(共24张PPT)
17.3 一次函数
第17章 函数及其图象
1.一次函数
学习目标
1.掌握一次函数、正比例函数的概念.（重点）
2.能根据条件求出一次函数的关系式．（难点）
导入新课
情景引入
如果设蛤蟆的数量为x，y分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数解析式吗？
y=x
y=2x
y=4x
y=x
讲授新课
一次函数与正比例函数
一
在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子?
(2)你能写出y与x之间的关系吗？
y=3+0.5x
情景一：某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所
挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm.
(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
情景二：某辆汽车油箱中原有油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.
(1) 完成下表：
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
油箱剩余油量y/L
60
54
48
42
36
30
(2) 你能写出y与x的关系吗?
y=60－0.12x
上面的两个函数关系式:
(1)y=3+0.5x
(2) y=60－0.12x
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
当b=0时，y=kx，称y是x的正比例函数.
大家讨论一下,这两个函数关系式有什么关系?
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx;
(6)y＝8x2＋x(1－8x)
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
练一练
方法总结
1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
典例精析
例1：写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得y=πx2,
y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
解：这个水池1h增加5m3水，x h增加5x m3水，
因而 y=15+5x,
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
例2：已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.
(1)若它是一次函数，求m的值；
(2)若它是正比例函数，求m的值．
解：(1) 因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，
所以 m2－24＝1且m－5≠0，
所以 m＝±5且m≠5，
所以 m＝－5.
所以，当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1
是一次函数．
(2)若它是正比例函数，求 m 的值．
解：(2)因为 y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是正比例函数，
所以 m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.
所以 m＝±5且m≠5且m＝－1，
则这样的m不存在，
所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为
正比例函数．
【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．
变式训练
已知函数y=(m-1)x+1-m2
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?
解：由题意可得
m-1≠0，解得m≠1.
即m≠1时，这个函数是一次函数.
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
解：由题意可得
m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.
即m=-1时，这个函数是正比例函数.
例3：我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的关系式.
解: y=0.03×(x-3500) (3500(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
解:当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.
解:设此人本月工资是x元，则
19.2=0.03×(x-3500),
x=4140.
答:此人本月工资是4140元.
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
当堂练习
1.判断:
(1)y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数. （ ）
(2)y=80x+100 ，y是x的一次函数. （ ）
√
√
2.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当m 时，y是x的一次函数；当m 时，y时x的正比例函数.
≠2
=-2
3.已知函数y=(m-1)x｜m︱+1是一次函数，求m值；
4.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值；
解：根据题意，得∣m∣=1,
解得m=±1，
但m-1≠0,即m≠1,
所以m=-1.
解：根据题意，得m2-9=0,
解得m=±3，
但m-3≠0,即m≠3,
所以m=-3.
5. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本.
(1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么?
解:(1)y1 =x.
(2)y2=0.4x+12.
(3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时,会员卡租书方式合算.
6．为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5 t的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5 t的部分，按每吨2.6元收费.设某用户月用水量x t，自来水公司应收的水费为y元.
（1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关系式.
（2）该户今年5月份的用水量为8 t，自来水公司应收水费多少元？
解:（1）当x≤5时，y＝2x；
当x>5时，y＝10＋（x－5）×2.6＝2.6x－3;
（2）因为x＝8>5 所以y＝2.6×8－3=17.8（元）.
如图，△ABC是边长为x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
解: (1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线，所以，BD=x/2.在Rt△ABD中，由勾股定理，得
即
所以h是x的一次函数，且
能力提升
（2）当h= 时，求x的值.
（3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？
解:
（2）当h= 时，有 .
解得x=2.
（3）因为
即 所以，S不是x的一次函数.
一次函数
一次函数的概念
课堂小结
正比例函数的概念
函数关系式的确定
(共27张PPT)
17.3 一次函数
第17章 函数及其图象
2.一次函数的图象
第1课时 一次函数图象的画法及其平移
学习目标
1.掌握一次函数的图象的画法及特征（重点）；
2.能够正确进行一次函数图象的平移（难点）.
1.在下列函数中，
2.函数有哪些表示方法?
图象法、列表法、解析法
一次函数有 ，正比例函数有 .
(2),(4)
(2)
三种方法可以相互转化
它们之间有什么关系?
3.你能将解析法转化成图象法吗?
一次函数的图象是什么形状?
