人教版数学七年级下册5．3．1平行线的性质学案（含答案）

平行线的性质
知识集结
知识元
根据平行线的性质求角的度数
知识讲解
结合图形找出平行线被直线所截得出的同位角、内错角或同旁内角，根据平行线的性质和已知中角的度数即可求出角的度数。
例题精讲
根据平行线的性质求角的度数
例1.
如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线a上．若∠1=40°，则∠2的度数为（　　）.

A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】D
【解析】
题干解析:
解：∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°﹣40°=50°，
∵a∥b，
∴∠2+∠3=180°．
∴∠2=180°﹣50°=130°．
故选：D．
例2.
如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．

【答案】
见解析
【解析】
题干解析:解：∵EF∥GH，∴∠ABD+∠FAC=180°，∴∠ABD=180°﹣72°=108°，∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°．
例3.
如图，AB∥CD，∠CDE=120°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，求∠F的度数．

【答案】
见解析
【解析】
题干解析:解：∵AB∥CD，∠CDE=120°，∴∠BED=∠CDE=120°，∵EF平分∠BED，∴∠BEF= BED=60°，∴∠GEF=120°，∵∠AGF=130°，∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=10°．
根据平行线的性质对角之间关系的推理
知识讲解
根据平行线被直线所截得的同位角相等、内错角相等，同旁内角互补，对角之间关系的进行判断。
例题精讲
根据平行线的性质对角之间关系的推理
例1.
如图，AB∥EF，EF∥CD，EG∥BD，则图中与∠1相等的角（除∠1外）共有（　　）.

A．6个 B．5个 C．4个 D．2个
【答案】B
【解析】
题干解析:
解：如图，与∠1相等的角有：∠2、∠3、∠4、∠5、∠6共5个．故选B．

例2.
按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，EF是折痕，若∠EFB=32°，则
（1）∠C′EF=32°（2）∠AEC=148°（3）∠BGE=64°（4）∠BFD=116°以上结论正确的是（　　）.

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵AC′∥BD′,∠EFB=32°
∴∠C′EF=∠EFB=32?，故①正确；
由折叠可知,∠CEF=∠C′EF=32?，
∴∠AEC=180??∠CEF?∠C′EF=116?，故②错误；
∵AC′∥BD′,∠AEC=116?，
∴∠BGE=180??∠AEC=64?，故③正确；
∵CE∥DF,且∠BGE=∠CGF=64?，
∴∠BFD=180??∠CGF=116?，故④正确；
故选：C.
例3.
已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？

【答案】
解：CD⊥AB；理由如下：∵∠1=∠ACB，∴DE∥BC，∠2=∠DCB，又∵∠2=∠3，∴∠3=∠DCB，故CD∥FH，∵FH⊥AB∴CD⊥AB．
【解析】
题干解析:由∠1=∠ACB，利用同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，根据平行线的性质和等量代换可得∠3=∠DCB，故推出CD∥FH，再结合已知FH⊥AB，易得CD⊥AB．
例4.
如图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．（证明注明理由）

【答案】
证明：∵AC∥DE（已知），∴∠BCA=∠BED（两直线平行，同位角相等），即∠1+∠2=∠4+∠5，∵AC∥DE，∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）；∵DC∥EF（已知），∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）；∴∠1=∠4（等量代换），∴∠2=∠5（等式性质）；∵CD平分∠BCA（已知），∴∠1=∠2（角平分线的定义），∴∠4=∠5（等量代换），∴EF平分∠BED（角平分线的定义）．
【解析】
题干解析:要证明EF平分∠BED，即证∠4=∠5，由平行线的性质，∠4=∠3=∠1，∠5=∠2，只需证明∠1=∠2，而这是已知条件，故问题得证．
平行线间的距离的应用
知识讲解
（1）平行线间的距离处处相等
（2）同底等高的两个三角形的面积相等。
?
例题精讲
平行线间的距离的应用
例1.
在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是2；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为（　　）.
A．3 B．7 C．3或7 D．无法确定
【答案】C
【解析】
题干解析:
此题考查了两条平行线间的距离，注意思维的严密性，应分情况考虑．分两种情况：
①直线b在直线a和c的上方；则直线a到直线b的距离为5﹣2=3；
②直线b在直线a和直线c的下方则直线a到直线b的距离为5+2=7．
综上所述，直线a到直线b的距离为3或7.故选C．
例2.
如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为　 　．

【答案】
8
【解析】
题干解析:根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△ABD的面积可求出高，然后求△ACE的面积即可．解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h，在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，∵AE∥BD，∴h=h′，∵△ABD的面积为16，BD=8，∴h=4．则△ACE的面积=×4×4=8．
根据平行线的性质与判定完善简单的推理
知识讲解
理解平行线的性质与判定的区别与联系，分清性质与判定的题设与结论，是完善推理过程的关键。
例题精讲
根据平行线的性质与判定完善简单的推理
例1.
如图：∠1＝∠2＝∠3，完成说理过程并注明理由：
(1)因为∠1＝∠2所以____∥____ ( )
(2)因为 ∠1＝∠3
所以____∥____ ( )

