华东师大版八年级数学下册17章 函数及其图象 小结与复习课件(共40张PPT)

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小结与复习
第17章 函数及其图象
要点梳理
1. 常量与变量
叫变量，
叫常量.
2.函数定义：
取值发生变化的量
取值固定不变的量
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
一、函数
3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
列表法
解析法
图象法.
5.函数的三种表示方法：
4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线
一次函数 一般地，如果y＝ k x＋b (k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.
正比例函数 特别地，当b＝____时，一次函数y＝k x＋b变为y＝ _____(k为常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数.
0
kx
二、一次函数
1.一次函数与正比例函数的概念
2.分段函数
当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数.
函数 字母系数取值
（ k>0 ） 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx+b
(k≠0) b>0 y随x增大而
增大
b=0
b<0
第一、三象限
第一、二、三象限
第一、三、四象限
3.一次函数的图象与性质
函数 字母系数取值
（ k<0 ） 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx+b
(k≠0) b>0 y随x增大而
减小
b＝0
b<0
第一、二、
四象限
第二、四象限
第二、三、
四象限
求一次函数解析式的一般步骤：
（1）先设出函数解析式；
（2）根据条件列关于待定系数的方程（组）；
（3）解方程（组）求出解析式中未知的系数；
（4）把求出的系数代入设的解析式，从而具体写出这个解析式.这种求解析式的方法叫待定系数法.
4.用待定系数法求一次函数的解析式
　求ax+b=0(a，b是
　常数，a≠0)的解．

x为何值时，函数
y= ax+b的值为0？
从“数”的角度看
求ax+b=0(a, b是
　 常数，a≠0)的解．
　求直线y= ax+b与
x 轴交点的横坐标．
从“形”的角度看
(1)一次函数与一元一次方程
5.一次函数与方程
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
(2)一次函数与二元一次方程
方程的解 对应直线点的坐标.
1. 反比例函数的概念
定义：形如________ (k为常数，k≠0) 的函数称为反
比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例
系数．
三种表示方法： 或 xy＝k 或y＝kx－1 (k≠0)．
防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
三、反比例函数
2. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的
图象是 ，它既是轴对称图形又是中心
对称图形.
反比例函数的两条对称轴为直线 和 ；
对称中心是： .

双曲线
原点
y = x
y=－x
(2) 反比例函数的性质
图象 所在象限 性质
(k≠0) k＞0 第一、三象限(x，y同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
k＜0 第二、四象限(x，y异号)
在每个象限内，y 随 x 的增大而增大




x
y
o




x
y
o
(3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义
k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有
两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线
上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐
标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.
规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，
一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积
为常数 ．
3. 反比例函数的应用
?利用待定系数法确定反比例函数：
① 根据两变量之间的反比例关系，设 ；
② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对
对应值，求出 k 的值；
③ 写出解析式.
考点讲练

考点一 函数的有关概念及图象
例1 王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家时间x（分）与离家距离y（米）之间的关系是（ ）
A
B
C
D
D
O
O
O
O


针对训练
1.下列变量间的关系不是函数关系的是（ ）
A.长方形的宽一定，其长与面积
B.正方形的周长与面积
C.等腰三角形的底边长与面积
D.圆的周长与半径
C
2.函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A.x＞3 B.x＜3 C.x≤3 D.x≥-3
B
3.星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（千米）和所用的时间x（分）之间的函数关系图象．下列说法错误的是（ ）
A．小强从家到公共汽车站步行了2千米
B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C．公交车的平均速度是34千米/时
D．小强乘公交车用了30分钟
C
x(分)
y(千米)

考点二 一次函数的图象与性质
例2 已知函数y=（2m+1）x+m﹣3；
(1)若该函数是正比例函数，求m的值；
(2)若函数的图象平行于直线y=3x﹣3，求m的值；
(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(4)若这个函数图象过点（1，4），求这个函数的解析式.
【分析】(1)由函数是正比例函数得m-3=0且2m+1≠0；(2)由两直线平行得2m+1=3；(3)一次函数中y随着x的增大而减小，即2m+1＜0；(4)代入该点坐标即可求解.
解：(1)∵函数是正比例函数，∴m﹣3=0，且2m+1≠0，
解得m=3；
(2)∵函数的图象平行于直线y=3x﹣3，∴2m+1=3，
解得m=1；
(3)∵y随着x的增大而减小，∴2m+1＜0，解得m＜ ???．
(4)∵该函数图象过点（1,4），代入得2m+1+m-3=4,
解得m=2，∴该函数的解析式为y=5x-1.
一次函数y=kx+b中b=0时，该函数为正比例函数；两条直线平行，其函数解析式中的自变量系数k相等；当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小.

