人教版数学七年级下册第5．2平行线及其判定学案（含答案）

平行线及其判定
知识集结

知识元
同一平面内直线的位置关系
知识讲解
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
?
例题精讲
同一平面内直线的位置关系
例1.
下列叙述中，正确的是（　　）.
A．在同一平面内，两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、垂直
B．不相交的两条直线叫平行线
C．两条直线的铁轨是平行的
D．我们知道，对顶角是相等的，那么反过来，相等的角就是对顶角
【答案】C
【解析】
题干解析:
解：A、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是相交、平行，故A错误；
B、在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线，故B错误；
C、两条直线的铁轨是平行的，故C正确；
D、我们知道，对顶角是相等的，那么反过来，相等的角不一定是对顶角，故D错误；故选：C．
例2.
下列与垂直相交的说法：
①平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
②平面内，一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直；
③平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直．
其中说法错误的个数有（　　）.
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】D
【解析】
题干解析:
解：由垂直的定义和平行线的判定方法可知：
①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
②在同一平面内一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直；
③在同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直，这三种说法都正确．故选D．
立体图形中平行线的判断
知识讲解
在正方体长方体当中也会考察棱和边的位置关系，准备把握平行线定义是解题关键。
例题精讲
立体图形中平行线的判断
例1.
如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，棱AB与棱HG的位置关系是　 　．

【答案】
平行
【解析】
题干解析:解：∵在长方体ABCD﹣EFGH中，HG∥EF，EF∥AB，∴AB∥HG，故答案为：平行．
例2.
如图所示，在长方体中．
（1）图中和AB平行的线段有哪些？
（2）图中和AB垂直的直线有哪些？

【答案】
（1）AB∥A1B1∥C1D1∥CD，即和AB平行的线段有A1B1、C1D1、CD；（2）AB⊥BB1，AB⊥BC，AB⊥AA1，AB⊥AD，AB⊥C1C，AB⊥B1C1，AB⊥A1D1，AB⊥D1D，即和AB垂直的直线有BB1、BC、AA1、AD、C1C、B1C1、A1D1、D1D．
【解析】
题干解析:（1）根据平行线的判定结合图形得出AB∥A1B1∥C1D1∥CD，即可得出答案；（2）根据垂直定义和平行线性质结合图形推出AB⊥BB1，AB⊥BC，AB⊥AA1，AB⊥AD，AB⊥C1C，AB⊥B1C1，AB⊥A1D1，AB⊥D1D，即可得出答案．
平面图形中平行线判断
知识讲解
在同一个平面的直线，我们可以通过其倾斜程度来判断是否平行。
例题精讲
平面图形中平行线判断
例1.
如图，在同一平面内，有三条直线a、b、c，且a∥b，如果直线a与c交于点O，那么直线c与b的位置关系是　 　．

【答案】
相交
【解析】
题干解析:两直线平行，如果第三条直线与平行线中的一条相交，那么与另一条也相交．
例2.
右图的网格纸中，AB∥　 　，AB⊥　 　．

【答案】
CD
AE
【解析】
题干解析:由图形不难得出AB∥CD，而CD又垂直AE，则可得AB与AE垂直．解：由图可得AB∥CD，而CD⊥AE，∴可得AB⊥AE．
作图-作平行线
知识讲解
平行线的画法：
一放：放三角板，把直角三角板的一条直角边与已知边重合
二靠：靠直尺，把直尺靠在直角三角板另一条直角边上
三移：直尺固定不动，移动三角尺使其边与直线外已知点重合
四画：沿着直角三角板直角边画直线

例题精讲
作图-作平行线
例1.
我们已经掌握“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”这一判定两直线平行的方法．如图，已知直线AB和直线外一点C，请按照上述方法利用三角尺过点C画AB的平行线．（保留作图痕迹，不用写作法）．

【答案】
解：如图所示：EF为所求作的图形．
【解析】
题干解析:利用直角三角板过点C作CD⊥AB，再利用直角三角板过点C作EF⊥CD．
例2.
用三角尺、量角器或直尺画图，不要求写画法．
（1）过点P画OA的平行线，交射线OB于点M；
（2）过点P画OB的垂线，垂足为N；
（3）比较下列线段的长短：PM　 　PN（用“＞”、“=”或“＜”填写）．

