故选：C．
根据完全平方公式得出，代入求出即可．
本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
4.【答案】A

【解析】解：；
，
，
故选：A．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查了完全平方公式，熟知完全平方公式：，涉及整体思想，属于基础题型．
5.【答案】B

【解析】解：根据题意得：，
故选：B．
根据图形确定出图1与图2的面积，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清阴影部分面积的求法是解本题的关键．
6.【答案】A

【解析】解：，，
，即，
解得：，
故选：A．
首先根据可得，再代入即可求出ab的值．
此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7.【答案】D

【解析】【分析】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的特征判断即可得到结果．
【解答】
解：是一个完全平方式，
或，
解得：或7，
故选D．
8.【答案】D

【解析】解：新正方形的面积为：
原正方形的面积为：
新正方形的面积比原正方形的面积大：
故选D．
首先求出新的正方形面积然后求出原正方形面积即可求出答案．
本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练运用整式的运算公式，本题属于基础题型．
9.【答案】B

【解析】解：原式

．
故选：B．
原式变形后，利用完全平方公式展开即可得到结果．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10.【答案】D

【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式，解题的关键在于乘积二倍项不含字母．把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式展开整理即可得解．
【解答】
解：，
，
即，
．
故选D．
11.【答案】23

【解析】解：，
方程两边同时除以，
故可得则，
解得：．
故答案为：23．
将方程，两边同时除以x，可得出，再平方可得出的值．
此题考查了完全平方式的知识，将方程变形得出是解答本题的关键，难度一般．
12.【答案】5

【解析】解：，
，
；
故答案为：5．
首先把的两边平方，再代入计算，即可得出结果．
本题考查了完全平方公式、代数式的求值；熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键．
13.【答案】

【解析】解：是完全平方式，

．
完全平方公式：，这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
14.【答案】8

【解析】解：由，，得
，
，
由，得
，
则．
故答案是：8．
利用完全平方公式将已知两个等式展开，然后将它们相加，通过等式变形可以求得的值．
本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：．
15.【答案】10cm

【解析】【分析】
设正方形的边长是xcm，根据面积相应地增加了，即可列方程求解．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【解答】
解：设正方形的边长是xcm，根据题意得：
，
解得：．
故答案为：10cm．
16.【答案】

【解析】解：中间一项为加上或减去x的系数和积的2倍，
故，
解得，
故答案为：．
这里首末两项是x和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x的系数和积的2倍，故，求解即可
本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．关键是注意积的2倍的符号，避免漏解．
17.【答案】4

【解析】【分析】
本题考查了代数式的值、平方差公式和整式的混合运算，根据已知条件，利用平方差公式，将代数式进行适当的化简即可求出代数式的值．
【解答】
解：已知，则






．
18.【答案】2

【解析】【分析】
此题主要考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解决本题的关键是把所给多项式整理为两个完全平方式相加的形式，难点是根据得到的式子判断出所求的最小值．根据配方法将原式写成完全平方公式的形式，再利用完全平方公式最值得出答案．
【解答】
解：
；
，
当，时，原式最小，
多项式的最小值是2．
故答案为2．
19.【答案】6

【解析】解：


．
故答案为：6．
根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可．
本题考查了完全平方公式，能发现展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
20.【答案】32

【解析】解：将两边平方得：，
将代入得：，即，
则两个正方形面积之和为76；
．
故答案为：32．
将两边平方，利用完全平方公式展开，将ab的值代入求出的值，即为两正方形的面积之和；由两个正方形的面积减去两个直角三角形的性质即可求出阴影部分面积．
此题考查了整式的混合运算，以及化简求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21.【答案】解：原式
．

【解析】先根据完全平方公式和平方差公式算乘法，再合并同类项即可．
本题考查了对完全平方公式和平方差公式的应用，注意：完全平方公式有：，平方差公式有．
22.【答案】一

【解析】解：括号前面是负号，去掉括号应变号，故第一步出错，
故答案为一；
解：

．
注意去括号的法则；
根据单项式乘以多项式、完全平方公式以及去括号的法则进行计算即可．
本题考查了单项式乘以多项式以及完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键．
23.【答案】；
，
，
，，
；
为等边三角形．理由如下：
，
，
，，
，
为等边三角形．

【解析】解：，
故答案为：；
见答案；
见答案．
运用完全平方公式将变形为，即可得结论；
首先将，分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出a，b的值即可；
先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题．
此题考查了配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判断．解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题．
24.【答案】解：；
三个代数式之间的等量关系是：；
，
所以．

【解析】【分析】
本题主要考查公式变形能力，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键．
本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；
由即可得出三个代数式之间的等量关系；
将，，代入三个代数式之间的等量关系即可求出的值．
【解答】
解：图2中大正方形的边长为；小正方形阴影部分的边长为；
故答案为；．
见答案；
见答案．



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