第1课时 算术平方根
知识要点基础练
知识点1 算术平方根
1.0.81的算术平方根是( A )
A.0.9 B.9
C.±0.9 D.±9
2.下列计算正确的是( B )
A.=±4 B.=0.2
C.=-2 D.
3.求下列各式的值:
( 1 ); ( 2 ); ( 3 ).
解:( 1 )=8.
( 2 ).
( 3 )=7.
知识点2 用计算器计算一个正数的算术平方根
4.用计算器求2020的算术平方根时,下列四个键中,必须按的键是( C )
5.用计算器求下列各式的值:
( 1 );
( 2 );
( 3 ).( 精确到0.01 )
解:( 1 )=99.
( 2 )=8.78.
( 3 )≈3.32.
知识点3 算术平方根的应用
6.若正方形的面积为23,则其边长为 .
7.某学校会议室的面积为64 m2,会议室地面恰由100块相同的正方形地砖铺成,则每块地砖的边长是 0.8 m.
综合能力提升练
8.化简的值为( A )
A. B.-
C.± D.
9.下列各数中,算术平方根是其本身的是( B )
A.1或-1 B.0或1
C.1或4 D.一切非负数
10.的算术平方根是( C )
A.9 B.±9
C.3 D.±3
11.在0.32,-52,( -4 )2,,-|-4|,π这几个数中,有算术平方根的有( B )
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
12.已知650.12≈422630,且=6.501,则x的值为( B )
A.4226.3 B.42.263
C.0.042263 D.42263000
13.若|x|=4,|y|=5,则|x+y|的算术平方根等于( C )
A.3 B.1
C.3或1 D.±3或±1
【变式拓展】已知|a|=5,=7,且|a+b|=a+b,则a-b的值为( D )
A.2或12 B.2或-12
C.-2或12 D.-2或-12
14.如图是一张矩形纸片,将它分别沿着虚线剪开后,拼成一个与原来面积相等的正方形,则正方形的边长为( D )
A.3 B.5 C. D.
15.若=4,则( a+2 )2的算术平方根是 16 .
16.比较下列各组数的大小:
( 1 )5与;
解:5>.
( 2 )与1.5.
解:>1.5.
17.如图,每个小正方形的边长均为1,可以得到每个小正方形的面积均为1.
( 1 )图中阴影部分的面积是多少
( 2 )阴影部分是正方形,它的边长是多少
解:( 1 )阴影部分的面积为4×4-×1×3×4=16-6=10.
( 2 )它的边长为.
拓展探究突破练
18.我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/小时,当发生交通事故时,交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度.所用的经验公式是v=16,其中v表示车速( 单位:千米/小时 ),d表示刹车后车轮滑过的距离( 单位:米 ),f表示摩擦系数.经测量,d=51.2米,f=1.25,请你帮助判断一下,肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度
解:根据题意得v=16=16=16×8=128( 千米/小时 ),
因为128>120,
所以肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.(共11张PPT)
6.2 立方根
知识点1 立方根的概念与计算
知识点2 立方根的性质
知识点3 用计算器求立方根
解:(1)原式≈9.146.
(2)原式≈-0.673
知识点4 立方根的应用
7.一个正方体木块的体积为1000 cm3,现要把它锯成8个同样大小的正方体小木块,则每个小木块的棱长是 5 cm.
8.将棱长分别为a cm和b cm的两个小正方体铝块熔化,制成一个大正方体铝块,则这个大正方体铝块的棱长为 cm.(不计损耗)
9.下列各组数中,互为相反数的一组是( C )
10.下列说法正确的是( D )
A.负数没有立方根
B.正数有3个立方根
C.1的立方根是-1
D.负数的立方根是负数
15.(教材P51练习第4题变式)如图是4阶魔方,又称“魔方的复仇”,由四层完全相同的64个小立方体组成,体积为512立方厘米,则每一个小立方体的表面积为 24 平方厘米.
16.求下列各式中x的值:
(1)8x3+27=0;
(2)64(x+1)3=27;
(3)1000(x-1)3+216=0.
17.已知x+2的平方根是±4,4y-32的立方根是-2.求x2-y2+9的平方根.
解:∵x+2的平方根是±4,4y-32的立方根是-2,
∴x+2=16,4y-32=-8,解得x=14,y=6,
∴x2-y2+9=169,
∴x2-y2+9的平方根是±13.
∴8a+15=-(4b+17),
∴8a+4b=-17-15=-32,
∴2a+b=-8,
∴2a+b的立方根是-2.
19.观察下列正数的立方根运算,并回答下列问题:
(1)用语言叙述上述表格中的规律:在立方根运算中,被开方数的小数点每向右移动3位,相应的立方根的小数点就向 右 移动 1 位; (共6张PPT)
本章中考演练
1.(铜仁中考)9的平方根是( C )
A.3 B.-3 C.3和-3 D.81
2.(烟台中考)-8的立方根是( B )
A.2 B.-2 C.±2 D.
