人教版七年级数学下册 5.3.2 命题、定理、证明教案
文档属性
| 名称 | 人教版七年级数学下册 5.3.2 命题、定理、证明教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 53.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-29 16:53:52 | ||
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文档简介
5.3.2 命题、定理、证明
课题
5.3.2 命题、定理、证明
授课人
教
学
目
标
知识技能
掌握命题、定理的概念,并能分清命题的题设和结论,能判定真命题和假命题;能根据已知条件对简单问题进行证明.
数学思考
通过讨论、探究、交流等形式,使学生在辩论中获得知识体验.
问题解决
用类比的方法,经历自主学习、合作探究,领悟命题的有关概念.
情感态度
在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质,培养合作、交流的能力,从活动中体会学习的快乐.
教学
重点
掌握命题、定理的概念,并能分清命题的组成.
教学
难点
分清命题的组成,并能把一个命题改写成“如果……那么……”的形式.
授课
类型
新授课
课时
教具
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
活动
一:
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
以下6个句子,有什么不同 你能对它们进行分类吗 如果你能分类,分类的依据是什么
(1)熊猫没有翅膀;(2)对顶角相等;(3)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;(4)你喜欢数学吗 (5)作线段AB=CD;(6)清新的空气;(7)不许讲话.
指出像(1)(2)(3)这样判断一件事情的语句,叫做命题.
既复习了已学知识,又让学生认识了命题的多种表现形式.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
【探究1】
命题的概念
下列句子中,哪些是命题
①直角三角形的两个锐角互余;
②正数都大于0;
③如果∠1+∠2=180°,那么∠1与∠2互补;
④太阳不是行星;
⑤对顶角相等吗
⑥作一个角等于已知角.
分析:①②③是命题,它们都对事情做出了肯定判断;④是命题,它对事情做出了否定判断;⑤不是命题,只表示疑问,并未做出判断;⑥不是命题,只是描述了一个作图的过程,没有做出判断.
解:①②③④是命题,⑤⑥不是命题.
师生共同总结判断命题的依据:对一件事做出了肯定或否定的判断的句子为命题,否则不是命题.
【探究2】
命题的题设和结论
命题由题设和结论两部分组成,其中“题设”是已知事项,即命题中的已知条件;“结论”是由已知事项推出的事项,即结论是在已知条件的前提下可得到的结果.命题的表述有标准形式:“如果……那么……”,另外还有“若……则……”等.一般地,“如果……”和“若……”是题设部分,“那么……”和“则……”是结论部分.一些命题前面的“附加部分”属题设.要准确找出一个命题的题设和结论,特别是一些没有关联词语、题设和结论不明显的命题.
1.通过各类型的语句探究命题的概念.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
判断下列语句是不是命题,是命题的指出命题的题设和结论,并判断此命题是真命题还是假命题.
(1)画射线AC;
(2)同位角相等吗
(3)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;
(4)任意两个直角都相等;
(5)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;
(6)若|x|=|y|,则x=y.
解:(1)(2)不是命题;(3)(4)(5)(6)是命题.
(3)题设是两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补,结论是这两条直线平行,是真命题;
(4)题设是两个角是直角,结论是这两个角相等,是真命题;
(5)题设是两条直线相交,结论是它们只有一个交点,是真命题;
(6)题设是|x|=|y|,结论是x=y,是假命题.
有些数学命题,如“对顶角相等”,没有写成标准形式,条件和结论不明显,要认真分析是由什么来推断什么,把它恢复成标准形式,这样就容易找到它的题设和结论.如“对顶角相等”恢复成标准形式是“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”.有些命题的题设之前还有题设,那么这两个题设合起来作为命题的题设,如“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行”.题设是两条直线被第三条直线所截,同位角相等;结论是这两条直线平行.
【探究3】
定理与证明
我们已经知道下列各命题都是正确的,即都是公认的真命题:
(1)两点确定一条直线;
(2)两点之间线段最短;
(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
2.师生通过例题共同探究命题的题设和结论的确定方法.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
有些命题可以从基本事实或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
归纳:定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性,而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.
探究证明:根据条件、定义以及基本事实、定理等,经过演绎推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.
图5-3-39
如图5-3-39,有下列三个条件:
①DE∥BC:②∠1=∠2;③∠B=∠C.
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设,另一个作为结论,组成一个命题,一共能组成几个命题,请你把它们写出来;
(2)请你就其中的一个真命题给出推理过程.
解:(1)一共能组成3个命题,它们是:题设①②,结论③;题设①③,结论②;题设②③,结论①.
(2)情况一:题设①②,结论③.
证明∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C.
又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C;
情况二:题设①③,结论②.证明:∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C.又∵∠B=∠C,∴∠1=∠2.