【答案】
解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）根据垂线段最短可得PM＞PN．
【解析】
题干解析:（1）利用平行线的画法过P画PM∥AO即可；（2）里用直角三角板，一条直角边与OB重合，沿BO移动三角板使另一条直角边过点P画直线即可；（3）根据垂线段最短可直接得到答案．
平行公理的理解
知识讲解
平行线公理及推论：
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
?（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
?
例题精讲
平行公理的理解
例1.
过一点画已知直线的平行线（　　）.
A．有且只有一条 B．不存在
C．有两条 D．不存在或有且只有一条
【答案】D
【解析】
题干解析:
解：若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线；
若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行．
故选D．
例2.
如图，直线a，点B，点C．
（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？

【答案】
解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：如图，∵b∥a，c∥a，∴c∥b．
【解析】
题干解析:根据平行公理及推论进行解答．
平行公理推论应用
知识讲解
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，可以作为判定直线平行的依据。
例题精讲
平行公理推论应用
例1.
三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（　　）.
A．a⊥b B．a∥b
C．a⊥b或a∥b D．无法确定
【答案】B
【解析】
题干解析:
解：由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b．故选B．
例2.
下列语句：
①不相交的两条直线叫平行线
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
正确的个数是（　　）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
题干解析:
解：①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，正确；
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误；
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，故正确；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
故选：B．
例3.
如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，P是AB的中点，过P点作AD的平行线交DCC于Q点
（1）PQ与BC平行吗？为什么？
（2）测量DQ与CD的长，DQ与CQ是否相等？

【答案】
解：（1）PQ∥BC，理由如下：∵PQ∥AD又∵AD∥BC∴PQ∥BC（在同一平面内，平行于同一直线的两直线平行）；（2）通过测量，可得出DQ=CQ，
【解析】
题干解析:（1）根据平行线的传递性可得出答案；（2）先测量。
同位角相等，两直线平行
知识讲解
定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：同位角相等，两直线平行．
例题精讲
同位角相等，两直线平行
例1.
如图，要得到a∥b，则需条件（　　）.

A．∠1+∠2=180° B．∠1=∠2
C．∠1+∠2=90° D．∠1+∠2=120°
【答案】
【解析】
题干解析:
解：如图：

A、∵∠1+∠2=180°，∠3+∠2=180°，
∴∠1=∠3，
∴a∥b，故本选项正确；
B、根据∠1=∠2不能推出a∥b，故本选项错误；
C、根据∠1+∠2=90°不能推出a∥b，故本选项错误；
D、根据∠1+∠2=120°不能推出a∥b，故本选项错误；故选：A．
例2.
如图，∠1=53°，∠2=127°，∠3=53°，试说明直线AB与CD，BC与DE的位置关系．

【答案】
解：AB∥DC，CB∥DE，理由：∵∠1=53°，∠3=53°，∴∠1=∠3，∴CB∥DE，∵∠2=127°，∴∠4=53°，∴∠4=∠3，∴AB∥CD．
【解析】
题干解析:首先根据∠1=∠3可得CB∥DE，再根据邻补角互补可得∠4的度数，然后再根据∠4=∠3可得AB∥DC．
例3.
如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=15°，∠2=15°，证明AE∥BF.

【答案】
见解析
【解析】
题干解析:∵AC⊥AE，BD⊥BF∴∠EAC=∠FBD=90°∵∠1=15°，∠2=15°∴∠EAB=∠FBG∴AE∥BF
内错角相等，两直线平行
知识讲解
定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行．
?
例题精讲
内错角相等，两直线平行
例1.
如图，下列各组条件中，不能得到c∥d的是（　　）.

A．∠2=∠3 B．∠1+∠2=180°
C．∠2+∠4=180° D．∠2=∠5
【答案】
【解析】
题干解析:
解：A、∵∠2=∠3，
∴c∥d，正确，故A错误；
B、由∠1+∠2=180°能推出a∥b，不能推出c∥d，错误，故B正确；
C、∵∠2+∠4=180°，
∴c∥d，正确，故C错误；
D、∵∠2=∠5，
∴c∥d，正确，故D错误；故选：B．
例2.
如图，点A在直线DE上，若∠BAC=　 　度，则DE∥BC．
【答案】
57°
【解析】
题干解析:解：当∠BAC=57°时DE∥BC，理由是：∵∠BAC=57°，∠DAB=78°，∴∠DAC=57°+78°=135°，∵∠ACM=135°，∴∠DAC=∠ACM，∴DE∥BC，故答案为：57°．
例3.
如图，已知∠A=∠1，∠C=∠2，求证：AB∥CD．