3.(福建中考)在实数|-3|,-2,0,π中,最小的数是( B )
A.|-3| B.-2 C.0 D.π
4.(菏泽中考)下列各数: ,其中无理数的个数是( C )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.(济宁中考)下列计算正确的是( D )
6.(南京中考)面积为4的正方形的边长是( B )
A.4的平方根 B.4的算术平方根
C.4开平方的结果 D.4的立方根
8.(成都中考)实数a,b,c,d在数轴上对应的点的位置如图所示,这四个数中最大的是( D )
A.a B.b
C.c D.d
9.(宜昌中考)如图,A,B,C,D是数轴上的四个点,其中最适合表示无理数π的是( D )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
10.(滨州中考)若8xmy与6x3yn的和是单项式,则(m+n)3的平方根为( A )
A.±8 B.8
C.±4 D.4
11.(天津中考)估计 的值在( D )
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
12.(潍坊中考)利用教材中的计算器依次按键如下: ,则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是( B )
A.2.5 B.2.6
C.2.8 D.2.9第1课时 实数的有关概念
知识要点基础练
知识点1 无理数的概念
1.下列四个实数中,是无理数的是( D )
A.1.01001 B.
C.3.14 D.
2.下列实数:-,3.14,,0.1010010001…( 每相邻两个1之间依次增加一个0 )中,无理数的个数是( D )
A.1 B.2
C.3 D.4
知识点2 实数的分类
3.( 教材P57习题第2题变式 )把下列各数分别填在相应的括号内:
0,-3.14,,-100.01,,-,π-4,-3,2.020020002.
整数:{ 0, };
正有理数:;
无理数:{ };
负无理数:{ };
负实数: -3.14, .
知识点3 实数与数轴的关系
4.如图,在数轴上标有字母的各点中,与实数对应的点可能是( C )
A.A B.B C.C D.D
5.如图,已知直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A与数轴上表示-1的点重合.若将该圆形纸片沿数轴顺时针滚动一周后( 无滑动 ),点A与数轴上的点A'重合,则点A'表示的数为 π-1 .
综合能力提升练
6.下列说法正确的是( C )
A.无限小数是无理数
B.无限循环小数是无理数
C.没有绝对值最小的无理数
D.所有带根号的数都是无理数
7.如图所示,已知x2=7,那么在数轴上与实数x对应的点可能是( D )
A.P6 B.P5
C.P1或P6 D.P2或P5
8.关于的叙述,错误的是( A )
A.是有理数
B.面积为14的正方形的边长是
C.是14的算术平方根
D.在数轴上可以找到表示的点
9.下列实数:,-5π,,0.,0.2020020002…( 每相邻两个2之间依次增加一个0 ),其中无理数有( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.若a,b和都是有理数,则( A )
A.都是有理数
B.都是无理数
C.都是有理数或都是无理数
D.中有理数和无理数各一个
11.实数a,b在数轴上的点的位置如图所示,则下列关系式正确的是( C )
A.a+b>0 B.a-b<0
C.<0 D.a2>b2
【变式拓展】实数a,b,c,d在数轴上的位置如图所示,下列关系式不正确的是( B )
A.|a|>|b| B.|ac|=ac
C.b
0
12.如图,在数轴上,点A,点C到点B的距离相等,A,B两点所对应的实数分别是-和1,则点C对应的实数是( B )
A.1+ B.2+
C.2-1 D.2+1
13.把下列各数填入相应的集合内:-,-,-,0,-π,-,-1.8.
有理数集合: - ;
无理数集合: -,-π ;
正实数集合: ;
负实数集合: - .
14.在如图所示的数轴上表示出下列各数,并用“<”连接起来.
-,|-|,0,-12,π.
解:如图所示.
用“<”连接如下:
-12<-<0<|-|<π.
15.已知实数x,y满足关系式+|y2-9|=0.
( 1 )求x,y的值.
( 2 )判断是有理数还是无理数,并说明理由.
解:( 1 )x=2;y=3或y=-3.
( 2 )当x=2,y=3时,=3,是有理数;
当x=2,y=-3时,,是无理数.
16.a与b是两个不相等的有理数,试判断实数是有理数还是无理数,并说明理由.
解:假设是有理数,
设=A,整理得a+=A( b+ ),
∴a=Ab,1=A,即a=b,这与已知a≠b矛盾,
∴假设错误,∴是无理数.
拓展探究突破练
17.有一个数值转换器,原理如图.
( 1 )当输入x的值为16时,输出y的值是多少
( 2 )是否存在输入有效的x值后,始终输不出y的值 如果存在,请写出所有满足要求的x的值;如果不存在,请说明理由.
( 3 )若输出y的值是,试判断输入x的值是否唯一 若不唯一,请写出其中的两个.
解:( 1 )当x=16时,=4,=2,则y=.
( 2 )当x=0,1时,始终输不出y的值.因为0,1的算术平方根是其本身,一定是有理数.
( 3 )x的值不唯一,如x=3或x=9.第2课时 平方根
知识要点基础练
知识点1 平方根的概念
1.16的平方根是( A )
A.±4 B.4
C.±8 D.8
2.( 合肥包河区期末 )下列语句正确的是( A )
A.9的算术平方根是3
B.9的平方根是-3
C.0.01是0.1的算术平方根
D.-0.01是0.1的平方根
3.已知正数x的平方根是±,则x= 7 .
4.求下列各数的平方根:
( 1 )64; ( 2 ); ( 3 ); ( 4 )2.25.
解:( 1 )64的平方根是±8.
( 2 )的平方根是±.
( 3 )的平方根是±( 或± ).
( 4 )2.25的平方根是±1.5.
知识点2 平方根的性质
5.下列各数中,没有平方根的是( B )
A.3 B.-1.44
C.0 D.2
6.下列说法正确的是( C )
A.一个数的平方根一定有两个
B.一个非负数的平方根就是它的算术平方根
C.没有平方根的数一定是负数
D.一个正数的平方根就是它的算术平方根
7.若一个正数a的两个平方根是3x-4与2x,则x= .