归纳总结:
几何证明的一般步骤:
第一步:根据题意画出图形;
第二步:根据命题的题设和结论,结合图形,写出已知、求证;
第三步:通过分析,找出证明的方法,写出证明过程.
在证明几何命题时,须注意以下几点:
1.明确题目的题设和结论;
3.引导学生区分命题与定理的关系,且体会数学命题证明的必要性.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
2.证明过程中引用的根据(理由)与“定理的证明相同”;
3.证明过程中每一步结果所用的根据必须是得到这一结果的充分理由;
4.要防止利用未学过的定理来证明学过的命题,避免循环论证.
4.归纳证明的过程有助于培养学生严密的逻辑推理能力,为后续的学习打好基础.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 如图5-3-40,已知直线b∥c,a⊥b.求证:a⊥c.
图5-3-40
证明:∵a⊥b(已知),
∴∠1=90°(垂直的定义).
又∵b∥c(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等),
∴∠2=∠1=90°(等量代换),
∴a⊥c(垂直的定义).
变式
在下面的括号内填上推理的根据.
如图5-3-41,AB和CD相交于点O,∠A=∠B.求证:∠C=∠D.
图5-3-41
证明:∵∠A=∠B,
∴AC∥BD( 内错角相等,两直线平行 ),
∴∠C=∠D( 两直线平行,内错角相等 ).
1.利用新知解决问题,根据相关性质进行演绎推理.
2.通过变式练习巩固证明过程,训练学生推理证明的能力.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
分析:根据已知的条件及图形证明某个数学结论是常见的数学题目,本题以“∵”“∴”的形式将完整的说理过程展现出来,需要同学们根据图形条件及已知条件填上原因.也就是在我们推理过程的每一步必须要有理有据,不能乱写.本题既利用了平行线的判定方法,又运用了平行线的性质.
【拓展提升】
例2 如图5-3-42,直线DE经过点A,DE∥BC,∠B=44°,∠C=85°.
(1)求∠DAB的度数;(2)求∠EAC的度数;(3)求∠BAC的度数;(4)通过这道题你能说明为什么三角形的内角和是180°吗
图5-3-42
知识的综合与拓展提高学生应考能力.
活动
四:
课堂
总结
反思
【当堂训练】
课本第21页练习第1,2题;课本第22页练习第1,2题.
课后作业:
课本第23页习题5.3第6,12,13题.
通过练习进一步巩固所学知识,使教师及时了解学生对本课所学知识的掌握情况.
【板书设计】
5.3.2 命题、定理、证明
命题
框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】
①[授课流程反思]
既复习了已学知识,又让学生认识了命题的多种表现形式,从而使学生明白命题我们都已接触过,只是没有从概念上加以澄清,从而消除学生对新知识的恐惧感,增加亲切感.
活动
四:
课堂
总结
反思
②[讲授效果反思]
本节课的教学内容较简单,通过本节课的教学,学生在区分命题的题设和结论的基础上知道命题有真假之分,其中有的真命题又叫做定理.对于假命题只要举出反例加以说明即可,其中推理过程叫做证明.
③[师生互动反思]
学生小组合作学习的积极性较高,体现出学生愿学、乐学的心态,教师要及时性地给予鼓励和表扬.
④[习题反思]
好题题号
错题题号
回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学能力.
一、自学范围（20页——22页练习）
二、自学目标
1、了解命题的概念，会把命题写成“如果……那么……”的形式。
2、能判断一些简单的命题是真命题还是假命题。
三、自学重点
命题的概念，把命题写成“如果……那么……”的形式
四、自学过程
1、对一件事情______的语句,叫做命题.
2、命题由_____和
_____是已知事项,
_____是由已知事项.
3、命题常可以写成__________的形式,
“_____”后接的部分是题没,
“_______”后接的部分是结论.
4、_______叫真命题_______叫假命题
,
_______叫定理.
5、指出下列命题的题设和结论:
如果AB⊥CD,垂足是O,那么∠AOC=90·,
两直线平行,同位角相等.
同位角相等
如果a＞b,a＞c
6、把下列命题改写成“如果………那么………”的形式,并判断其是真命题,还是假命题.若是假命题,举出一个反例.
内错角相等,两直线平行.
在同一平面内,平行于同一条直线的两直线平行.
等角的补角相等
的三条边都相等
五、学效测试
7、课本练习
8、下列句子哪些是命题:
(1)猴子是动物的一种
(2)玫瑰花是动物
(3)美丽的天空
(4)动物都需要水
(5)负数都大于零
(6)过直线外一点作直线l的平才线
(7)所有的质数都是奇数
(8)你的作业呢
9、指出下列命题的题设和结论
（1）三角形的内角和是160·
（2）相等的角是对顶角
（3）互补的角是邻补角
10、判断下列命题是真命题,还是假命题,若是假命题,
举出一个反例.
