苏科版八年级下册 数学9．4矩形菱形正方形（2）拓展提升训练含答案

9.4矩形、菱形、正方形（2）
一、选择题
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ）
A.对角线相等 B.对角线相互垂直 C.对角线互相平分且相等 D.对角线垂直且相等
2、四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A.任意四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
3、下列说法错误的是（ ）
A.有一个角是直角的平行四边形是矩形
B.矩形的四个角都是直角，并且对角线相等
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.有两个角是直角的四边形是矩形
4、下列四边形中不是矩形的是（ ）
A.有三个角是直角的四边形是矩形 B.四个角都相等的四边形
C.一组对边平行且对角相等的四边形 D.对角线相等且互相平分的四边形
二、填空题
5、一个矩形的边长分别为15和25，其中一个内角的平分线分长边为两部分，则两部分的长分别为____________。
6、从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1: 3两部分，则矩形
的两条对角线夹角中较大的角为___________。
7、已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,且OE⊥BC于E，0F⊥AB于F,若0E-0F=2,
矩形的周长等于36,则矩形的面积为____________。
8、如图，E、F过矩形ABCD对角线的交点，且分别交AB, CD 于E、F,那么△AE0与△D0F的面积和为____________。

三、解答题
9、如图，MN//PQ, 同旁内角的平分线AB、CB 和AD、CD分别交于点B、D,试说明四边形ABC
D是矩形。


10、如图，四边形ABCD是平行四边形，CA垂直平分BE,试判断四边形EACD的形状，并说明理由。


11、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、
OD的中点，四边形EFGH是矩形吗？试说明理由。


12、在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q同时分别从点B和点D出发按逆时针方向沿矩形
ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别是4cm/s, 1cm/s, 多长时间后，四边形ABPQ是矩形？


13、在△ABC中，AB=AC, AD⊥BC于点D, AE是∠BAC的外角平分线，DE//AB 交AE于E,试说明四边形ADCE是矩形。

14、已知:如图，D是△ABC的边AB上一点，CN//AB, DN交AC于点M, MA=MC。
（1）求证: CD=AN；
（2）若∠AMD=2∠MCD,求证:四边形ADCN是矩形。



15、如图，点P是RT△ABC斜边AB上任意一点(不与A、B重合)，过点P作PE⊥AC,
PF⊥BC,连接EF；
问题(1)试说明四边形PECF的形状；
(2) 如果AC=5，BC=12，试求线段EF的最小值。




16、如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点0作直线MN//BC,设MN交∠BCA的平分线CE于点E,交∠BCA的外角平分线CF于点F,
试问:点O运动到何处时四边形AECF是矩形?并说明理由




参考答案
一、选择题
1、C 2、B 3、D 4、C
二、填空题
5、10,15 6、120° 7、77 8、SABCD
三、解答题
9、证明：∵MN∥PQ， ∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ， ∴∠BAC=∠MAC、∠DCA=∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，∴∠BAC=∠DCA， ∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC， ∴∠BCA=∠ACP、∠DAC=∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC， ∴∠BCA=∠DAC， ∴AD∥CB，
又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD平行四边形，
∵∠BAC=∠MAC，∠ACB=∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP=180°， ∴∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形
10、四边形EACD是矩形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，
∵CA垂直平分BE， ∴AB=AE， ∴AE=CD，
∴四边形EACD是平行四边形，
∵CA⊥AE， ∴四边形EACD是矩形
11、四边形EFGH是矩形
证明：∵E是OA的中点，G是OC的中点， ∴OE=AO，OG=CO．
∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=CO，∴OE=OG．
同理可证OF=OH． ∴四边形EFGH是平行四边形．
∵OE=AO，OG=OC， ∴EG=OE+OG=AC，同理FH=BD．
又∵AC=BD，∴EG=FH， ∴四边形EFGH是矩形．
12、设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得
4x=20﹣2x. 解得x=4.
13、证明：如图所示：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB，
∵AE是∠BAC的外角平分线， ∴∠FAE=∠EAC，
∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC， ∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC， ∴AE∥CD，
又∵DE∥AB， ∴四边形AEDB是平行四边形， ∴AE平行且等于BD，
又∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD，∠ADC=90°， ∴AE平行且等于CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCE是矩形．
14、证明：（1）∵CN∥AB， ∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
∵，
∴△AMD≌△CMN（ASA）， ∴AD=CN，
又∵AD∥CN， ∴四边形ADCN是平行四边形， ∴CD=AN；
（2）∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC ∴MD=MC，
由（1）知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD=MN=MA=MC， ∴AC=DN，
∴四边形ADCN是矩形．
15、
15、解：（1）∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，又∵∠ACB=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
（2）连接PC．由（1）知四边形ECFP是矩形， ∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，
∵BC=5，AC=12， ∴AB=13，
∴AC?BC=AB?PC，
∴PC=
∴线段EF长度的最小值为
16、当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
理由：当点O运动到AC中点处时，AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB，
同理，∠ACF=∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，
∴四边形AECF是矩形．