综合能力提升练
8.( -0.6 )2的平方根是( C )
A.-0.6 B.0.6
C.±0.6 D.0.36
9.( 合肥肥东期末 )如果一个数的平方根是a+1与2a-13,那么这个数的算术平方根是( C )
A.3 B.4 C.5 D.6
10.下列说法正确的是( B )
A.-12是144的平方根,即=-12
B.16是( -16 )2的算术平方根,即=16
C.±0.7是0.49的平方根,即±=0.7
D.±的平方根,即=±
11.下列说法正确的有( B )
①1的平方根是1;②( -1 )2的平方根是-1;③-1是1的一个平方根;④一个数的平方根等于它的算术平方根,这个数只能是0.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.下列说法错误的是( C )
A.是0.25的一个平方根
B.正数a的两个平方根的和为0
C.的平方根是
D.当x≠0时,-x2没有平方根
13.若a2=25,|b|=3,则a+b的值是( D )
A.-8 B.±8
C.±2 D.±8或±2
14.如图是一个数值转换机,若输出的结果为-32,则输入x的值为 ±4 .
【变式拓展】如图是一个数值运算的程序,若输出y的值为4,则输入x的值为 ±3 .
15.求下列各式中x的值:
( 1 )125-16x2=0;
解:移项、系数化为1,得x2=,
解得x=±.
( 2 )( x-1 )2-324=0;
解:移项,得( x-1 )2=324,则x-1=±18,
解得x=19或x=-17.
( 3 )64( x-3 )2-9=0;
解:移项、系数化为1,得( x-3 )2=,
则x-3=±,解得x=或x=.
( 4 )( 4x-1 )2=225.
解:4x-1=±15,解得x=4或x=-.
16.( 芜湖镜湖区期末 )已知一个数的平方根是±( 2a-1 ),算术平方根是a+4,求这个数.
解:∵一个数的平方根是±( 2a-1 ),算术平方根是a+4,
∴2a-1=a+4或1-2a=a+4,
解得a=5或a=-1,
∴这个数的平方根为±9或±3,
∴这个数是81或9.
17.已知=x,y的算术平方根是3,z是16的平方根.求2x+y-5z的值.
解:∵=x,∴x=6.
∵y的算术平方根是3,∴y=9.
又∵z是16的平方根,∴z=±4.
当z=4时,2x+y-5z=12+9-20=1;
当z=-4时,2x+y-5z=12+9+20=41.
18.请根据光头强与熊二的对话内容,回答下列问题.
( 1 )求该魔方的体积;
( 2 )求该长方体糖果盒的长.
解:( 1 )该魔方的体积为73=343( cm3 ).
( 2 )设长方体糖果盒的长为x cm,则7x2=1008,解得x=12.
答:该长方体糖果盒的长为12 cm.
拓展探究突破练
19.( 1 )通过计算下列各式的值探究问题:
①= 4 ;= 16 ;
= 0 ;= .
探究:对于任意非负有理数a,= a .
②= 3 ;= 5 ;
= 2.5 ;= 13 .
探究:对于任意负有理数a,= -a .
综上所述,对于任意有理数a,= |a| .
( 2 )应用( 1 )中所得结论解决问题:
有理数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,化简:+2-|a-b|.
解:( 2 )由数轴可知-1∴原式=|a+1|+2|b-1|-|a-b|=a+1+2( b-1 )-( b-a )=2a+b-1.(共12张PPT)
第六章 实 数
6.1 平方根
第1课时 算术平方根
知识点1 算术平方根
1.0.81的算术平方根是( A )
A.0.9 B.9 C.±0.9 D.±9
2.下列计算正确的是( B )
知识点2 用计算器计算一个正数的算术平方根
4.用计算器求2020的算术平方根时,下列四个键中,必须按的键是( C )
知识点3 算术平方根的应用
6.若正方形的面积为23,则其边长为 .
7.某学校会议室的面积为64 m2,会议室地面恰由100块相同的正方形地砖铺成,则每块地砖的边长是 0.8 m.
9.下列各数中,算术平方根是其本身的是( B )
A.1或-1 B.0或1
C.1或4 D.一切非负数
12.已知650.12≈422630,且 =6.501,则x的值为( B )
A.4226.3 B.42.263
C.0.042263 D.42263000
13.若|x|=4,|y|=5,则|x+y|的算术平方根等于( C )
A.3 B.1
C.3或1 D.±3或±1
【变式拓展】已知|a|=5, =7,且|a+b|=a+b,则a-b的值为( D )
A.2或12 B.2或-12
C.-2或12 D.-2或-12
14.如图是一张矩形纸片,将它分别沿着虚线剪开后,拼成一个与原来面积相等的正方形,则正方形的边长为( D )
17.如图,每个小正方形的边长均为1,可以得到每个小正方形的面积均为1.
(1)图中阴影部分的面积是多少
(2)阴影部分是正方形,它的边长是多少 (共11张PPT)
章末小结与提升
实
数
4.我们知道a+b=0时,a3+b3=0也成立,若将a看成a3的立方根,b看成b3的立方根,我们能否得出这样的结论:若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数.
(1)试举一个例子来判断上述猜测的结论是否成立
解:(1)因为2+(-2)=0,且23=8,(-2)3=-8,
则有8-8=0,
所以上述猜测的结论成立,即“若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数”是成立的.
类型3 实数与数轴的关系
7.已知实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列结论正确的是( D )
A.a>b B.|a|<|b|
C.ab>0 D.-a>b
8.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B,点A表示的数为 ,设点B所表示的数为m.