【答案】
（1）EF BD 同位角相等两直线平行；（2）ABCD内错角相等两直线平行.
【解析】
题干解析:根据平行线的性质和判定及对顶角的性质即可得出结论。
例2.
如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点G在AC边上，且∠AGD=∠ACB，
（1）求证：EF∥CD；
（2）求证：∠1=∠2．

【答案】
证明：（1）∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，∴∠BFE=∠BDC=90°，∴EF∥CD；（2）∵EF∥CD，∴∠2=∠3，∵∠AGD=∠ACB，∴DG∥BC，∴∠1=∠3∴∠1=∠2．
【解析】
题干解析:（1）由垂直的定义可得∠BFE=∠BDC，再根据平行线的判定可证明EF∥CD；（2）由条件可证明DG∥BC，结合（1）的结论，根据平行线的性质可证明∠1=∠2．
根据平行线的性质与判定求角的大小或判断角之间的关系
知识讲解
根据角之间的关系由平行线的判定得出平行线，根据平行线利用平行线的性质得出角之间的关系，从而求出角的大小或角之间的关系。
?
例题精讲
根据平行线的性质与判定求角的大小或判断角之间的关系
例1.
如图，AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有( )个；若∠1=50°，则∠AHG=( )度．

【答案】
130°
【解析】
题干解析:此题主要是能够结合平行线正确找到同位角、内错角以及同旁内角．解：∵AD∥EG∥BC，AC∥EF，∴∠1=∠3，∠3=∠4，∠4=∠5，∠5=∠6，∠5=∠2．故∠1相等的角（不含∠1）有∠3，∠4，∠2，∠5，∠6共5个．∵∠1=50°，∴∠4=50°．则∠AHG=180°-50°=130°．
例2.
如图，∠1+∠2=180°，∠3=108°，求∠4的度数．

【答案】
解：∵∠3+∠6=180°，∠3=108°，∴∠6=180°-108°=72°，∵∠1+∠2=180°，∠2+∠5=180°，∴∠1=∠5，∴a∥b，∴∠4=∠6=72°．
【解析】
题干解析:先由邻补角的定义求出∠6=180°-108°=72°，再由已知，得∠1=∠5，所以a∥b，再根据两直线平行，内错角相等求∠4的度数．
例3.
如图，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，DM∥BC，∠1=∠2．求证：∠AMD=∠AGF．

【答案】
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠2=∠CBD，∵∠2=∠1，∴∠1=∠CBD，∴GF∥BC，∵BC∥DM，∴MD∥GF，∴∠AMD=∠AGF．
【解析】
题干解析:由BD⊥AC，EF⊥AC，得到BD∥EF，根据平行线的性质得到∠2=∠CBD，等量代换得到∠1=∠CBD，根据平行线的判定定理得到GF∥BC，证得MD∥GF，根据平行线的性质即可得到结论．
根据平行线的性质与判定判断两直线平行
知识讲解
根据平行线利用平行线的性质得出角之间的关系，根据角之间的关系由平行线的判定得出平行线，从而求判断两直线平行。
例题精讲
根据平行线的性质与判定判断两直线平行
例1.
如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．

【答案】
见解析
【解析】
题干解析:证明：∵AE平分∠BAD，（已知）∴∠1＝∠2，（角平分线的定义）∵AB∥CD，（已知）∴∠1＝∠CFE（两直线平行，同位角相等）∵∠CFE＝∠E，（已知）∴∠1＝∠CFE＝∠E，（等量代换）∴∠2＝∠E，∴AD∥BC．（内错角相等，两直线平行）
例2.
如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．

【答案】
证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．
【解析】
题干解析:首先利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．
当堂练习
单选题
练习1.
在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是2；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为（　　）.
A．3 B．7 C．3或7 D．无法确定
练习2.
说法错误的是（ ）.
A．所有的命题都是定理 B．定理是真命题
C．公理是真命题 D．“画线段AB＝CD”不是命题
练习3.
两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是（　　）.
A．60° B．120°
C．60°或120° D．无法确定
练习4.
如图，线段AB=CD，AB与CD相交于O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是（　　）.
A．AC+BD＞AB B．AC+BD=AB
C．AC+BD≥AB D．无法确定
练习5.
已知两个角有一条边在同一直线上，另一条边互相平行，则这两个角 （ ）.
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．无法确定

填空题
练习1.
下列句子：
①我们到操场打球去；
②延长线段AB到C；
③对顶角相等；
④若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行；
⑤你去看电影吗？
⑥2010年亚运会不是在广州举行；
⑦画一个角等于已知角；
⑧同位角相等吗？
这里是命题的语句是______________；是真命题的是 。
练习2.
已知，如图，直线 a∥b，则∠1，∠2，∠3，∠4 之间的数量关系为 ．
解答题
练习1.
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论：
(1)两点确定一条直线；
(2)同角的补角相等；
(3)两个锐角互余．
练习2.
已知：如图BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD
证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）
∴∠1= ∠　 　，∠2= ∠　 　（　 　）
∵BE∥CF（　 　）
∴∠1=∠2（　 　）
∴∠ABC= ∠BCD
即∠ABC=∠BCD
∴AB∥CD（　 　）

