5.2.2 平行线的判定
第1课时 平行线的判定方法
课题
第1课时 平行线的判定方法
授课人
教
学
目
标
知识技能
通过观察、思考、探索等活动掌握平行线的三种判定方法.
数学思考
通过“转化”数学思想方法的运用,让学生认识事物之间是普遍联系、相互转化的辩证唯物主义思想.
问题解决
运用三种判定方法解决数学问题及实际问题.
情感态度
通过学生体验、猜想并证明,让学生体会数学充满着探索和创造,培养学生团结协作、勇于创新的精神.
教学
重点
两条直线平行的三种判定方法.
教学
难点
两条直线平行的三种判定方法.
授课
类型
新授课
课时
教具
三线相交模型
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
活动
一:
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
(多媒体展示)
图5-2-25
如图5-2-25所示,装修工人正在向墙上钉木条,如果木条b与墙壁的边缘垂直,那么木条a与墙壁的边缘所夹的角为多少度时,才能使木条a与木条b平行
教师提问:要确定两直线平行能不能依据平行线的定义
学生通过思考发现无法准确判断,因为我们无法确定两直线在无限延长的过程中是否永远不相交.
引出新课——平行线的判定
从检查两直线是否平行的争论开始引入课题,激发学生的探究欲望.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
【探究】
平行线的判定方法
1.老师演示如何画平行线,学生讨论总结平行线的画法.
思考:(1)这样的画法可以看作是怎样的图形变换
(2)画图过程中,什么角始终保持相等
(3)直线a,b的位置关系如何
(4)请将其最初和最终的特殊位置抽象成几何图形.
(5)由上面的操作过程,你能发现判定两直线平行的方法吗
图5-2-26
图5-2-27
总结平行线的画法:(1)“落”(三角尺的一边落在已知直线上);(2)“靠”(用直尺紧靠三角尺的另一边);(3)“推”(沿直尺的边推动三角尺,直到落在已知直线上的三角尺的一边经过已知点为止);(4)“画”(沿三角尺过已知点的边画直线).
活动
二:
实践
探究
交流
新知
在推动三角尺上下移动时,同位角的大小始终没发生变化.于是,我们可以得到如下关于平行线的又一个基本事实:
两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:同位角相等,两直线平行.
用此结论解决下列问题:
图5-2-28
如图5-2-28,∠1=∠2,直线AB,CD平行吗 说明你的理由.
∵∠1=∠2(已知),∠3=∠2(对顶角相等),
∴∠3=∠1,
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
教师需强调:用数学语言表达推理过程中的注意事项及理由.
思考:能否利用内错角或同旁内角判断两条直线平行呢 (学生小组讨论,师生合作完成利用内错角相等,判定两条直线平行的说明方法)
图5-2-29
2.如图5-2-29,∠3=∠2,直线a,b平行吗 说明你的理由.
∵∠3=∠2,∠3=∠1(对顶角相等),
∴∠1=∠2,
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
结论:内错角相等,两直线平行.
请你利用同旁内角来判定两条直线平行,试试看(学生完成).
探讨得到结论:同旁内角互补,两直线平行.
图5-2-30
1.在环节1的操作中,积极与学生互动,学生在参与的过程中,大胆思考.
2.由同位角开始,循序渐进地探讨平行线的判定方法,清晰明了,并在此过程中训练学生的推理能力、逻辑思维能力.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
3.如图5-2-30,在同一平面内,直线CD,EF均与直线AB垂直,D,F为垂足.试判断CD与EF是否平行.
教师提出要求:使用多种方法解决此题.
学生独立思考,然后小组交流.
由此,师生共同得到平行线判定的推论:
在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗 为什么
分析:垂直总与直角联系在一起,进而用判断两条直线平行的方法进行判定.
图5-2-31
解:这两条直线平行.理由如下:如图5-2-31.∵b⊥a,∴∠1=90°.
同理∠2=90°.∴∠1=∠2.
∵∠1和∠2是同位角,
∴b∥c(同位角相等,两直线平行).