(1)求m的值;
(2)求|m-1|+|m+2020|的值.
类型5 实数的应用
11.如图,将一块面积为16平方米的正方形铁皮的四个角各截去一个面积为2平方米的小正方形,剩下的部分刚好能围成一个无盖的运输箱.求这个运输箱的底边长和高.
12.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成,已知一个长方形纸板的面积为162 cm2.
(1)求正方形纸板的边长;
(2)若将该正方形纸板进行裁剪,然后拼成一个体积为343 cm3的正方体,求剩余纸板的面积.
则拼成正方体需要纸板的面积=7×7×6=294(cm2),
剩余纸板的面积=324-294=30(cm2),
即剩余纸板的面积为30 cm2.(共12张PPT)
第2课时 实数的运算
解:原式=5+1-2+3-1=6.
解:原式≈3.317+2.33-3.142≈2.51.
解:原式≈7.071-7.101+0.129≈0.10.
8.如图,实数-3,x,3,y在数轴上的对应点分别为M,N,P,Q,这四个数中绝对值最小的数对应的是( B )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
(2)(x-1)2=3.
13.比较下列数的大小:
(1)-π和-3.1415;
解:-π<-3.1415.小专题( 二 ) 开方运算及无理数判断中的易错题
1.本章中的概念较多,注意各种概念之间的区别与联系,若理解不够深刻,在计算或运用中容易出错.
2.运用逆向思维理解平方与开平方、立方与开立方之间的互逆运算,并多练习加以强化.
3.运用数形结合的思想理解实数的估算及大小,即运用数轴与实数之间的一一对应关系解决有关实数的问题.
4.运用类比的数学思想理解实数与有理数有着相同的运算法则和运算律,且有着类似的分类方法.
易错点1 平方根和立方根的计算错误
1.的平方根是( C )
A.2 B.4 C.±2 D.±4
2.的立方根是( D )
A.-3 B.-9 C.±3 D.-
易错点2 混淆平方根、算术平方根、立方根和无理数的概念
3.下列结论正确的有( A )
①负数的平方根有两个,且互为相反数;②任意实数的算术平方根有且只有一个;③任意实数的立方根有且只有一个;④1的平方根、算术平方根和立方根都是1.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4.下列结论:①正有理数与负无理数统称为实数;②无限小数和带根号的数都是无理数;③无理数在数轴上找不到对应的点;④有理数a与无理数b有可能相等.其中错误的结论有 ①②③④ .( 填序号 )
5.将下列各数的序号填在相应的集合里:
①,②π,③3.1415926,④-0.456,⑤3.030030003…( 每相邻两个3之间依次增加一个0 ),⑥0,⑦,⑧-,⑨,⑩.
有理数集合:{ ①③④⑥⑦⑨ };
无理数集合:{ ②⑤⑧⑩ };
正实数集合:{ ①②③⑤⑦⑨⑩ };
整数集合:{ ①⑥⑨ }.
易错点3 平方根和立方根的性质理解错误
6.一个正数的平方根为2-m与2m+1,则这个正数为( A )
A.25 B.16
C.9 D.4
7.若-,则a的值是( D )
A. B.
C.±10 D.-10
8.已知+|n+3|=0,那么( m+n )2020的值为( B )
A.-1 B.1
C.52020 D.-52020
9.王老师给同学们布置了这样一道习题:一个正数的算术平方根为m+3,它的平方根为±( 2m+3 ),求这个正数.
小张的解法:依题意可知m+3=2m+3,解得m=0,则m+3=3,所以这个数为9.
王老师看后说,小张的解法不完整,请你给出这道习题完整的解法.
解:依题意可知m+3是2m+3,-( 2m+3 )两数中的一个.
①当m+3=2m+3时,解得m=0,则m+3=3,
所以这个正数为9.
②当m+3+2m+3=0时,解得m=-2,则m+3=1,
所以这个正数为1.
综上所述,这个正数是9或1.
易错点4 实数大小的估计方法不当
10.下列对的大小估计正确的是( C )
A.在1和2之间 B.在2和3之间
C.在3和4之间 D.在4和5之间
11.-1的整数部分是( A )
A.0 B.1
C.-1 D.3
12.下列各式正确的是( B )
A.-1>1 B.>0
C.-=-1 D.>3(共14张PPT)
6.3 实 数
第1课时 实数的有关概念
知识点3 实数与数轴的关系
4.如图,在数轴上标有字母的各点中,与实数 对应的点可能是( C )
A.A B.B C.C D.D
5.如图,已知直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A与数轴上表示-1的点重合.若将该圆形纸片沿数轴顺时针滚动一周后(无滑动),点A与数轴上的点A'重合,则点A'表示的数为 π-1 .
6.下列说法正确的是( C )
A.无限小数是无理数
B.无限循环小数是无理数
C.没有绝对值最小的无理数
D.所有带根号的数都是无理数
7.如图所示,已知x2=7,那么在数轴上与实数x对应的点可能是( D )
A.P6 B.P5
C.P1或P6 D.P2或P5
11.实数a,b在数轴上的点的位置如图所示,则下列关系式正确的是( C )
A.a+b>0 B.a-b<0
C. D.a2>b2
【变式拓展】实数a,b,c,d在数轴上的位置如图所示,下列关系式不正确的是( B )
A.|a|>|b| B.|ac|=ac
C.b0
14.在如图所示的数轴上表示出下列各数,并用“<”连接起来.
解:如图所示.
