人教版九年级数学上册 21.1-一元二次方程导学案（无答案）

21.1 一元二次方程

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1、能够把简单的实际问题转化为一元二次方程，形成对一元二次方程的感性认识
2、理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程
3、知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，写出一元二次方程中的二次项系数、一次项系数和常数项
名题诠释【例1】下列方程，哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程? （1） 2x+3=5x－2； （2） x2=25； （3） （x－1）（x－2）=x2+6； （4） （x+2）（3x－1）=（x－1）2巧解：（1） 2x+3=5x－2； 移项，合并同类项得，－3x+5=0 （2） x2=25；移项，得[x2－25=0 （3） （x－1）（x－2）=x2+6； 去括号，得x2－3x+2= x2+6 移项，合并同类项得－3x－4=0（4） （x+2）（3x－1）=（x－1）2去括号，得3x2+5x－2= x2－2x+1 移项，合并同类项得2x2+7x－3=0所以，（1）（3）是一元一次方程；（2）（4）是一元二次方程。答案：（1）（3）是一元一次方程；（2）（4）是一元二次方程。方法总结：判断方程的类型，先看表面状态，再化简之后，如果是分式方程就直接排除。最后未知数的最高次项的次数，并保证最高此项的系数不等于0.变式训练1.若 （m－1）x2+x+1=0是一元二次方程，则m 【例2】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 巧解：去括号，得： x2+2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2x2+2x-4=0. 其中二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．方法总结：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．变式训练2.若m是一元二次方程x2+x-5=0的一个解，则m2+m+2019的值为 . 知识整合运用要点1 一元二次方程的根【例3】你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-49=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-5x=0 巧解：（1）移项得x2=49 根据平方根的意义，得：x=±7 即x1=8，x2=-8 （2）移项、整理，得x2=2 根据平方根的意义，得x=±， 即x1=，x2=- （3）因为x2-3x=x（x-3）， 所以由x2-3x=0，得x（x-5）=0 所以x=0或x-5=0 即x1=0，x2=5 方法总结：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．要点2.一元二次方程【例4】若关于x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和． 巧解：依题意：m2-7=2且m+3≠0，解得m=3． 原方程可化为：6x2-2x+5=0， 所以各项系数之和为6+（-2）+5=9． 方法总结：抓住一元二次方程的定义，可求出m的值，相应的二次项系数为6，一次项系数为-2， 课后巩固拓展易错易混预警 忽视二次项系数不为0【例5】下列说法正确的是( ) A.方程8x2-7=0的一次项系数为-7 B.一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0 C.当k≠0时，方程kx2+3x-1=x2为一元二次方程 D.当m取所有实数时，关于x的方程(m2+1)x2-mx-3=0为一元二次方程错解：选B.因为模糊记得一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0 错解分析：没有理解一元二次方程一般形式的本质，一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）,其中的的二次项系数不等于零才能构成一元二次方程，忽视了条件a≠0而致错。 中考无缝对接解读中考本章中一元二次方程是近几年中考热点，即可单独考查，题型多以选择、填空为主，更可与二次函数、圆等结合，题目花样繁多。 考法1：列一元二次方程【例6】（海南）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（　　）A．100（1+x）2=81 B．100（1-x）2=81 C．100（1-x%）2=81 D．100x2=81 巧解：若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1-x）元，第二次降价后价格为100（1-x）（1-x）=100（1-x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81元，由此等量关系列出方程即可．答案：B 方法总结：列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．考法2：一元二次方程的根【例7】（菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）巧解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，∴b2﹣ab+b=0，∵﹣b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，∴a﹣b=1．故选A．答案：A.方法总结：求一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题． 阶梯提升训练基础过关 1．若ax2+x+1=0是一元二次方程，则（ ） A．a ≥0 B． a≠0 C． a＜0 D．a=1 2.有下列方程：①；②；③；④；⑤ax2+bx+c=0（b≠0）；⑥。是一元二次方程的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则-a-b的值是（　　）A．