你还能利用其他方法说明b∥c吗
变式
图5-2-32
如图5-2-32,若∠1=∠4,∠1+∠2=180°,则直线AB,CD,EF的位置关系如何
分析:由∠1=∠4,可知AB∥EF,所以可猜想AB∥CD∥EF.由图中可知:∠2+∠3=180°,而∠1+∠2=180°,由同角的补角相等可得∠1=∠3,这样得到AB∥CD.由“两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线平行”可得AB∥CD∥EF.
解:AB∥CD∥EF.
通过例题,可以巩固所学新知,同时培养学生灵活运用平行线的判定方法解决问题的能力.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例2 如图5-2-33,小明和小刚分别在河两岸,每人手中各有两根标杆和一个测角仪,他们应该怎样判断两岸是否平行 (设河岸是两条直线)你能帮他们想想办法吗
分析:测量有关角的度数,根据平行线的三种判定方法进行推理.
解:先通过目测,使四根标杆在一条直线上,再分别测出∠ABE,∠DCF的大小,若它们的和等于180°,则可推出∠ABE和∠BCF相等,由同位角相等,可判断两岸平行,否则不平行.
图5-2-33
图5-2-34
例3 如图5-2-34,已知BE是∠ABC的平分线,交AC于点E,其中∠1=∠2,那么DE∥BC吗 为什么
解:DE∥BC.理由如下:∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠1=∠CBE.
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠CBE,∴DE∥BC.
通过拓展提升,及时反馈学生的学习情况,以便查漏补缺,进一步提升教学效果.
活动
四:
课堂
总结
反思
【当堂训练】
课本第14页练习第1,2,3题.
课后作业:
课本第15页习题5.2第1,2,4,5题.
通过练习进一步巩固所学的平行线的判定方法.
活动
四:
课堂
总结
反思
【板书设计】
第1课时 平行线的判定方法
平行线的判定方法
框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】
①[授课流程反思]
由学生靠眼观察两直线是否平行,再通过工具验证两直线平行,引出平行线的判定方法,能调动学生的探究欲望.
②[讲授效果反思]
此节是在学习了三线八角的基础上,根据平行线的作图方法,推出“同位角相等,两直线平行”.此方法是在实践基础上默认的,没有经过证明.然后让学生运用此方法去探究“内错角相等,两直线平行”和“同旁内角互补,两直线平行”.由于学生刚接触几何推理,在此过程中教师要做好引导,引导学生如何由已知及隐含条件,推出未知的结论.
③[师生互动反思]
教师的作用在于激励与唤醒,当学生遇到困难时,教师要积极主动地去帮助学生克服困难,但应以提示为主,不能把结论与答案直接告诉学生.
④[习题反思]
好题题号
错题题号
回顾反思,找出差距与不足,形成知识及数学体系,更进一步提升教师教学能力.
一、预习提示
(
3
4
2
1
a
b
c
(图1)
)预习课本，思考下列问题。
1、如图1，①∵∠1＝∠2
∴a∥b（_______________）
②∵___________________
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）
③∵______＋______＝180°
∴a∥b（同旁内角互补，_______________）
(
A
B
C
D
(图2)
)2、如图2
①∵∠A＋∠B＝180°
∴______∥______
②∵∠A＋∠D＝180°
∴______∥______
二、学习目标
知识目标：熟练掌握一行线的三个判定定理，并会运用。
能力目标：遇到一个新问题时，能把它转化为已知的（或已解决的）问题。
情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维。
三、学习重点：平行线的判定定理的运用
四、学习难点：平行线的判定定理的运用
五、学习过程：
（一）预习检测
1、判断题：
①两条直线不相交，就叫平行线
②与一条直线平行的直线只有一条
③如果直线a、b都和c平行，那么a、b就平行。
2、如图3，∠B＝60°，∠
C＝120°，则___________
3、如图4，直线a、b、c被直线l所截，且∠
1＝∠2＝∠3，（1）从∠1＝∠2可以得出哪两条直线平行？根据是什么？
(
a
2
(图4)
l
c
b
1
3
)（2）从∠1＝∠3可以得出哪两条直线平行？根据是什么？
（3）直线a、b、c互相平行吗？根据是什么？
(
(图3)
A
B
C
D
)
（二）新课讲授：
(
(图5)
D
C
A
B
F
E
P
1
2
)1、我们以前已学过用直尺和三角板画平行线（让两位同学上台演板），在这一过程中，三角板起着什么样的作用？