用“<”连接如下:
17.有一个数值转换器,原理如图.
(1)当输入x的值为16时,输出y的值是多少
(2)是否存在输入有效的x值后,始终输不出y的值 如果存在,请写出所有满足要求的x的值;如果不存在,请说明理由.
(3)若输出y的值是 ,试判断输入x的值是否唯一 若不唯一,请写出其中的两个.
(2)当x=0,1时,始终输不出y的值.因为0,1的算术平方根是其本身,一定是有理数.
(3)x的值不唯一,如x=3或x=9.章末小结与提升
(
实数
)
重难点突破
类型1 算术平方根、平方根和立方根
1.计算:-( -1 )2020.
解:原式=-4--1=-5.
2.一个正数x的两个平方根分别是2a-1和-a+2.
( 1 )求a和x的值;
( 2 )化简:2|a+|+|x-2|-|3a+x|.
解:( 1 )由题意得( 2a-1 )+( -a+2 )=0,解得a=-1,
∴x=( 2a-1 )2=( -3 )2=9.
( 2 )原式=2×|-1+|+|9-2|-|3×( -1 )+9|=2-2+9-2-6=1.
3.利用已知算术平方根的等式探究规律.
①=2;②=3;③=4;④=5.
( 1 )写出分数中分母a与序号n之间的关系;
( 2 )猜想写出第6个等式;
( 3 )用字母n( n为正整数 )表示上述规律.
解:( 1 )a=n2+2n.
( 2 )第6个等式:=7.
( 3 )=( n+1 )( n为正整数 ).
4.我们知道a+b=0时,a3+b3=0也成立,若将a看成a3的立方根,b看成b3的立方根,我们能否得出这样的结论:若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数.
( 1 )试举一个例子来判断上述猜测的结论是否成立
( 2 )若互为相反数,求4-的值.
解:( 1 )因为2+( -2 )=0,且23=8,( -2 )3=-8,
则有8-8=0,
所以上述猜测的结论成立,即“若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数”是成立的.
( 2 )由( 1 )验证的结果可得-3=0,
解得x=25,所以4-=4-5=-1.
类型2 估算无理数的大小
5.估计10-的值应在( C )
A.5和6之间 B.6和7之间
C.7和8之间 D.8和9之间
6.规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分,例如:=0,[3.14]=3.按此规定,则[]的值为 3 .
类型3 实数与数轴的关系
7.已知实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列结论正确的是( D )
A.a>b B.|a|<|b|
C.ab>0 D.-a>b
8.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B,点A表示的数为-,设点B所表示的数为m.
( 1 )求m的值;
( 2 )求|m-1|+|m+2020|的值.
解:( 1 )m=2-.
( 2 )|m-1|+|m+2020|=|2--1|+|2-+2020|=|1-|+|2022-|=-1+2022-=2021.
类型4 实数的运算
9.对于两个不相等的实数a,b,定义一种新的运算:a*b=( a+b>0 ),如3*2=,那么15*( 6*3 )= .
10.计算:
( 1 )+|-2|;( 结果精确到0.01 )
解:原式=4-5+2-=1-≈1-1.414≈-0.41.
( 2 )( -2 )2+-|-2|-2.
解:原式=4-2-4-( 2- )-2=-2-2+-2=-4-.
类型5 实数的应用
11.如图,将一块面积为16平方米的正方形铁皮的四个角各截去一个面积为2平方米的小正方形,剩下的部分刚好能围成一个无盖的运输箱.求这个运输箱的底边长和高.
解:由题意可得大正方形的边长为4米,小正方形的边长为米,
则这个运输箱的底边长为( 4-2 )米,高为米.
12.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成,已知一个长方形纸板的面积为162 cm2.
( 1 )求正方形纸板的边长;
( 2 )若将该正方形纸板进行裁剪,然后拼成一个体积为343 cm3的正方体,求剩余纸板的面积.
解:( 1 )根据题意得=18( cm ),即正方形纸板的边长为18 cm.
( 2 )根据题意得=7( cm ),
则拼成正方体需要纸板的面积=7×7×6=294( cm2 ),
剩余纸板的面积=324-294=30( cm2 ),
即剩余纸板的面积为30 cm2.(共9张PPT)
周滚动练(6.1~6.3)
8.如图,数轴上的A,B,C三点所表示的数分别为a,b,c,AB=BC.如果|a|>|c|>|b|,那么该数轴上原点O的位置应该在( C )
A.点A的左边 B.点A与点B之间
C.点B与点C之间 D.点C的右边
解:如图所示.
将其中的无理数用“<”连接为 <π.(共8张PPT)
小专题(二) 开方运算及无理数判断中的易错题
1.本章中的概念较多,注意各种概念之间的区别与联系,若理解不够深刻,在计算或运用中容易出错.
2.运用逆向思维理解平方与开平方、立方与开立方之间的互逆运算,并多练习加以强化.
3.运用数形结合的思想理解实数的估算及大小,即运用数轴与实数之间的一一对应关系解决有关实数的问题.
4.运用类比的数学思想理解实数与有理数有着相同的运算法则和运算律,且有着类似的分类方法.
易错点2 混淆平方根、算术平方根、立方根和无理数的概念
3.下列结论正确的有( A )
①负数的平方根有两个,且互为相反数;②任意实数的算术平方根有且只有一个;
③任意实数的立方根有且只有一个;④1的平方根、算术平方根和立方根都是1.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4.下列结论:①正有理数与负无理数统称为实数;②无限小数和带根号的数都是无理数;③无理数在数轴上找不到对应的点;④有理数a与无理数b有可能相等.其中错误的结论有 ①②③④ .(填序号)
5.将下列各数的序号填在相应的集合里:
有理数集合:{ ①③④⑥⑦⑨ };
无理数集合:{ ②⑤⑧⑩ };
正实数集合:{ ①②③⑤⑦⑨⑩ };
整数集合:{ ①⑥⑨ }.