练习3.
如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点G在AC边上，且∠AGD=∠ACB，
（1）求证：EF∥CD；
（2）求证：∠1=∠2．

练习4.
指出下列命题的题设和结论：
（1）等角的补角相等。
（2）有理数一定是自然数。
练习5.
如图，已知：∠1=∠2，∠D=50°，求∠B的度数．

练习6.
已知：如图，四边形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥AB，AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，AE交BC于E，CF交AD于F，问AE与CF是否平行？为什么？

练习7.
如图，已知直线AB∥CD，求∠A+∠C与∠AEC的大小关系并说明理由．


练习8.
如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系？为什么？

练习9.
如图，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，DM∥BC，∠1=∠2．求证：∠AMD=∠AGF．
















单选题：CACCC
填空题
练习1：【答案】
③④⑥；③④
练习2：【答案】
∠1+∠4=∠2+∠3:

解答题：
练习1【答案】
(1)如果在平面上有两个点，那么过这两个点能确定一条直线．题设：在平面上有两个点；结论：过这两个点能确定一条直线．(2)如果两个角是同角的补角，那么它们相等．题设：两个角是同角的补角；结论：这两个角相等．(3)如果两个角是锐角，那么这两个角互余．题设：两个角是锐角；结论：这两个角互余
练习2：【答案】
解：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠BCD（角平分线的定义）；∵BE∥CF（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），∴∠ABC= ∠BCD，即∠ABC=∠BCD，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【解析】
题干解析:先利用角平分线的定义填空，再根据平行线的性质和判定填空．

练习3：【答案】
证明：（1）∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，∴∠BFE=∠BDC=90°，∴EF∥CD；（2）∵EF∥CD，∴∠2=∠3，∵∠AGD=∠ACB，∴DG∥BC，∴∠1=∠3∴∠1=∠2．
【解析】
题干解析:（1）由垂直的定义可得∠BFE=∠BDC，再根据平行线的判定可证明EF∥CD；（2）由条件可证明DG∥BC，结合（1）的结论，根据平行线的性质可证明∠1=∠2．
练习4：【答案】
（1）题设：如果两个角相等，结论：那么这两个角是对顶角。（2）题设：如果一个数是有理数，结论：那么这个数是自然数。
【解析】
题干解析:先把命题改写为如果……那么…..的形式，如果后跟的是题设，那么后面就是结论。

练习5：【答案】
解：∵∠1=∠2，∠2=∠EHD，∴∠1=∠EHD，∴AB∥CD；∴∠B+∠D=180°，∵∠D=50°，∴∠B=180°-50°=130°．
【解析】
题干解析:此题首先要根据对顶角相等，结合已知条件，得到一组同位角相等，再根据平行线的判定得两条直线平行．然后根据平行线的性质得到同旁内角互补，从而进行求解．

练习6：【答案】
解：平行．理由如下：∵AD⊥DC，BC⊥AB，∴∠D=∠B=90°．∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°．∵AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，∴∠DAE+∠DCF=90°．∵∠D+∠DFC+∠DCF=180°，∴∠DFC+∠DCF=90°．∴∠DAE=∠DFC∴AE∥CF．
【解析】
题干解析:想证明AE与CF平行需构造应用平行线判定方法的条件，∠DEA和∠DFC是直线AE与FC被直线CD所截而成的同位角，根据垂直的定义和角平分线的性质可结合图形证得∠DAE=∠DFC，再根据同位角相等，两直线平行可得AE∥CF．
练习7：【答案】
解：∠A+∠C=∠AEC．理由：过E作EF∥AB，∵EF∥AB，∴∠A=∠AEF（两直线平行内错角相等），又∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠C=∠CEF（两直线平行内错角相等），又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF，∴∠AEC=∠A+∠C．
【解析】
题干解析:过E作EF∥AB，根据平行的传递性，则有EF∥CD，再根据两直线平行内错角相等的性质可求．

练习8：【答案】
平行．证明：∵CD∥AB，∴∠ABC=∠DCB=70°；又∵∠CBF=20°，∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=70°-20°=50°；∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°；∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行）．
【解析】
题干解析:两直线的位置关系有两种：平行和相交，根据图形可以猜想两直线平行，然后根据条件探求平行的判定条件．

练习9：【答案】
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠2=∠CBD，∵∠2=∠1，∴∠1=∠CBD，∴GF∥BC，∵BC∥DM，∴MD∥GF，∴∠AMD=∠AGF．
【解析】
题干解析:由BD⊥AC，EF⊥AC，得到BD∥EF，根据平行线的性质得到∠2=∠CBD，等量代换得到∠1=∠CBD，根据平行线的判定定理得到GF∥BC，证得MD∥GF，根据平行线的性质即可得到结论．