作图过程简化成如图5，
三角板起的作用：确保∠1＝∠2，
而∠1和∠2是同位角
由此可得，利用同位角判定两条直线平行的方法：
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
2、讨论交流：完成下列两题
①如图6，由∠2＝∠3，可推出a∥b吗？如何推出？写出你的推理过程。
(
b
a
c
（图6）
a
b
(图7)
c
1
3
2
3
1
2
)②如图7，如果∠1＋∠2＝180°，可推出a∥b吗？如何推出的？
3、交流
由此得到：
判定方法2：内错角相等，两直线平行
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行
4、例题选拔
课本P14例
5、巩固练习：
课本
“练习”1、2、3
6、拓展练习：
①有一块玻璃，用什么方法可以检查相对的两边是否平行？
②如图8，E是AB上一点，F是DC上一点，G是BC延长线上一点。
i如果∠B＝∠DCG，可以判断哪两条直线平行？为什么？
ii如果∠DCG＝∠D，可以判断哪两条直线平行？为什么？
iii如果∠DFE＋∠D＝180°，可以判断哪两条直线平行？为什么？
(
G
C
D
A
B
F
E
（图8）
)
(
（图9）
)7、方法总结，畅谈收获
①平行线的判定方法1：同位角相等，两直线平行
②平行线的判定方法2：内错角相等，两直线平行
③平行线的判定方法3；同旁内角互补，两直线平行
8、反馈测试
①如图9，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（
）
（A）∠3＝∠4
（B）∠1＝∠2
(
（图10）
b
a
d
c
2
4
3
1
)（C）∠D＝∠DCE
（D）∠D＋∠ACD＝180°
(
E
D
B
A
2
C
4
3
1
)
②如图10，∠1＋∠2＝180°，∠3＝180°，则∠4的度数是（
）
（A）72°
（B）80°
（C）82°
（D）108°
9、板书
5.2.2
平行线的判定
判定方法1：
例
学生练习：
判定方法2：
判定方法3：5.2.2 平行线的判定
第2课时 平行线的判定方法的应用
课题
第2课时 平行线的判定方法的应用
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.掌握平行线的判定方法,并初步运用它们进行简单的推理论证.
2.初步学会简单的论证和推理,认识几何推理论证的必要性和严密性.
数学思考
通过简单的推理过程的学习,培养学生进行数学推理的良好习惯和方法,同时培养学生“观察——分析——推理——论证”的能力.
问题解决
进一步掌握推理的基本格式,学习简单的推理论证说理的方法.
情感态度
使学生了解知识来源于实践,又服务于实践,只有学好文化知识,才有解决实际问题的本领,从而对学生进行学习目的教育.
教学
重点
熟练应用平行线的判定方法解决问题.
教学
难点
运用平行线的判定方法进行推理的步骤和格式.
授课
类型
新授课
课时
教具
直尺、三角尺
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
活动
一:
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
(1)如图5-2-46①所示,AB,CD,EF是三条公路,且AB⊥EF,CD⊥EF.判断AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图②所示,在(1)的条件下,若小路OM平分∠EOB,通往加油站N的岔道O'N平分∠CO'F,试判断OM与O'N的位置关系.
图5-2-46
通过实际问题的导入,能够充分体现数学知识在实际生活中的应用,提高学生的学习兴趣.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
【探究1】
灵活选用判定方法判定两直线平行
图5-2-47
问题1 如图5-2-47,有以下四个条件:①∠B+∠BCD=180°;
②∠1=∠2;③∠3=∠4;④∠B=∠5,其中能判定AB∥CD的条件有
( )
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
学生分组讨论,分析图形,根据平行线的判定方法即可求得答案.
教师鼓励学生多角度分析问题.分析过程如下:
①∵∠B+∠BCD=180°,∴AB∥CD;②∵∠1=∠2,∴AD∥BC;③∵∠3=∠4,∴AB∥CD;④∵∠B=∠5,∴AB∥CD.故能得到AB∥CD的条件是①③④.故选C.
方法总结:要判断两直线是否平行,首先要将题目给出的角转化为这两条直线被第三条直线所截得的同位角、内错角或同旁内角,再看这些角的关系是否满足平行线的判定方法.
1.通过对平行线判定方法的综合运用,培养学生分析问题,解决问题的能力.