9.王老师给同学们布置了这样一道习题:一个正数的算术平方根为m+3,它的平方根为±(2m+3),求这个正数.
小张的解法:依题意可知m+3=2m+3,解得m=0,则m+3=3,所以这个数为9.
王老师看后说,小张的解法不完整,请你给出这道习题完整的解法.
解:依题意可知m+3是2m+3,-(2m+3)两数中的一个.
①当m+3=2m+3时,解得m=0,则m+3=3,
所以这个正数为9.
②当m+3+2m+3=0时,解得m=-2,则m+3=1,
所以这个正数为1.
综上所述,这个正数是9或1.第2课时 实数的运算
知识要点基础练
知识点1 实数的运算及其性质
1.-的绝对值是( C )
A.- B.-
C. D.
2.-3的相反数是 3- ,-3的绝对值是 3- .
3.计算:
( 1 )+|-2|-2;
解:原式=-2+2--2=-3.
( 2 )5+|-1|--( -1 )2020.
解:原式=5+1-2+3-1=6.
4.用计算器计算( 结果保留小数点后两位 ):
( 1 )+2.33-π;
解:原式≈3.317+2.33-3.142≈2.51.
( 2 )+0.129.
解:原式≈7.071-7.101+0.129≈0.10.
知识点2 实数的大小估计与比较
5.与无理数最接近的整数是( C )
A.4 B.5
C.6 D.7
6.( 芜湖期中 )-1的整数部分是( B )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.下列各式中错误的是( C )
A.->- B.-1.732>0
C.1.414->0 D.π>3.14
综合能力提升练
8.如图,实数-3,x,3,y在数轴上的对应点分别为M,N,P,Q,这四个数中绝对值最小的数对应的是( B )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
9.下列计算中错误的是( D )
A.=2
B.-( )=-
C.||+2
D.2-3=-1
10.估算的运算结果应在( C )
A.3和4之间 B.4和5之间
C.5和6之间 D.6和7之间
【变式拓展】设a为正整数,若a<A.3 B.4
C.5 D.6
11.已知|x|=,y是4的平方根,且|y-x|=x-y,x+y的值为 -2 .
12.求下列各式中x的值:
( 1 )|x-|=9;
解:x=±9.
( 2 )( x-1 )2=3.
解:x=1±.
13.比较下列数的大小:
( 1 )-π和-3.1415;
解:-π<-3.1415.
( 2 )1.
解:1.
14.计算:
( 1 )+|2-|+|1-|;
解:原式=9-4+2--1=6.
( 2 )+5.
解:原式=-5-.
15.观察下列各数:
0,-3,-π,3.131131113…,-,|-2|,-.
( 1 )找出上列数字中的有理数和无理数;
( 2 )计算上列数字中所有无理数的和.( 精确到百分位,其中≈1.732 )
解:( 1 )有理数:0,-3,-,-.
无理数:-π,3.131131113…,.
( 2 )所有无理数的和为-π+|-2|+3.131131113…=2--π+3.131131113…≈2-1.732-3.142+3.131=0.257≈0.26.
16.已知10+=x+y,其中x是整数,且0解:∵1<<2,10+=x+y,其中x是整数,且0∴x=11,y=-1,∴x-y+=11-( -1 )+=12,
∴x-y+的相反数是-12.
拓展探究突破练
17.阅读理解:大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部写出来,而1<<2,于是可用-1来表示的小数部分.
请解答下列问题:
( 1 )的整数部分是 4 ,小数部分是 -4 ;
( 2 )如果的小数部分为a,的整数部分为b,求a+b-的值;
( 3 )已知100+=x+y,其中x是整数,且0解:( 2 )∵2<<3,∴a=-2.
∵3<<4,∴b=3,
∴a+b--2+3-=1.
( 3 )∵10<<11,∴110<100+<111.
∵100+=x+y,其中x是整数,且0∴x=110,y=100+-110=-10,
∴x++24-y=110++24-+10=144,
∴x++24-y的平方根是±12.本章中考演练
1.( 铜仁中考 )9的平方根是( C )
A.3 B.-3
C.3和-3 D.81
2.( 烟台中考 )-8的立方根是( B )
A.2 B.-2
C.±2 D.-2
3.( 福建中考 )在实数|-3|,-2,0,π中,最小的数是( B )
A.|-3| B.-2
C.0 D.π
4.( 菏泽中考 )下列各数:-2,0,,0.020020002…,π,,其中无理数的个数是( C )
A.4 B.3
C.2 D.1
5.( 济宁中考 )下列计算正确的是( D )
A.=-3 B.
C.=±6 D.-=-0.6
6.( 南京中考 )面积为4的正方形的边长是( B )
A.4的平方根
B.4的算术平方根
C.4开平方的结果
D.4的立方根
7.( 宁夏中考 )计算|-|-的结果是( C )
A.1 B.