方法总结


针对训练
4.一次函数y=-5x+2的图象不经过第______象限.
5.点（-1，y1），（2，y2）是直线y=2x+1上两点，则y1____y2.
三
＜
6.填空题：
有下列函数：①　　　　 , ②　　　,③ , ④ . 其中函数图象过原点的是_____；函数y
随x的增大而增大的是_____；函数y随x的增大而减小
的是_____；图象在第一、二、三象限的是______.
②
③
④
①③

x
y
2
=

考点三 一次函数与一次方程
例3 如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的方程x+b=kx+4的解是（ ）




y
x
O


y1=x+b
y2=kx+4
P
A．x=﹣2 B．x=0
C．x=1 D．x=-1
【分析】观察图象，两图象交点为
P(1，3),当x=1时，y1=y2，
据此解题即可.
1
3
C


针对训练
7.方程x+2=0的解就是函数y=x+2的图象与（ ）
A.x轴交点的横坐标 B.y轴交点的横坐标
C.y轴交点的纵坐标 D.以上都不对
8.两个一次函数y=-x+5和y=-2x+8的图象的交点坐标是 _________.
A
(3，2)
(1)问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
(2)若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元，搭配一个 B 种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
例4 为美化深圳市景，园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配 A、B 两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆，乙种花卉 40 盆，搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆，乙种花卉 90 盆．

考点四 一次函数的应用
解：设搭配 A 种造型 x 个，则 B 种造型为(50－x)个，

依题意，得

∴31≤x≤33.
∵x 是整数，x 可取 31,32,33，
∴可设计三种搭配方案：
①A 种园艺造型 31 个，B 种园艺造型 19 个；
②A 种园艺造型 32 个，B 种园艺造型 18 个；
③A 种园艺造型 33 个，B 种园艺造型 17 个．
方案①需成本：31×800＋19×960＝43040(元)；
方案②需成本：32×800＋18×960＝42880(元)；

方案③需成本：33×800＋17×960＝42720(元)．

（2）方法一：

方法二：成本为

y＝800x＋960(50－x)＝－160x＋48000(31≤x≤33)．

根据一次函数的性质，y 随 x 的增大而减小，

故当 x＝33 时，y 取得最小值为
33×800＋17×960＝42720(元)．
即最低成本是 42720 元．
用一次函数解决实际问题，先理解清楚题意，把文字语言转化为数学语言，列出相应的不等式（方程），若是方案选择问题，则要求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系，结合实际需求，选择最佳方案.

方法总结
9.李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是多少升？


针对训练

解：设一次函数的解析式为y＝kx＋35，
将(160,25)代入，得160k＋35＝25，
解得k＝ ，
所以一次函数的解析式为y＝ x＋35.
再将x＝240代入 y＝ x＋35，
得y＝ ×240＋35＝20，
即到达乙地时油箱剩余油量是20升．
10.小星以2米/秒的速度起跑后，先匀速跑5秒，然后突然把速度提高4米/秒，又匀速跑5秒.试写出这段时间里他的跑步路程s（单位：米）随跑步时间x（单位：秒）变化的函数关系式，并画出函数图象.
解:依题意得
s={
2x
(0≤x≤5)
6x-20
(510
0
s(米)
5
0
x(秒)







①
40
10
s(米)
10
5
x(秒)







②


x(秒）
s(米)
O
·
·
·
·
5
10
10
40




·
·
·


s=2x (0≤x≤5)
s=6x-20 (5例5 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比
例函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是
( )
A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3
C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出y1，y2，
y3的值，再比较出其大小即可．
方法②：根据反比例函数的图象和性质比较．

考点五 反比例函数的图象和性质
D　
11. 已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反比例函数 (k<0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .
y1 ＞0＞y2


针对训练
例6 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
(1) 求当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式；



解：因为当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 成
正比例关系．
所以设 y ＝kx，由于点 (2，4)
在该线段上，
所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.

O


y/毫克
x/小时
2
4
(2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式；
解：当 x > 2时，y 与 x 成反比例关系，
所以设
解得 k ＝8.
由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上，
所以
即

O


y/毫克
x/小时
2
4
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有
效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？

解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，
解得x≥1，∴1≤x≤2；
当 x>2 时，含药量不低于 2 毫克，
即 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4.
所以服药一次，治疗疾病的有
效时间是 1＋2＝3 (小时)．

O


y/毫克
x/小时
2
4
12.如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到
28℃时停止加热，停止加热
后，材料温度逐渐下降，这
时温度y与时间 x 成反比例
函数关系，已知第 12 分钟
时，材料温度是14℃．


针对训练

O


y(℃)
x(min)
12
4
14
28
(1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函
数关系式（写出x的取值范围）；


O


y(℃)
x(min)
12
4
14
28
答案：
y =
4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6)，

(x＞6).
(2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的
这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么
对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?
解：当y =12时，y =4x+4，解得 x=2．
由 ，解得x =14.
所以对该材料进行特殊
处理所用的时间为
14－2=12 (分钟)．

O


y(℃)
x(min)
12
4
14
28
课堂小结
实际问题
函数
建立函
数模型
定义
自变量取值范围
表示法
一次函数
y=kx+b(k≠0)

应用
图象：一条直线
性质：
k＞0，y 随x 的增大而增大
k＜0，y 随x 的增大而减小
数形结合

一次函数与一次方程之间的关系















课堂小结
反比例函数
定义
图象
性质
x，y 的取值范围
增减性
对称性
k 的几何意义
应用
在实际生活中的应用
在物理学科中的应用