(1)
邻补角是互补的角
(2)两个角等于平角时,这两个角互为补角
(3)内错角相等
(4)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补
11、举出你学过的几何定理
课题
5.3.2 命题、定理、证明
授课人
教
学
目
标
知识技能
掌握命题、定理的概念,并能分清命题的题设和结论,能判定真命题和假命题;能根据已知条件对简单问题进行证明.
数学思考
通过讨论、探究、交流等形式,使学生在辩论中获得知识体验.
问题解决
用类比的方法,经历自主学习、合作探究,领悟命题的有关概念.
情感态度
在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质,培养合作、交流的能力,从活动中体会学习的快乐.
教学
重点
掌握命题、定理的概念,并能分清命题的组成.
教学
难点
分清命题的组成,并能把一个命题改写成“如果……那么……”的形式.
授课
类型
新授课
课时
教具
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
活动
一:
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
以下6个句子,有什么不同 你能对它们进行分类吗 如果你能分类,分类的依据是什么
(1)熊猫没有翅膀;(2)对顶角相等;(3)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;(4)你喜欢数学吗 (5)作线段AB=CD;(6)清新的空气;(7)不许讲话.
指出像(1)(2)(3)这样判断一件事情的语句,叫做命题.
既复习了已学知识,又让学生认识了命题的多种表现形式.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
【探究1】
命题的概念
下列句子中,哪些是命题
①直角三角形的两个锐角互余;
②正数都大于0;
③如果∠1+∠2=180°,那么∠1与∠2互补;
④太阳不是行星;
⑤对顶角相等吗
⑥作一个角等于已知角.
分析:①②③是命题,它们都对事情做出了肯定判断;④是命题,它对事情做出了否定判断;⑤不是命题,只表示疑问,并未做出判断;⑥不是命题,只是描述了一个作图的过程,没有做出判断.
解:①②③④是命题,⑤⑥不是命题.
师生共同总结判断命题的依据:对一件事做出了肯定或否定的判断的句子为命题,否则不是命题.
【探究2】
命题的题设和结论
命题由题设和结论两部分组成,其中“题设”是已知事项,即命题中的已知条件;“结论”是由已知事项推出的事项,即结论是在已知条件的前提下可得到的结果.命题的表述有标准形式:“如果……那么……”,另外还有“若……则……”等.一般地,“如果……”和“若……”是题设部分,“那么……”和“则……”是结论部分.一些命题前面的“附加部分”属题设.要准确找出一个命题的题设和结论,特别是一些没有关联词语、题设和结论不明显的命题.
1.通过各类型的语句探究命题的概念.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
判断下列语句是不是命题,是命题的指出命题的题设和结论,并判断此命题是真命题还是假命题.
(1)画射线AC;
(2)同位角相等吗
(3)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;
(4)任意两个直角都相等;
(5)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;
(6)若|x|=|y|,则x=y.
解:(1)(2)不是命题;(3)(4)(5)(6)是命题.
(3)题设是两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补,结论是这两条直线平行,是真命题;
(4)题设是两个角是直角,结论是这两个角相等,是真命题;
(5)题设是两条直线相交,结论是它们只有一个交点,是真命题;
(6)题设是|x|=|y|,结论是x=y,是假命题.
有些数学命题,如“对顶角相等”,没有写成标准形式,条件和结论不明显,要认真分析是由什么来推断什么,把它恢复成标准形式,这样就容易找到它的题设和结论.如“对顶角相等”恢复成标准形式是“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”.有些命题的题设之前还有题设,那么这两个题设合起来作为命题的题设,如“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行”.题设是两条直线被第三条直线所截,同位角相等;结论是这两条直线平行.
【探究3】
定理与证明
我们已经知道下列各命题都是正确的,即都是公认的真命题:
(1)两点确定一条直线;
(2)两点之间线段最短;
(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
2.师生通过例题共同探究命题的题设和结论的确定方法.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
有些命题可以从基本事实或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
归纳:定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性,而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.
探究证明:根据条件、定义以及基本事实、定理等,经过演绎推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.
图5-3-39
如图5-3-39,有下列三个条件:
①DE∥BC:②∠1=∠2;③∠B=∠C.
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设,另一个作为结论,组成一个命题,一共能组成几个命题,请你把它们写出来;
(2)请你就其中的一个真命题给出推理过程.
解:(1)一共能组成3个命题,它们是:题设①②,结论③;题设①③,结论②;题设②③,结论①.
(2)情况一:题设①②,结论③.
证明∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C.
又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C;
情况二:题设①③,结论②.证明:∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C.又∵∠B=∠C,∴∠1=∠2.
归纳总结:
几何证明的一般步骤:
第一步:根据题意画出图形;
第二步:根据命题的题设和结论,结合图形,写出已知、求证;
第三步:通过分析,找出证明的方法,写出证明过程.