C.0 D.-1
8.( 成都中考 )实数a,b,c,d在数轴上对应的点的位置如图所示,这四个数中最大的是( D )
A.a B.b
C.c D.d
9.( 宜昌中考 )如图,A,B,C,D是数轴上的四个点,其中最适合表示无理数π的是( D )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
10.( 滨州中考 )若8xmy与6x3yn的和是单项式,则( m+n )3的平方根为( A )
A.±8 B.8
C.±4 D.4
11.( 天津中考 )估计的值在( D )
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
12.( 潍坊中考 )利用教材中的计算器依次按键如下:,则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是( B )
A.2.5 B.2.6
C.2.8 D.2.9
13.( 吉林中考 )计算:= 4 .
14.( 襄阳中考 )计算:|1-|= -1 .
15.( 广东中考 )一个正数的平方根分别是x+1和x-5,则x= 2 .
16.( 陕西中考 )比较大小:3 < .( 填“>”“<”或“=” )
17.( 临沂中考 )一般地,如果x4=a( a≥0 ),则称x为a的四次方根.一个正数a的四次方根有两个,它们互为相反数,记为±.若=10,则m= ±10 .
18.( 乌鲁木齐中考 )计算:( -2 )2+.
解:原式=4+-1-3=.周滚动练( 6.1~6.3 )
( 时间:45分钟 满分:100分 )
一、选择题( 每小题4分,共32分 )
1.-是2的( D )
A.平方 B.倒数
C.相反数 D.平方根
2.下列计算正确的是( D )
A.=±2 B.=-2
C.±=2 D.-=-2
3.下列说法错误的是( B )
A.2是8的立方根
B.±4是64的立方根
C.的算术平方根
D.4是的算术平方根
4.下列说法正确的是( B )
A.0是正整数 B.-1是无理数
C.是分数 D.是有理数
5.下列说法正确的是( A )
A.-1的相反数是1-
B.-2的绝对值是2-
C.无理数的倒数可能是有理数
D.有理数的倒数可能是无理数
6.已知=0.1741,=1.741,则a的值是( C )
A.0.528 B.0.0528
C.0.00528 D.0.000528
7.若x,y满足|x-3|+=0,则的值是( A )
A.1 B.
C. D.
8.如图,数轴上的A,B,C三点所表示的数分别为a,b,c,AB=BC.如果|a|>|c|>|b|,那么该数轴上原点O的位置应该在( C )
A.点A的左边 B.点A与点B之间
C.点B与点C之间 D.点C的右边
二、填空题( 每小题5分,共20分 )
9.比较大小: < 3.( 填“>”“<”或“=” )
10.自由落体的公式为s=gt2( g为重力加速度,g≈9.8 m/s2 ).若物体下落的高度s为78.4 m,则下落的时间t是 4 s.
11.观察下列各式:( 1 )=2;( 2 )=3;( 3 )=4……请用你发现的规律写出第8个式子: .
12.如图所示,数轴上点A所表示的数为,点B到点A的距离为5个单位长度,则点B所表示的数是 .
三、解答题( 共48分 )
13.( 6分 )计算:.
解:原式=-4+3+=-.
14.( 6分 )在数轴上表示下列各数:,π,( -1 )2019,的算术平方根,-|-3|,3.,并将其中的无理数用“<”连接.
解:如图所示.
将其中的无理数用“<”连接为<π.
15.( 8分 )已知实数2a-1的平方根是±3,=5,求a+b的平方根.
解:因为2a-1的平方根是±3,所以2a-1=9,则a=5.
因为=5,所以2b+3=25,则b=11.
所以a+b=16,所以a+b的平方根是±4.
16.( 8分 )已知M=是m+3的算术平方根,N=是n-2的立方根,试求M-N的值.
解:由已知得n-4=2,2m-4n+3=3,解得m=12,n=6,
∴M=,N=,
∴M-N=.
17.( 10分 )某小区为了促进全民健身活动的开展,决定在一块面积约为1000 m2的正方形空地上建一个篮球场.已知篮球场的面积为420 m2,其中长是宽的倍,篮球场的四周必须留出1 m宽的空地.请你通过计算说明能否按要求在这块空地上建一个篮球场
解:设篮球场的宽为x m,那么长为x m.
根据题意,得x·x=420,所以x2=225.
因为x为正数,所以x=15,
又因为x+2=,
所以能按要求在这块空地上建一个篮球场.
18.( 10分 )某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t( h )可以用下面的公式来估计:t2=,其中d( km )是雷雨区域的直径.
( 1 )如果一场雷雨区域的直径为9 km,那么这场雷雨大约能持续多长时间
( 2 )如果一场雷雨持续了1 h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少 ( 已知≈9.65,结果精确到0.1 km )
解:( 1 )当d=9时,t2=,t==0.9( h ),
所以如果雷雨区域的直径为9 km,那么这场雷雨大约能持续0.9 h.
( 2 )当t=1时,=12,d=≈9.65≈9.7( km ),
所以如果一场雷雨持续了1 h,那么这场雷雨区域的直径大约是9.7 km.6.2 立方根
知识要点基础练
知识点1 立方根的概念与计算
1.的值是( B )
A.1 B.-1
C.3 D.-3
2.求下列各数的立方根:
,-,0.729,64,-216×103.
解:的立方根是.
-的立方根是=-.
0.729的立方根是=0.9.
64的立方根是=4.
-216×103的立方根是=-60.
知识点2 立方根的性质
3.若-,则a的值是( B )
A. B.- C.± D.-
4.下列说法正确的是( B )
A.-( -8 )的立方根是-2
B.立方根等于它本身的数有-1,0,1
C.-的立方根为-4
D.一个数的立方根不是正数就是负数
知识点3 用计算器求立方根
5.计算器按键顺序是:,其结果为 1 .