【答案】
证明：∵∠A=∠1，∴AB∥PQ，∵∠C=∠2，∴CD∥PQ，AB∥CD．
【解析】
题干解析:先根据内错角相等，两直线平行，由∠A=∠1，∠C=∠2分别得到PQ∥AB，PQ∥CD，然后根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行得到结论．
同旁内角互补，两直线平行
知识讲解
定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
?
例题精讲
同旁内角互补，两直线平行
例1.
如图，已知∠1=70°，要使AB∥CD，则须具备另一个条件（　　）.

A．∠2=70° B．∠2=100°
C．∠2=110° D．∠3=110°
【答案】C
【解析】
题干解析:
解：∠1=70°，要使AB∥CD，
则只要∠2=180°-70°=110°（同旁内角互补两直线平行）．
故选：C．
例2.
如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，∠2=65°，当∠1=　 　时，能使AB∥CD．

【答案】
115°
【解析】
题干解析:∠1=115°．理由是：∵∠1=115°，∴∠AEF=∠1=115°，∵∠2=65°，∴∠AEF+∠2=115°+65°=180°，∴AB∥CD．故答案为：115°．






例3.
如图，∠2+∠D=180°，∠1=∠B，那么AB∥EF吗？为什么？

【答案】
解：AB∥EF；理由如下：∵∠2+∠D=180°，∴EF∥CD，∵∠1=∠B，∴AB∥CD，∴AB∥EF．
【解析】
题干解析:由同旁内角互补得出EF∥CD，由同位角相等得出AB∥CD，即可得出AB∥EF．
平行公理推论判定平行
知识讲解
定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
例题精讲
平行公理推论判定平行
例1.
下列说法正确的是（　　）.
A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c
B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c
D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c
【答案】
【解析】
题干解析:
根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
两直线同垂直一条直线，则平行
知识讲解
定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
例题精讲
两直线同垂直一条直线，则平行
例1.
如图，下列条件中，能得到DG∥BC的是（　　）.

A．CD⊥AB，EF⊥AB
B．∠1=∠2
C．∠1=∠2，∠4+∠5=180°
D．CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2
【答案】D
【解析】
题干解析:
由平行线的判定得出A、B、C不能得到DG∥BC；由平行线的判定与性质得出D能得到DG∥BC．
解：A不能；∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
再没有条件得出DG∥BC；
∴A不能；
B不能，
∵∠1=∠2不能得到DG∥BC，
∴B不能；
C不能；∵∠4+∠5=180°，
∴DG∥CG，
不能得出DG∥BC，
∴C不能；
D能；∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴DG∥BC，
∴D能；
故选：D．
例2.
如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，且∠EDF=∠BDF．求证：CE是∠ACB的平分线．

【答案】
解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴DF∥CE，∴∠EDF=∠DEC，∠BDF=∠BCE，∵AC∥ED，∴∠DEC=∠ACE，∵∠EDF=∠BDF，∴∠BCE=∠ACE，∴CE是∠ACB的平分线．
【解析】
题干解析:由CE与DF都与AB垂直，得到DF与CE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AC与ED平行得到一对内错角相等，等量代换得到∠EDF=∠ACE，∠BDF=∠BCE，由已知角相等，等量代换即可得证．
平行线综合判定
知识讲解
运用平行线五种判定方法综合运用。
?
例题精讲
平行线综合判定
例1.
如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）.

A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠5=∠B D．∠B+∠BDC=180°
【答案】A
【解析】
题干解析:
解：选项B中，∵∠3=∠4，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项C中，∵∠5=∠B，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项D中，∵∠B+∠BDC=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；
而选项A中，∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为∠1=∠2，所以应是AC∥BD，故A错误．故选A．
例2.
已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．

【答案】
见解析
【解析】
题干解析:证明：∵BE⊥FD，∴∠EGD=90°，∴∠1+∠D=90°，又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，∴∠1=∠2，又已知∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB∥CD．
例3.
如图，已知AC∥DE，CD∥EF，CD平分∠ACB．求证：
（1）∠DCB=∠CDE；
（2）EF平分∠DEB．