知识回顾
导入新课
讲授新课
一次函数的图象的画法
一
在前面课时的学习中，我们学会了正比例函数图象的画法，分为三个步骤．
①列表
②描点
③连线
那么你能用同样的方法画出一次函数的图象吗？
-3
-2
-1
5
4
3
2
1
o
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
y
1
y=－2x＋1
描点、
连线
一次函数的图象
是什么？
-1
列表
x –2 –1 0 1 2
y=－2x+1 5 3 1 –1 –3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
例1：画出一次函数y=－2x＋1的图象
一次函数
总结归纳
一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b.
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线,因此画一次函数图象时,只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了.一般过
(0,b)和(1,k+b)或( ,0)
(0, b)
( , 0)
O
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-2x-1；（2） y=0.5x+1
x 0 1
y=-2x-1
y=0.5x+1
-1
-3
1
y=-2x-1
做一做
1.5
y=0.5x+1
也可以先画直线 y=-2x与
y=0.5x，再分别平移它们，
也能得到直线y=-2x-1与 y=0.5x+1.
问题1 在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象:
(1) (2)
(3) (4)
结论验证
1
-1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
0
观察:这些函数的图象有什么特点?
x
y
一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的图象是一条直线. 通常也称为直线y=kx+b. 特别地，正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点的一条直线.
.
.
.
.
x
y
2
O
.
.
.
活动：请大家用描点法在同一坐标系内画出一次函数y=x+2,y=x-2的图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y=x+2 … …
y=x-2 … …
0
-3
1
-4
2
-2
3
-1
4
0
.
.
.
y=x+2
y=x-2
思考：观察它们的图象有什么特点？
一次函数图象的平移
二
y=x
y=x+2
y=x-2
y
2
O
x
2
●
●
观察三个函数图象的平移情况：
探究归纳
把一次函数y=x+2,y=x-2的图象与y=x比较，发现：
1. 这三个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度
______．
2. 函数y=x的图象经过原点，函数y=x+2的图象与y轴交于点 ，即它可以看作由直线y=x向 平移
个单位长度得到．函数y=x-2的图象与y轴交于点 ，即它可以看作由直线y=x向____ 平移____个单位长度得到．
直线
相同
（0，2）
上
2
（0，-2）
下
2
比较三个函数的解析式， 相同,
它们的图象的位置关系是 .
自变量系数k
平行
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，b），可以由正比例函数y=kx的图象平移 个单位长度得到（当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移）.
下
上
思考：与x轴的交点坐标是什么？
要点归纳
(1)将直线y＝2x向上平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为( )
A．y＝2x－1 B．y＝2x－2
C．y＝2x＋1 D．y＝2x＋2
(2)将正比例函数y＝－6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数表达式可能是__________
(写出一个即可)．
练一练
D
y＝－6x+3
问题1 在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象:
与 ，并说说两函数图象有什么
共同点与不同点？
深入探究
1
-1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
0
共同点：两个一次函数互相平行，倾斜程度一致
y
x
不同点：两个一次函数与y轴的交点不一样
问题2 在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象:
与 ，并说说两函数图象有什么共同点与不同点？
1
-1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
0
y
x
共同点：两个一次函数都经过点（0，2)；
不同点：两函数的倾斜程度不一样
观察函数的关系式及其图象，填写下表.
y=3x
y=3x+2
关系式 图象
y=3x
y=3x+2 相同点：_______
不同点：
_______ 相同点：__________________
不同点:
y=3x+2 相同点：_______
不同点：
_______ 相同点：__________________
不同点：
k相同
b不同
倾斜度一样（平行）
与y轴的交点不同
b相同
k不同
都与y轴相交于点(0，2)
倾斜度不一样（不平行）
y=3x
y=3x+2
根据以上的分析，可以得出：如果k1= k2 ，那么这两条直线会________.如果b1 = b2 ，那么这两条直线会与
y轴________________.
平行
相交于同一个点
特例：如果b=0，那么（正比例）
函数y=kx的图象一定经过点
（__，__），即______.
0
0
原点
例1 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
⑴y=2x与y=2x+3
⑵y=2x+1与
x
y=2x
0 1
0 2
x
y=2x+3
0 -1
3 1
x
y=2x+1
0 1
1 3
x
0 2
1 2
y=2x
y=2x+3
y=2x+1
典例精析
例2 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们有什么关系：
⑴ y= － 2x
⑵ y= －2x－4
x
y=－2x
x
y= － 2x － 4
0
0
1
－ 2
0
－ 4
－ 2
0
y=－2x
y =－2x－ 4
y=－2x
y= － 2x － 4
观察直线 y=－2x与y= － 2x － 4，可以知道，它们______________，并且第二条直线可以看作由第一条直线向____平移____个单位得到.