6.用计算器求下列各式的值.( 精确到0.001 )
( 1 ); ( 2 )-.
解:( 1 )原式≈9.146.
( 2 )原式≈-0.673
知识点4 立方根的应用
7.一个正方体木块的体积为1000 cm3,现要把它锯成8个同样大小的正方体小木块,则每个小木块的棱长是 5 cm.
8.将棱长分别为a cm和b cm的两个小正方体铝块熔化,制成一个大正方体铝块,则这个大正方体铝块的棱长为 cm.( 不计损耗 )
综合能力提升练
9.下列各组数中,互为相反数的一组是( C )
A.
B.-
C.
D.
10.下列说法正确的是( D )
A.负数没有立方根
B.正数有3个立方根
C.1的立方根是-1
D.负数的立方根是负数
11.比较3,的大小,正确的是( B )
A.3<
B.<3<
C.3<
D.<3
12.( 蚌埠期中 )计算:= 4 .
13.若x-1是125的立方根,则x-7的立方根是 -1 .
14.若+|y-3|=0,则= .
15.( 教材P51练习第4题变式 )如图是4阶魔方,又称“魔方的复仇”,由四层完全相同的64个小立方体组成,体积为512立方厘米,则每一个小立方体的表面积为 24 平方厘米.
16.求下列各式中x的值:
( 1 )8x3+27=0;
解:x=-.
( 2 )64( x+1 )3=27;
解:x=-.
( 3 )1000( x-1 )3+216=0.
解:x=.
17.已知x+2的平方根是±4,4y-32的立方根是-2.求x2-y2+9的平方根.
解:∵x+2的平方根是±4,4y-32的立方根是-2,
∴x+2=16,4y-32=-8,解得x=14,y=6,
∴x2-y2+9=169,
∴x2-y2+9的平方根是±13.
18.已知互为相反数,求2a+b的立方根.
解:∵互为相反数,
∴8a+15=-( 4b+17 ),
∴8a+4b=-17-15=-32,
∴2a+b=-8,
∴2a+b的立方根是-2.
拓展探究突破练
19.观察下列正数的立方根运算,并回答下列问题:
b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
0.16 1.6 16 160 1600
( 1 )用语言叙述上述表格中的规律:在立方根运算中,被开方数的小数点每向右移动3位,相应的立方根的小数点就向 右 移动 1 位;
( 2 )运用你发现的规律,探究下列问题:已知≈2.35,则≈ 0.235 ,≈ 23.5 ;
( 3 )类比算术平方根运算,已知≈1.913,则≈ 19.13 ,≈ 191.3 . (共13张PPT)
第2课时 平方根
知识点1 平方根的概念
1.16的平方根是( A )
A.±4 B.4
C.±8 D.8
2.(合肥包河区期末)下列语句正确的是( A )
A.9的算术平方根是3
B.9的平方根是-3
C.0.01是0.1的算术平方根
D.-0.01是0.1的平方根
知识点2 平方根的性质
5.下列各数中,没有平方根的是( B )
A.3 B.-1.44
C.0 D.
6.下列说法正确的是( C )
A.一个数的平方根一定有两个
B.一个非负数的平方根就是它的算术平方根
C.没有平方根的数一定是负数
D.一个正数的平方根就是它的算术平方根
7.若一个正数a的两个平方根是3x-4与2x,则x= .
8.(-0.6)2的平方根是( C )
A.-0.6 B.0.6
C.±0.6 D.0.36
9.(合肥肥东期末)如果一个数的平方根是a+1与2a-13,那么这个数的算术平方根是( C )
A.3 B.4 C.5 D.6
10.下列说法正确的是( B )
11.下列说法正确的有( B )
①1的平方根是1;②(-1)2的平方根是-1;③-1是1的一个平方根;④一个数的平方根等于它的算术平方根,这个数只能是0.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.下列说法错误的是( C )
13.若a2=25,|b|=3,则a+b的值是( D )
A.-8 B.±8 C.±2 D.±8或±2
14.如图是一个数值转换机,若输出的结果为-32,则输入x的值为 ±4 .
【变式拓展】如图是一个数值运算的程序,若输出y的值为4,则输入x的值为 ±3 .
15.求下列各式中x的值:
(1)125-16x2=0;
(2)(x-1)2-324=0;
解:移项,得(x-1)2=324,则x-1=±18,
解得x=19或x=-17.
(3)64(x-3)2-9=0;
(4)(4x-1)2=225.
16.(芜湖镜湖区期末)已知一个数的平方根是±(2a-1),算术平方根是a+4,求这个数.
解:∵一个数的平方根是±(2a-1),算术平方根是a+4,
∴2a-1=a+4或1-2a=a+4,
解得a=5或a=-1,
∴这个数的平方根为±9或±3,
∴这个数是81或9.
∵y的算术平方根是3,∴y=9.
又∵z是16的平方根,∴z=±4.
当z=4时,2x+y-5z=12+9-20=1;
当z=-4时,2x+y-5z=12+9+20=41.
18.请根据光头强与熊二的对话内容,回答下列问题.
(1)求该魔方的体积;
(2)求该长方体糖果盒的长.
解:(1)该魔方的体积为73=343(cm3).
(2)设长方体糖果盒的长为x cm,则7x2=1008,解得x=12.
答:该长方体糖果盒的长为12 cm.
解:由数轴可知-1∴原式=|a+1|+2|b-1|-|a-b|=a+1+2(b-1)-(b-a)=2a+b-1.