2.通过对推理填空问题的解答,让学生逐步掌握推理的步骤.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
【探究2】
平行线的判定方法结合平行公理的推论进行推理
图5-2-48
问题2 如图5-2-48,直线AB,CD,EF被直线GH所截,∠1=70°,∠2=110°,∠2+∠3=180°.试说明:
(1)EF∥AB;(2)CD∥AB.(补全横线及括号的内容).
解:(1)∵∠2+∠3=180°,∠2=110°(已知),
∴∠3=70°( ).
又∵∠1=70°(已知),
∴∠1=∠3( ),
∴EF∥AB( ).
(2)∵∠2+∠3=180°,
∴ ∥ ( ).
又∵EF∥AB(已证),
∴ ∥ ( ).
教师引导学生做如下分析:(1)先将∠2=110°代入∠2+∠3=180°,求出∠3=70°,根据等量代换得到∠1=∠3,再由“内错角相等,两直线平行”即可得到EF∥AB;(2)先由“同旁内角互补,两直线平行”得出CD∥EF,再根据“如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”即可得到CD∥AB.
方法总结:判定两条直线平行的方法除了利用平行线的判定方法外,有时需要结合平行公理的推论.
图5-2-49
3.添加辅助线是解决几何问题常用的方法,让学生体会辅助线的重要作用.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
【探究3】
添加辅助线判定两直线平行
问题 如图5-2-49,MF⊥NF于点F,MF交AB于点E,NF交CD于点G,∠1=140°,∠2=50°,试判断AB和CD的位置关系,并说明理由.
教师引导学生做如下分析:通过观察图形可以猜想AB与CD互相平行.过点F向左作FQ,使∠MFQ=∠2=50°,则可得∠NFQ=40°,再运用“同旁内角互补,两直线平行”及平行公理的推论可得出结果.
解:如图5-2-49,过点F向左作FQ,使∠MFQ=∠2=50°,则∠NFQ=∠MFN-∠MFQ=90°-50°=40°,AB∥FQ.又因为∠1=140°,所以∠1+∠NFQ=180°,所以CD∥FQ,所以AB∥CD.
方法总结:在解决与平行线相关的问题时,有时需作出适当的辅助线.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例1 如图5-2-50,已知∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC交AC于点D,CE平分∠ACB交AB于点E,F是BC延长线上一点,且∠DBC=∠F.试说明:EC∥DF.
图5-2-50
解:∵∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠DBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,
∴∠DBC=∠ECB.
∵∠DBC=∠F,
∴∠ECB=∠F,
∴EC∥DF.
通过拓展提升,及时巩固所学知识,反馈学生的学习情况,培养学生综合运用平行线的判定方法解决问题的能力,进一步提升学习的效果.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
例2 你知道潜水艇吗 它在军事上的作用可大呢.潜水艇下潜后,艇内人员可以用潜望镜来观察水面上的情况,如图5-2-51①.其实它的原理非常简单,如图②,潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°,光线经过镜子反射时,∠1=∠2,∠3=∠4.你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的吗
图5-2-51
解:∵∠1=∠2=45°,∠3=∠4=45°,
∴∠5=180°-45°×2=90°,∠6=180°-45°×2=90°,
∴∠5=∠6,
故进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的.
活动
四:
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.如图5-2-52,直线EF与直线AB,CD分别相交于点P和点Q,PG平分∠BPQ交CD于点G,QH平分∠CQP交AB于点H,并且∠1=∠2.说出图中哪些直线互相平行,并说明理由.
图5-2-52
图5-2-53
2.如图5-2-53,∠C=∠1,∠2和∠D互余,BE⊥FD于点G.试说明:AB∥CD.
课后作业:
课本第16页习题5.2第7,9,12题.
通过练习,进一步巩固所学的平行线的判定方法.
活动
四:
课堂
总结
反思
【板书设计】
第2课时 平行线的判定方法的应用
判定两直线平行的方法
1.同位角相等,两直线平行;
内错角相等,两直线平行;
同旁内角互补,两直线平行.
2.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
提纲挈领,重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
以生活实际为题材,从生活问题引入,然后解决实际问题;在巩固练习中发现新的问题,激发学生再次探索问题的欲望;练习题中注重图形的变化,每一个环节的设计都是围绕着需要解决的问题展开的,而不是单纯地追求形式的变化.