互相平行
下
4
1. 在直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2中，如果k1=k2，那么这两条直线________，并且其中一条直线可以看作是由另一条直线_______得到的，如果b1 = b2 ，那么，这两条直线会与y轴相交于_________.特别的，如果b=0，那么，函数的图象一定经过点（___，___）.
平行
平移
同一点
0
0
总结归纳
2. 直线y=kx+b向上平移n个单位，得到直线 y=kx+b+n；
直线y=kx+b向下平移n个单位，得到直线 y=kx+b－n；
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们有什么关系：
（1）y=－2x－4;
(2)y=－2x.
y=－2x;
y=－2x－4
两函数图象平行
当堂练习
2.直线y=3x-2可由直线y=3x向 平移 个单位得到.
3.直线y=x+2可由直线y=x-1向 平移 个单位得到.
下
2
上
3
4.下列函数草图是否正确，如果错误，应如何画？为什么？
y=1.5x
y
x
0
y=-2x+3
y
x
0
y=kx+b﹙k＞0，b＜0﹚
y
x
0
y=－2x+3
x
y
0
正确为：
x
y
0
正确为：
y=kx+b﹙k＞0，b＜0﹚
正确为：
y=1.5x
x
y
0
一次函数
课堂小结
一次函数的图象的画法
一次函数的平移
(共19张PPT)
17.3 一次函数
第17章 函数
2.一次函数的图象
第2课时 一次函数与坐标轴的交点及实际问题中一次函数的图象
学习目标
1.会求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，初步感悟函数与方程的关系；（重点）
2.能正确画出具有实际意义的一次函数图象.（难点）
1.一次函数y=kx+b的图象是什么图形？
2.几个点可以确定一条直线？
两点确定一条直线
y=kx+b的图象是一条直线
确定两个点
3.画一次函数图象时，只取几个点就可以了？
思考：你取的是哪几个点？和同学比较一下，怎样取比较简单.
复习引入
导入新课
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4
问题1 作出一次函数 y=－2x+5的图象
列表：
x … 0 2.5 …
y=-2x+5 … …
0
5
描点、连线:
A
B
y=-2x+5
y
x
取坐标轴上的点或是坐标是整数的点比较简单.
讲授新课
一次函数与坐标轴的交点
一
一次函数 y = k x + b(k≠0)
(1) 当 x = 0 时, y =0 · k + b = b,
所以一次函数 y = k x + b 经过 ( 0 , b ) 点.
(2) 当 y = 0 时, k x + b = 0, x =
所以一次函数 y = k x + b 经过( , 0)点.
一次函数 y = k x + b (k≠0)是经过 ( 0 , b )
和( , 0)的一条直线.
合作探究
因为正比例函数是一次函数y=kx+b，当b=0时的特殊情况
所以正比例函数y=kx是经过（0,0）和（1,k）的一条直线，即正比例函数过原点.
例1 求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线.
解：直线与x轴的交点为
（ ，0），与y轴的
交点为（0，-3）.
过两点画出直线.
典例精析
-3
O
-2
2
3
1
2
3
-1
-1
-2
x
1
y
y=-2x-3
例2 如图，直线y＝2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
(1)求A，B两点的坐标；
解：(1)令y＝0，得x＝
∴A点坐标为（ ，0）；
令x＝0，得y＝3，
∴B点坐标为(0，3)．
例2 如图，直线y＝2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
(2)过点B作直线BP与x轴相交于点P，
且使OP＝2OA，求△ABP的面积．
(2)设P点坐标为(x，0)，依题意，得x＝±3.
∴P点坐标为P1(3，0)或P2(－3，0)．
∴S△ABP1＝ × ×3＝ ，
S△ABP2＝ × ×3＝ .
∴△ABP的面积为 或 .