在证明几何命题时,须注意以下几点:
1.明确题目的题设和结论;
3.引导学生区分命题与定理的关系,且体会数学命题证明的必要性.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
2.证明过程中引用的根据(理由)与“定理的证明相同”;
3.证明过程中每一步结果所用的根据必须是得到这一结果的充分理由;
4.要防止利用未学过的定理来证明学过的命题,避免循环论证.
4.归纳证明的过程有助于培养学生严密的逻辑推理能力,为后续的学习打好基础.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 如图5-3-40,已知直线b∥c,a⊥b.求证:a⊥c.
图5-3-40
证明:∵a⊥b(已知),
∴∠1=90°(垂直的定义).
又∵b∥c(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等),
∴∠2=∠1=90°(等量代换),
∴a⊥c(垂直的定义).
变式
在下面的括号内填上推理的根据.
如图5-3-41,AB和CD相交于点O,∠A=∠B.求证:∠C=∠D.
图5-3-41
证明:∵∠A=∠B,
∴AC∥BD( 内错角相等,两直线平行 ),
∴∠C=∠D( 两直线平行,内错角相等 ).
1.利用新知解决问题,根据相关性质进行演绎推理.
2.通过变式练习巩固证明过程,训练学生推理证明的能力.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
分析:根据已知的条件及图形证明某个数学结论是常见的数学题目,本题以“∵”“∴”的形式将完整的说理过程展现出来,需要同学们根据图形条件及已知条件填上原因.也就是在我们推理过程的每一步必须要有理有据,不能乱写.本题既利用了平行线的判定方法,又运用了平行线的性质.
【拓展提升】
例2 如图5-3-42,直线DE经过点A,DE∥BC,∠B=44°,∠C=85°.
(1)求∠DAB的度数;(2)求∠EAC的度数;(3)求∠BAC的度数;(4)通过这道题你能说明为什么三角形的内角和是180°吗
图5-3-42
知识的综合与拓展提高学生应考能力.
活动
四:
课堂
总结
反思
【当堂训练】
课本第21页练习第1,2题;课本第22页练习第1,2题.
课后作业:
课本第23页习题5.3第6,12,13题.
通过练习进一步巩固所学知识,使教师及时了解学生对本课所学知识的掌握情况.
【板书设计】
5.3.2 命题、定理、证明
命题
框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】
①[授课流程反思]
既复习了已学知识,又让学生认识了命题的多种表现形式,从而使学生明白命题我们都已接触过,只是没有从概念上加以澄清,从而消除学生对新知识的恐惧感,增加亲切感.
活动
四:
课堂
总结
反思
②[讲授效果反思]
本节课的教学内容较简单,通过本节课的教学,学生在区分命题的题设和结论的基础上知道命题有真假之分,其中有的真命题又叫做定理.对于假命题只要举出反例加以说明即可,其中推理过程叫做证明.
③[师生互动反思]
学生小组合作学习的积极性较高,体现出学生愿学、乐学的心态,教师要及时性地给予鼓励和表扬.
④[习题反思]
好题题号
错题题号
回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学能力.
一、自学范围（20页——22页练习）
二、自学目标
1、了解命题的概念，会把命题写成“如果……那么……”的形式。
2、能判断一些简单的命题是真命题还是假命题。
三、自学重点
命题的概念，把命题写成“如果……那么……”的形式
四、自学过程
1、对一件事情______的语句,叫做命题.
2、命题由_____和
_____是已知事项,
_____是由已知事项.
3、命题常可以写成__________的形式,
“_____”后接的部分是题没,
“_______”后接的部分是结论.
4、_______叫真命题_______叫假命题
,
_______叫定理.
5、指出下列命题的题设和结论:
如果AB⊥CD,垂足是O,那么∠AOC=90·,
两直线平行,同位角相等.
同位角相等
如果a＞b,a＞c
6、把下列命题改写成“如果………那么………”的形式,并判断其是真命题,还是假命题.若是假命题,举出一个反例.
内错角相等,两直线平行.
在同一平面内,平行于同一条直线的两直线平行.
等角的补角相等
的三条边都相等
五、学效测试
7、课本练习
8、下列句子哪些是命题:
(1)猴子是动物的一种
(2)玫瑰花是动物
(3)美丽的天空
(4)动物都需要水
(5)负数都大于零
(6)过直线外一点作直线l的平才线
(7)所有的质数都是奇数
(8)你的作业呢
9、指出下列命题的题设和结论
（1）三角形的内角和是160·
（2）相等的角是对顶角
（3）互补的角是邻补角
10、判断下列命题是真命题,还是假命题,若是假命题,
举出一个反例.
(1)
邻补角是互补的角
(2)两个角等于平角时,这两个角互为补角
(3)内错角相等
(4)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补
11、举出你学过的几何定理