②[讲授效果反思]
有意识地对学生渗透“转化”思想,并将数学学习与生活实际联系起来.本节课对七年级的学生而言,本是一个艰难的起步,应时时提醒学生应注意的地方,说理要严谨,步步有依据.
③[师生互动反思]
突出学生是学习的主体,把问题尽量抛给学生解决.在课堂中,教师除了必要的引导和示范外,问题的发现、解决,练习题的讲解尽可能让学生自己完成.
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思教学过程、教学效果,更进一步提升教师教学水平.
一、预习提示
(
3
4
2
1
a
b
c
(图1)
)预习课本，思考下列问题。
1、如图1，①∵∠1＝∠2
∴a∥b（_______________）
②∵___________________
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）
③∵______＋______＝180°
∴a∥b（同旁内角互补，_______________）
(
A
B
C
D
(图2)
)2、如图2
①∵∠A＋∠B＝180°
∴______∥______
②∵∠A＋∠D＝180°
∴______∥______
二、学习目标
知识目标：熟练掌握一行线的三个判定定理，并会运用。
能力目标：遇到一个新问题时，能把它转化为已知的（或已解决的）问题。
情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维。
三、学习重点：平行线的判定定理的运用
四、学习难点：平行线的判定定理的运用
五、学习过程：
（一）预习检测
1、判断题：
①两条直线不相交，就叫平行线
②与一条直线平行的直线只有一条
③如果直线a、b都和c平行，那么a、b就平行。
2、如图3，∠B＝60°，∠
C＝120°，则___________
3、如图4，直线a、b、c被直线l所截，且∠
1＝∠2＝∠3，（1）从∠1＝∠2可以得出哪两条直线平行？根据是什么？
(
a
2
(图4)
l
c
b
1
3
)（2）从∠1＝∠3可以得出哪两条直线平行？根据是什么？
（3）直线a、b、c互相平行吗？根据是什么？
(
(图3)
A
B
C
D
)
（二）新课讲授：
(
(图5)
D
C
A
B
F
E
P
1
2
)1、我们以前已学过用直尺和三角板画平行线（让两位同学上台演板），在这一过程中，三角板起着什么样的作用？
作图过程简化成如图5，
三角板起的作用：确保∠1＝∠2，
而∠1和∠2是同位角
由此可得，利用同位角判定两条直线平行的方法：
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
2、讨论交流：完成下列两题
①如图6，由∠2＝∠3，可推出a∥b吗？如何推出？写出你的推理过程。
(
b
a
c
（图6）
a
b
(图7)
c
1
3
2
3
1
2
)②如图7，如果∠1＋∠2＝180°，可推出a∥b吗？如何推出的？
3、交流
由此得到：
判定方法2：内错角相等，两直线平行
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行
4、例题选拔
课本P14例
5、巩固练习：
课本
“练习”1、2、3
6、拓展练习：
①有一块玻璃，用什么方法可以检查相对的两边是否平行？
②如图8，E是AB上一点，F是DC上一点，G是BC延长线上一点。
i如果∠B＝∠DCG，可以判断哪两条直线平行？为什么？
ii如果∠DCG＝∠D，可以判断哪两条直线平行？为什么？
iii如果∠DFE＋∠D＝180°，可以判断哪两条直线平行？为什么？
(
G
C
D
A
B
F
E
（图8）
)
(
（图9）
)7、方法总结，畅谈收获
①平行线的判定方法1：同位角相等，两直线平行
②平行线的判定方法2：内错角相等，两直线平行
③平行线的判定方法3；同旁内角互补，两直线平行
8、反馈测试
①如图9，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（
）
（A）∠3＝∠4
（B）∠1＝∠2
(
（图10）
b
a
d
c
2
4
3
1
)（C）∠D＝∠DCE
（D）∠D＋∠ACD＝180°
(
E
D
B
A
2
C
4
3
1
)
②如图10，∠1＋∠2＝180°，∠3＝180°，则∠4的度数是（
）
（A）72°
（B）80°
（C）82°
（D）108°
9、板书
5.2.2
平行线的判定
判定方法1：
例
学生练习：
判定方法2：
判定方法3：