直线y=kx+b
（k≠0）与
坐标轴的交点
注意：|b|，| |是直线y＝kx＋b(k≠0)与坐标轴的两交点和原点构成的直角三角形的两直角边的长．
与x轴的交点坐标为（ ，0）
与y轴的交点坐标为（0，b）
方程kx+b=0的解是x=
归纳总结
问题2 2017年暑假小波同学带10元钱去文具店买笔芯，已知每根定价1元8角，写出买笔芯剩余的钱y(元)与买笔芯的数量x(根)之间的函数关系式，并画出函数的图象．
实际问题中的一次函数图象
二
解：根据题意得函数关系式为y＝10－1.8x，x的范围是0≤x≤ 中的整数，故函数的图象为一条线段上间断的点.
例3 汽车距北京的路程s（千米）与汽车在高速公路上行驶的时间t（时）之间的函数关系式是
s=570-95t，试画出这个函数的图象.
分析：在实际问题中，我们可以在表示时间的t轴和表示路程的s轴上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐标系.
典例精析
O
190
285
1
2
3
t(时)
95
4
5
6
7
380
475
570
s（千米）
当s=0时，t的值为6，又t≥0，
所以自变量t的取值范围为 0≤t≤6.
函数的图象是一条线段.
例4.今有一根弹簧，不悬挂重物时的长度为12cm，悬挂的重物每增加1kg(重物不超过8kg)，弹簧的长度就增加0.5cm.写出弹簧的长度y(cm)和悬挂物的质量x(kg)之间的函数关系式，指出自变量的取值范围，并画出这个函数的图象.
解:由题意，可得函数关系式为
自变量 x 的取值范围为0≤x≤8.函数图象如图：
y
O
x
12
16
x
例5.试说明无论m为何值，函数 y = (m+1) x + 2m﹣6的图象都过某一定点.
解：由y = (m+1) x + 2m﹣6，得
y -x+6= (x+2)m.
令y -x+6=0 ，x+2=0.
解得 x=-2 ，y=-8.
所以，无论m为何值，函数 y = (m+1) x + 2m﹣6的图象都过点(-2，-8).
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象：
当x≤a或x≥a时，函数y＝kx＋b的图象是射线；
当a≤x≤c(a当x取几个整数时，函数y＝kx＋b的图象是一条直线上的几个点．
一次函数的图象可能是一条直线，也可能是一条线段，还可能是一条射线，一条折线或离散的点，这全部取决于自变量的____________，因此在解题时应具体问题具体分析．
取值范围
归纳总结
1.请画出函数y=x-1与函数y=-2x-1的图象.
解：
y=-2x-1
x 0 1
y=x-1 -1 0
y
x
o
1
2
-1
-2
-1
-2
1
2
y=x-1
x 0 - —
y=-2x-1 -1 0
1
2
当堂练习
2.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知，当x________时，选用个体车较合算．
＞1500
一次函数
课堂小结
与坐标轴的交点
实际问题中的一次函数
与x轴的交点是（ ，0),与y轴的交点是（0，b)
自变量的取值范围决定函数图象
(共22张PPT)
17.3 一次函数
第17章 函数及其图象
3.一次函数的性质
学习目标
1.掌握一次函数的性质．（重点）
2.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题．（难点）
导入新课
复习引入
1.一次函数图象有什么特点？
2.作出一次函数图象需要描出几个点？
只需要描出2个点.
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，直线上所有点的坐标都满足表达式y=kx+b.
一般选直线与两坐标轴的两交点，即(0，b)和( ,0).
一次函数的性质
一
画一画1：在同一坐标系中作出下列函数的图象.
（1）
（2）
（3）
-3
O
-2
2
3
1
2
3
-1
-1
-2
x
y
1
函数值随x值的变化而怎样变化？
讲授新课
画一画2： 在同一坐标系中作出下列函数的图象.
（1）
（2）
（3）
-3
o
-2
2
3
1
2
3
-1
-1
-2
x
y
1
思考：函数值随x值的变化而怎样变化？
在一次函数y=kx+b中，
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
由此得到一次函数性质：
归纳总结
例1 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象
上的两点，下列判断中，正确的是( )
A.y1＞y2 C.当x1＜x2时，y1＜y2
B. y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＞y2
D
解析:根据一次函数的性质: 当k＜0时，y随x的增大而减小，所以D为正确答案．
提示：反过来也成立：当k＜0时，y越大，x就越小．
典例精析
例2 画出直线
和 的图象，
并分析图象的特征.
-3
O
-2
2
3
1
2
3
-1
-1
-2
x
1
y
当k＞0时，y随x的增大而增大，
这时函数的图象从左到右上升；
当k＜0时，y随x的增大而_____，这时函数的图象从左到右_____．
-3
O
-2
2
3
1
2
3
-1
-1
-2
x
y
1
4
y减少
x增大
减小
下降
例3 画出直线 和 的图象，并分析图象的特征.