2018 B．2008 C． D．20124．关于x的方程（m－3）x m2－ 8m+17+7x+2m+1=0的方程是一元二次方程，则（ ） A．m=2 B．m=3 C．m=5 D．m=3或m=5能力挑战 5．方程3 x+27=0的解是( ) A x=±3 B x= -3 C 无实数根 D 以上都不对 6．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=（ ）． A．1 B．-1 C．0 D．2 博古通今 如何判断一个方程是否属于一元二次方程？一元二次方程渊源已久。在公元前两千年左右，一元二次方程较早地出现于古巴比伦人的泥板文书中：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数。埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程的论述。那么什么是一元二次方程？一般地说一元二次方程只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程叫做一元二次方程（英文名：quadratic equation of one unknown）。是不是看到一个未知数有一项的次数是二次的方程就是一元二次方程呢？如：（1）（m－2）2x+mx－1=0 （2）（2x－1）（3x+1）=6x2+5（3）x2－－3=0 （4）x2－=3对于几个方程，如果都认为是一元二次方程，那就大错特错了，判别一个方程是不是一元二次方程要注意两点：（1）经过整理化简后，符合ax2+bx+c=0（a≠0 ）的形式。方程（1）从表面上看含有x2的项，但是二次项的系数是m－2，由于不能判断是否为零，所以这个方程不能判定为一元二次方程，有可能是一个一元一次方程。这里要注意的是：二次项的系数a的表现形式多种多样，可以是一个字母，也可以是一个代数式等，但一定注意“不等于0”。方程（2）经过化简后成为不含未知数的二次项，当然不是一元二次方程了。所以，当你见到的方程无论多么复杂，首先要化简，然后再按照一元二次方程的特征进行判断，这样来可以做出最为正确的辨识。（2）一元二次方程首先必须是一个整式方程，显然方程（3）与方程（4）不符合这个条件。熟练判别一元二次方程对于学习一元二次方程及研究一元二次方程的其它问题尤为重要。 知识聚焦：知识点一：一元二次方程的概念1. 等号两边都是整式，只含有一未知数，未知数的最高次项的次数是2的方程叫一元二次方程。 2.一元二次方程的特征： （1）都只含一个未知数x； （2）它们的最高次数都是2次的； （3）都有等号，是方程； （4）二次项系数不能为0. 知识点二：一元二次方程的一般形式1. 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．区分一元一次方程与一元二次方程的不同： 一元一次方程 一元二次方程 定义 只含一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程 只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程 一般形式 ax+b =0（a≠0 ） ax2+bx+c=0（a≠0 ） 2.理解一元二次方程的概念应从以下四个方面入手： （1）一元：只含一个未知数，“元”的含义是未知数。 （2）二次：未知数的最高次数是2，注意a≠0。 （3）方程：方程必须是整式方程。 （4）二次项系数（一定不是0）、一次项系数和常数项都是包括符号的。将一个一元二次方程化成一般形式，一般要经过去分母、去括号、移项、合并同类项、按未知数的降幂排列等步骤。一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项只是针对一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）而言的。3. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 4.由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．变式训练3.要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？ 设长为xcm，则宽为（x-5）cm 列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0 请根据所列方程回答以下问题： （1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由． （2）完成下表： x 10 11 12 13 14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？ 变式训练4.若关于x的方程（k2-4）x2+x+5=0是一元二次方程，求k的取值范围． 正解：选D.因为m2≥0,所以m2+1＞0，所以当m取所有实数时，关于x的方程(m2+1)x2-mx-3=0为一元二次方程. 变形训练5.（昆明）某果园2011年水果产量为100吨，年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）A. B. C. D. 变形训练6.（襄阳）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是　　． 思维拓展7.已知关于的方程．为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。 8.根据下列问题，列出关于的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？（2）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长. 8.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值． 9.求证：关于x的方程（m2－8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．




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