【答案】
证明：（1）∵AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB，∴∠DCB=∠CDE；（2）∵DC∥EF，∴∠DCB=∠FEB，∠DEF=∠CDE，又由（1）知∠DCB=∠CDE，∴∠FEB=∠DCE，∴∠DEF=∠FEB，∴EF平分∠BED．
【解析】
题干解析:（1）由平行线的性质可得∠ACD=∠CDE，由角平分线的定义可得∠DCB=∠ACD，可证得结论；（2）由平行可得∠DCE=∠FEB，且∠DEF=∠EDC，结合（1）的结论，可证明EF平分∠DEB．
当堂练习
单选题
练习1.
下列叙述中，正确的是（　　）.
A．在同一平面内，两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、垂直
B．不相交的两条直线叫平行线
C．两条直线的铁轨是平行的
D．我们知道，对顶角是相等的，那么反过来，相等的角就是对顶角
练习2.
已知直线l上有2个点A，B，点P是直线l外一点，PA=1cm，PB=2cm，有下列说法：
①点P到直线l的距离等于1cm；
②根据垂线段最短，可以判定PA⊥l；
③过点P只能画一条直线与l平行．
这些说法正确的有（　　）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
练习3.
在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　）.
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定
练习4.
下列语句：
①不相交的两条直线叫平行线
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
正确的个数是（　　）.
练习5.
如图，下列各组条件中，不能得到c∥d的是（　　）.

A．∠2=∠3 B．∠1+∠2=180°
C．∠2+∠4=180° D．∠2=∠5
练习6.
如图，下列说法中，正确的是（　　）.

A．因为∠2=∠4，所以AD∥BC
B．因为∠BAD+∠D=180°，所以AD∥BC
C．因为∠1=∠3，所以AB∥CD
D．因为∠BAD+∠B=180°，所以AD∥BC
练习7.
如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）.

A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠5=∠B D．∠B+∠BDC=180°
填空题
练习1.
观察如图所示的长方体后填空：
（1）用符号表示下列两棱的位置关系：
A1B1　 　AB，A1A　 　AB，A1D1　 　C1D1，AD　 　BC；
（2）A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们　 　平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在　 　内，两条不相交的直线才能叫做平行线．
练习2.
如图，∵∠ADE=∠DEF（已知），
∴AD∥　 　（　 　），
∵∠EFC+∠C=180°（已知），
∴EF∥　 　（　 　），
∴　 　∥　 　（　 　）

练习3.
如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，棱AB与棱HG的位置关系是　 　．

练习4.
在同一平面内，如果有两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线的位置关系是　 　．
解答题
练习1.
如图所示，已知点A、B、C，按下列要求画图：
（1）连接AB、BC、AC； （2）过点A画BC的平行线MN；
（3）过点A画BC的垂线AD，垂足为D．

练习2.
已知，如图，B、E、C在同一直线上，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，∠A+∠D=90°，求证：AB∥CD。?

练习3.
如图，已知∠AED=60°，∠2=30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？


练习4.
已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．


单选题：CBCBB DA
填空题
练习1：【答案】
∥，⊥，⊥，∥
平行，同一平面

练习2：【答案】
EF，内错角相等，两直线平行；BC，同旁内角互补，两直线平行；AD，BC，平行于同一条直线的两条直线平行.:

练习3：【答案】
平行

练习4：【答案】
互相平行

解答题：
练习1：【答案】
解：
【解析】
题干解析:作线段AB、AC、BC，然后利用量角器和三角板分别作出直线MN和AD即可．

练习2：【答案】
证明：∵∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，∠A+∠D=90°∴∠DEC+∠D=90°，∴DC垂直BC，同理可证AB垂直BC∴AB∥CD。
【解析】
题干解析:等角的余角相等。垂直于同一条直线的两直线平。

练习3：【答案】
解：EF∥BD；
理由如下：
∵∠AED=60°，EF平分∠AED，
∴∠FED=30°，
又∵∠FEB=∠2=30°，
∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行）．
【解析】
题干解析:本题可通过证直线EF与BD的内错角∠1和∠2相等，来得出EF∥BD的结论．

练习4：【答案】
见解析
【解析】
题干解析:证明：∵BE⊥FD，∴∠EGD=90°，∴∠1+∠D=90°，又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，∴∠1=∠2，又已知∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB∥CD．