思考：k,b的值跟图象
有什么关系？
k 0，b 0
>
>
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
>
>
>
<
<
<
<
<
=
=
思考：根据一次函数的图象判断k，b的正负，并说出直线经过的象限：
归纳总结
一次函数y=kx＋b中，k，b的正负对函数图象及性质有什么影响？
当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大.
当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小.
① b>0时，直线经过 第一、二、四象限；
② b<0时，直线经过第二、三、四象限.
① b>0时，直线经过第一、二、三象限；
② b<0时，直线经过第一、三、四象限.
两个一次函数y1＝ax＋b与y2＝bx＋a，它们在同一坐标系中的图象可能是( )
练一练
C
例4 已知关于x的一次函数y=(2k-1)x+(2k+1).
(1)当k满足什么条件时，函数y的值随x的值的增大而增大？
(2)当k满足什么条件时，y=(2k-1)x+(2k+1)的图象经过原点？
当2k-1＞0时，y的值随x的值增大而增大.
解2k-1＞0，得k＞0.5.
当2k+1=0，即k=-0.5时，
函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图象经过原点.
(3)当k满足什么条件时，函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图象与y轴的交点在x轴的下方？
(4)当k满足什么条件时，函数y的值随x的值的增大而减小且函数图象与y轴的交点在x轴的上方？
当2k+1＜0，函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图象与y轴的交点在x轴的下方.解2k+1＜0，得k＜-0.5.
当2k-1＜0时，y的值随x的值的增大而减小.解得k ＜0.5.
当2k+1＞ 0，函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图象与y轴的交点在x轴的上方.解得k＞ -0.5.
所以此时k的取值范围为-0.5＜k ＜0.5.
例5 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：
（1）函数值y 随x的增大而增大；
（2）函数图象与y 轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限；
解：(1)由题意得1-2m>0，解得
(2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即
(3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得
一次函数的性质的应用
二
例6 某面食加工部每周用10000元流动资金采购面粉及其他物品，其中购买面粉的质量在1500kg-2000kg之间，面粉的单价为3.6元/千克，用剩余款额y元购买其他物品.设购买面粉的质量为x kg.
(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
解: (1)由题意，可知购买面粉的资金为3.6x元，总资金为10000元，即3.6x+y=10000，所以该函数关系式为:
y=-3.6x+10000，其中x的取值范围是1500≤x≤2000.
(2)求出购买其他物品的款额 y 的取值范围.
解：因为y=-3.6x+10000，k=-3.6<0，所以y的值随x的值的增大而减小.
因为1500≤x≤2000，
所以y的值最大为 -3.6×1500+10000=4600；
最小为 -3.6×2000+10000=2800.
故y的取值范围为2800≤y≤4600.
当堂练习
1.下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是
（ ）
A.y=-2x B.y=-2x+1 C.y=x-2 D.y=-x-2
C
2. 一次函数y=(m2+1)x-2的大致图象可能为（ ）
C
A B C D
4.已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5，当m是什么数时，函数值y随x的增大而增大？
解：由题意得：2m-1>0，解得m＞
∴当 时，函数值y随x的增大而增大.
3.点A(-1，y1)，B(3，y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，则y1-y2 0(填“>”或“<”).
>
5.已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数的图象经过二、三、四象限，求m的取值范围.
解： 由题意得: ，解得
∴ m的取值范围为
1-2m＜0
m-1＜0
6.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m的图象与 y轴的交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 .
解: 由题意得 ，
解得
又∵m为整数,
∴m＝2.
课堂小结
一次函数函数的性质
当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
(共25张PPT)
17.3 一次函数
第17章 一次函数
4.求一次函数的表达式
1.理解和掌握用待定系数法求一次函数的解析式，了解待定系数法的思维方式与特点;（重点）
2. 明确两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数的基本事实;
3.通过对一次函数图象和性质的研究，体会数形结合思想在解决问题中的作用，并能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题．（难点）
学习目标
导入新课
前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？
思考：反过来，已知一个一次函数图象经过的两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
两点法——两点确定一条直线
问题引入
引例：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t(s)的关系如右图所示：
(1)请写出v与t的关系式.
(2)下滑3 s时物体的速度是多少？
v (m/s)
t(s)
O
解：（1）v=2.5t;
（2）v=2.5×3=7.5 (m/s).
5
2
讲授新课
确定正比例函数的表达式
一
典例精析
例1 求正比例函数 的表达式．
解：由正比例函数的定义知
m2－15＝1且m－4≠0，
∴m＝－4，
∴y＝－8x.
方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.
想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？
确定一次函数的表达式呢？
一个
两个
如图，已知一次函数的图象经过P（0，-1），
Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的解析式呢？
合作探究
确定一次函数的表达式
二
一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b为常数，k≠0），要求出一次函数的解析式，关键是要确定k和b的值（即待定系数）.
函数解析式
y=kx+b
满足条件的两点
(x1,y1),(x2,y2)
一次函数的图象
直线l
选取
解出
画出
选取
因为P（0，-1） 和Q（1，1）都在该函数图象上，
因此它们的坐标应满足y=kx+b ， 将这两点坐标代入该式中，得到一个关于k，b的二元一次方程组：
k·0 + b = -1，
k + b = 1.
｛
｛
解这个方程组，得
k=2，
b=-1.
所以，这个一次函数的解析式为 y = 2x- 1.
像这样，通过先设定函数解析式（确定函数模型），再根据条件确定解析式中的未知系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法.
知识要点
例2 温度计是利用水银或酒精热胀冷缩的工作原理制作的，温度计中水银柱的高度y是温度x的一次函数. 某种型号的实验用水银温度计能测量-20℃至100℃的温度，已知10℃ 时水银柱高10厘米，50℃时水银柱高18厘米，求这个函数的表达式.
解：设所求的函数表达式为y=kx+b(k≠0),根据题意得
10k+b=10 k=0.2
50k+b=18 b=8
所以，所求的函数表达式是：y=0.2x+8
解得
例3 如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5;当x=5时，y=2.你能画出它的图象，并写出函数表达式吗？
解：因为y是x的一次函数，设其表达式为y=kx+b.
由题意得 解得
4k+b=5,
5k+b=2,
所以，函数表达式为 y=-3x+17,
图象如图所示.
k=-3,
b=17,
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.
2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组.
3.解这个二元一次方程组得k，b.
4.进而求出一次函数的表达式.
总结归纳
1.已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2）,
则k=______.
2.已知函数y=2x+b的图象经过点（a，7）和（-2，a），
则这个函数的表达式为____________.
3
y=2x+5
练一练
例4：正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．
解：设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.
∵点A(4，3)是它们的交点，
∴代入上述表达式中，
得3＝4k1，3＝4k2＋b.
∴k1＝ ，
即正比例函数的表达式为y＝ x.
∵OA＝ ＝5，且OA＝2OB，
∴OB＝ .
∵点B在y轴的负半轴上，
∴B点的坐标为(0，－ )．
又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，
∴－ ＝b，
代入3＝4k2＋b中，得k2＝ .
∴一次函数的表达式为y2＝ x－ .
做一做
某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h） 之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）一箱油可供拖拉机工作
几小时？
y = -5x + 40.
8 h
根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．
归纳总结
当堂练习
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则下列结论正确的是 ( )
A．k=2 B．k=3 C．b=2 D．b=3
D
y
x
O
2
3
2. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:
(1)b=______,k=______;
(2)当x=30时，y=______;
(3)当y=30时，x=______.
2
-18
-42
l
3.已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．
解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，
∴－5＝2k＋b，5＝b，
解得b＝5，k＝－5.
∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.
解：设直线l为y=kx+b,
∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2.
又∵直线过点（0，2），
∴b=2,
∴直线l的表达式为y=-2x+2.
4.已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的表达式.
5.在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.
解：设y=kx+b(k≠0)
由题意得：14.5=b, 16=3k+b,
解得：b=14.5 ; k=0.5.
所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5.
当x=4时，y＝0.5×4＋14.5=16.5（厘米）.
故当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度为16.5厘米.
6. 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的表达式.
解：设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)
∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），
∴b=2
∵一次函数的图象与x轴的交点是( ，0)，则 解得k=1或-1.
故此一次函数的表达式为y=x+2或y=-x+2.
课堂小结
用待定系数法求一次函数的解析式
2. 根据已知条件列出关于k、b的方程组；
1. 设所求的一次函数表达式为y=kx+b；
3. 解方程，求出k、b;
4. 把求出的k，b代回表达式即可.
